光伝達関数

理想的なレンズシステムは、周期的なパターンをずらすことなく高コントラストの投影を実現するため、光伝達関数は変調伝達関数と同一になります。通常、コントラストは光学系の解像度によって決まる点で徐々にゼロに近づきます。例えば、可視光波長500nmで使用される、収差のない理想的なf / 4光学結像システムの場合、 光伝達関数は右図に示されています。

回折限界イメージングシステムの一次元光伝達関数は、その変調伝達関数と同一である。

回折限界イメージングシステムによって撮影されたスポークターゲット。

理想的な、光学的収差のない（回折限界の）結像システムの伝達関数とサンプル画像。

グラフから、コントラストが徐々に低下し、空間周波数500サイクル/ミリメートルでゼロになることがわかります。つまり、画像投影の光学解像度は1/500ミリメートルであり^、これは2マイクロメートルの特徴サイズに相当します。500サイクル/ミリメートルを超えると、このイメージングシステムのコントラスト、ひいてはその変調伝達関数はゼロになります。したがって、この特定のイメージングデバイスでは、スポークは中心に向かってますますぼやけ、最終的には灰色で解像度の低い円盤状に融合します。

光学伝達関数は、対象空間または試料空間、観測角度、フィルム幅などの単位で表される場合や、理論上の最大値で正規化される場合があることに注意してください。単位間の変換は、通常、乗算または除算によって行われます。例えば、顕微鏡は通常、対象物を10～100倍に拡大し、一眼レフカメラは一般的に、5メートル離れた対象物を100～200倍に縮小します。

デジタルイメージングデバイスの解像度は、光学系だけでなく、画素数、特に画素間の距離によっても制限されます。ナイキスト・シャノン標本化定理で説明されているように、上記の例の光学解像度に合わせるには、各カラーチャンネルの画素を1マイクロメートル（1ミリメートルあたり500サイクルの半分の周期）で分離する必要があります。同じセンサーサイズで画素数を増やしても、より細かいディテールを解像度化することはできません。一方、画素間隔が1マイクロメートルより大きい場合、解像度は画素間の距離によって制限されます。さらに、エイリアシングによって画像の忠実度がさらに低下する可能性があります。

不完全で収差のある結像系は、次の図に示すような光伝達関数を持つ可能性がある。

収差のある不完全な結像系における光学伝達関数の実数部。

収差のある不完全な結像系の変調伝達関数。

収差のある光学系によって撮影された、スポークターゲットの画像。

標準ゼルニケ係数0.25の球面収差を持つ、500nmにおけるf/4光学イメージングシステムの伝達関数とサンプル画像。

理想的なレンズシステムでは、コントラストは空間周波数500サイクル/ミリメートルでゼロになります。しかし、それより低い空間周波数では、コントラストは前の例の理想的なシステムよりもかなり低くなります。実際、500サイクル/ミリメートルよりも低い空間周波数でも、コントラストがゼロになる場合がいくつかあります。これが、上の図に示されているスポーク画像の灰色の円形の帯を説明するものです。灰色の帯の間では、スポークが黒から白、または白から黒に反転しているように見えます。これはコントラスト反転と呼ばれ、光学伝達関数の実部の符号反転に直接関係しており、一部の周期的なパターンでは半周期のシフトとして表されます。

理想的なシステムと不完全なシステムの両方の解像度は2μm  、つまり500LP/mmであると主張できるかもしれないが、後者の例の画像の方が鮮明度が低いことは明らかである。知覚される品質により近い解像度の定義としては、最初のゼロが現れる空間周波数、すなわち10μm  、つまり100LP/mmを用いるべきだろう。解像度の定義は、たとえ理想的なイメージングシステムであっても、大きく異なる。より完全で明確な定義は、光伝達関数によって得られる。

光学系、特に光学収差は、必ずしも回転対称ではありません。そのため、周期が同じであっても、向きが異なる周期パターンは、コントラストが異なって画像化される可能性があります。したがって、光伝達関数または変調伝達関数は、一般に2次元関数となります。以下の図は、回転対称性を持たない収差であるトレフォイルを持つ光学系について、先に述べた理想的なシステムと不完全なシステムの2次元等価物を示しています。

光学的伝達関数は必ずしも実数値とは限りません。周期パターンは、システムの収差に応じて任意の量だけシフトする可能性があります。これは一般的に、非回転対称収差の場合に当てはまります。上の図の表面プロットの色相は位相を示しています。回転対称収差の場合、位相は0またはπのいずれかであり、したがって伝達関数は実数値であるのに対し、非回転対称収差の場合、伝達関数は虚数成分を持ち、位相は連続的に変化することがわかります。

カメラシステムに関して一般的に用いられる光学解像度は、画像内のピクセル数、ひいては微細なディテールを表示する可能性のみを表すのに対し、伝達関数は、空間周波数の変動パターンに応じて隣接するピクセルが黒から白に変化する能力、すなわち、コントラストが最大か最小かにかかわらず、微細なディテールを表示する実際の能力を表します。高空間周波数で「ロールオフ」する光学伝達関数で再現された画像は、日常的な言葉で言えば「ぼやけて」見えます。

1920×1080ピクセルの現在の高解像度（HD）ビデオシステムを例にとると、ナイキストの定理によれば、理想的なシステムでは、合計1920本の白黒交互線を完全に（真の黒から白への遷移で）解像できるはずであり、これは画像幅あたり1920/2=960ラインペア、または画像幅あたり960サイクルの空間周波数と呼ばれます（単位角度あたりまたは単位ミリメートルあたりのサイクルで定義することもできますが、カメラを扱う場合は一般的に不明瞭で、望遠鏡などに適しています）。実際には、これは当てはまらず、ナイキスト周波数に近い空間周波数は一般的に振幅が減少して再現されるため、細かいディテールは見えるものの、コントラストが大幅に低下します。このことから、例えば、後述するオーバーサンプリングを用いたフィルムスキャナーから得られた標準画質のテレビ映像は、変調伝達関数が劣るカメラで撮影された高精細映像よりも鮮明に見える可能性があるという興味深い観察結果が得られる。この2つの映像には、しばしば見落とされがちな興味深い違いがある。前者はある一定の点までは細部まで十分なコントラストを備えているが、それ以降は細かいディテールがほとんどないのに対し、後者はより細かいディテールは含まれているものの、コントラストが低下しているため、全体的に劣っているように見えるのである。

一次元光伝達関数は、線幅関数の離散フーリエ変換として計算できます。このデータは空間周波数データに対してグラフ化されます。この場合、MTF対空間周波数曲線に6次多項式をフィッティングして傾向を示します。50%カットオフ周波数を決定することで、対応する空間周波数が得られます。このようにして、このデータから被試験ユニットの最適焦点のおおよその位置が決定されます。

線幅広がり関数（LSF）のフーリエ変換は、以下の式では解析的に求めることができません。

${\displaystyle \operatorname {MTF} ={\mathcal {F}}\left[\operatorname {LSF} \right]\qquad \qquad \operatorname {MTF} =\int f(x)e^{-i2\pi \,xs}\,dx}$

したがって、フーリエ変換は離散フーリエ変換を用いて数値的に近似される。${\displaystyle {\mathcal {DFT}}}$[ ^{6 ]​}

${\displaystyle \operatorname {MTF} ={\mathcal {DFT}}[\operatorname {LSF} ]=Y_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}y_{n}e^{-ik{\frac {2\pi }{N}}n}\qquad k\in [0,N-1]}$

どこ

• ${\displaystyle Y_{k}\,}$= その$\displaystyle k^{\text{th}}}$MTFの値
• ${\displaystyle N\,}$= データポイントの数
• ${\displaystyle n\,}$= インデックス
• ${\displaystyle k\,}$=$\displaystyle k^{\text{th}}}$LSFデータの用語
• ${\displaystyle y_{n}\,}$=${\displaystyle n^{\text{th}}\,}$ピクセル位置
• ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$

${\displaystyle e^{\pm ia}=\cos(a)\,\pm \,i\sin(a)}$

${\displaystyle \operatorname {MTF} ={\mathcal {DFT}}[\operatorname {LSF} ]=Y_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}y_{n}\left[\cos \left(k{\frac {2\pi }{N}}n\right)-i\sin \left(k{\frac {2\pi }{N}}n\right)\right]\qquad k\in [0,N-1]}$

次に、MTFを空間周波数に対してプロットし、そのグラフからこのテストに関するすべての関連データを読み取ることができます。

顕微鏡などで見られるような高開口数では、光を運ぶ場のベクトル性を考慮することが重要です。デカルト座標軸に対応する3つの独立した成分に波を分解することで、各成分の点像分布関数を計算し、それらを組み合わせてベクトル点像分布関数を求めることができます。同様に、ベクトル光伝達関数は（ ^{[ 7 ]}）および（^{[ 8 ]} ）に示すように決定できます。

光伝達関数は、光学系のインパルス応答のフーリエ変換として定義され、点像分布関数とも呼ばれます。したがって、光伝達関数は、まず点光源の像を取得し、その像に2次元離散フーリエ変換を適用することで容易に得られます。このような点光源としては、例えば、ピンホールのあるスクリーンの背後にある明るい光、蛍光体や金属の微小球、あるいは単にスクリーン上に描かれた点などが挙げられます。点像分布関数を用いた光伝達関数の計算は汎用性が高く、点光源の様々な位置や波長スペクトルに対してこの手順を繰り返すことで、空間的に変化する収差や色収差を持つ光学系を完全に特性評価することができます。

収差が空間的に不変であると仮定できる場合、線やエッジなどの代替パターンを使用して光伝達関数を決定できます。対応する伝達関数は、それぞれ線状拡散関数とエッジ拡散関数と呼ばれます。このような拡張オブジェクトは画像内のより多くのピクセルを照射するため、信号対雑音比が大きくなり、測定精度が向上します。この場合、光伝達関数は画像の2次元離散フーリエ変換を計算し、拡張オブジェクトのフーリエ変換で割ることによって求められます。一般的には、線または白黒のエッジが使用されます。

エッジ拡散関数

エッジの 2 次元フーリエ変換も、エッジに直交する単一の線上でのみ非ゼロになります。この関数は、エッジ スプレッド ファンクション(ESF) と呼ばれることもあります。^{[ 9 ] [ 10 ]}ただし、この線上の値は原点からの距離に反比例します。この手法で取得される測定画像はカメラの広い領域を照らしますが、これは主に低空間周波数での精度に有利です。ライン スプレッド ファンクションと同様に、各測定では光学伝達関数の 1 つの軸しか決定されないため、光学系が回転対称であると仮定できない場合は、繰り返し測定する必要があります。

右図に示すように、オペレータは、黒体によって背面から照明されたナイフエッジテストターゲット画像の端を囲むボックス領域を定義します。ボックス領域は、フレーム全体の領域の約10%に定義されます。画像ピクセルデータは、2次元配列（ピクセル強度とピクセル位置）に変換されます。配列内の各ラインの振幅（ピクセル強度）は正規化され、平均化されます。これにより、エッジスプレッド関数が得られます。

${\displaystyle \operatorname {ESF} ={\frac {X-\mu }{\sigma }}\qquad \qquad \sigma \,={\sqrt {\frac {\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}-\mu \,)^{2}}{n}}}\qquad \qquad \mu \,={\frac {\sum _{i=0}^{n-1}x_{i}}{n}}}$

どこ

• ESF = 正規化されたピクセル強度データの出力配列
• ${\displaystyle X\,}$= ピクセル強度データの入力配列
• ${\displaystyle x_{i}\,}$= i^番目の要素${\displaystyle X\,}$
• ${\displaystyle \mu \,}$= 画素強度データの平均値
• ${\displaystyle \sigma \,}$= 画素強度データの標準偏差
• ${\displaystyle n\,}$= 平均で使用されるピクセル数

線広がり関数は、エッジ広がり関数の1階微分と同一であり、 ^{[ 11 ]}数値的手法を用いて微分されます。エッジ広がり関数を測定する方が実用的である場合は、次のように線広がり関数を決定できます。

${\displaystyle \operatorname {LSF} ={\frac {d}{dx}}\operatorname {ESF} (x)}$

通常、ESFは離散的な点でのみ既知であるため、LSFは有限差分法を用いて数値的に近似される。

${\displaystyle \operatorname {LSF} ={\frac {d}{dx}}\operatorname {ESF} (x)\approx {\frac {\Delta \operatorname {ESF} }{\Delta x}}}$

${\displaystyle \operatorname {LSF} \approx {\frac {\operatorname {ESF} _{i+1}-\operatorname {ESF} _{i-1}}{2(x_{i+1}-x_{i})}}}$

どこ：

• ${\displaystyle i\,}$= インデックス${\displaystyle i=1,2,\dots ,n-1}$
• ${\displaystyle x_{i}\,}$=${\displaystyle i^{\text{th}}\,}$位置${\displaystyle i^{\text{th}}\,}$ピクセル
• ${\displaystyle \operatorname {ESF} _{i}\,}$= ESF${\displaystyle i^{\text{th}}\,}$ピクセル

カメラなどのデジタル画像システムで理論上のシャープネスに実際に近づく唯一の方法は、カメラセンサーのピクセル数を最終画像のサンプル数よりも多くし、ナイキスト周波数を超える高周波をカットオフしてエイリアシングを回避しつつ、その周波数まで比較的フラットなMTFを維持する特殊なデジタル処理を使用して「ダウンコンバート」または「補間」することです。このアプローチは、1970年代にフライングスポットスキャナ、そして後にCCDラインスキャナが開発された際に初めて採用されました。これらは必要なピクセル数よりも多くサンプリングしてからダウンコンバートしたため、映画はビデオカメラで撮影された他の素材よりもテレビで常にシャープに見えました。理論的に正しい補間またはダウンコンバートの唯一の方法は、強力な処理を必要とする2次元sin( x )/ x重み付け関数との畳み込みによって実現される急峻なローパス空間フィルタを使用することです。実際には、処理要件を軽減するために、これに対するさまざまな数学的近似が使用されています。これらの近似は現在、ビデオ編集システムやPhotoshopなどの画像処理プログラムで広く実装されています。

高コントラストMTFの標準画質ビデオがオーバーサンプリングによってのみ実現可能であるのと同様に、理論上の最高の鮮明度を持つHDテレビは、はるかに高い解像度のカメラから始めてデジタルフィルタリングを行うことによってのみ実現可能です。映画が4K、さらには映画館向けに8Kビデオで撮影されるようになった現在、HDTVで最高の画質を得られるのは、より高い基準で撮影された映画や素材に限られると予想されます。カメラで使用されるピクセル数をどれだけ増やしても、完璧な光学空間フィルタが存在しない限り、このことは常に当てはまります。同様に、5メガピクセルの静止画カメラで得られた5メガピクセルの画像は、同等の品質の10メガピクセルの静止画カメラからダウンコンバージョンして得られた5メガピクセルの画像よりも鮮明になることは決してありません。高コントラストMTFを維持するという問題のため、BBCのような放送局は長い間、標準画質テレビを維持しつつ、より多くのピクセルで撮影・視聴することで画質を向上させることを検討していました（ただし、前述のように、このようなシステムは印象的ではありますが、最終的には、減衰はするものの真のHD視聴の効果を高める非常に細かいディテールが欠けてしまいます）。

デジタルカメラやビデオカメラにおけるもう一つの重要な要素は、レンズの解像度です。レンズは1920本の水平線を「解像」できると言われますが、これは黒から白への完全な変調で解像できるという意味ではありません。「変調伝達関数」（位相を無視した光学伝達関数の振幅を表す用語）は、レンズの性能を真に測定するものであり、振幅と空間周波数の関係を示すグラフで表されます。

レンズの絞りによる回折もMTFを制限します。レンズの絞りを小さくすると通常は収差が減り、MTFの平坦性が向上しますが、どのレンズとイメージセンサーのサイズにも最適な絞り値があり、それを超えると回折によって光がイメージセンサー全体に拡散し、解像度が低下します。これはプレートカメラや35mm フィルムの時代にはほとんど問題になりませんでしたが、一部のデジタルカメラ、特にビデオカメラで使用されている非常に小さなフォーマットのセンサーでは克服できない制限となっています。第一世代のHDコンシューマーカムコーダーは1/4インチセンサーを使用しており、約f4より小さい絞り値では解像度が制限され始めます。プロ用ビデオカメラでもほとんどが2/3インチセンサーを使用しており、フィルムフォーマットでは標準と考えられていたf16付近の絞り値の使用は禁止されています。一部のカメラ（ペンタックスK10D など）には「MTF自動露出」モードがあり、絞り値の選択が最大シャープネスになるように最適化されています。通常、これは絞り値範囲の中間あたりを意味します。^{[ 12 ]}

近年、低照度感度と浅い被写界深度効果へのニーズの高まりから、大判デジタル一眼レフカメラの使用が主流になりつつあります。その結果、映画やテレビ番組制作者の中には、その「映画的な」表現力に魅力を感じ、プロ仕様のHDビデオカメラよりもこうしたカメラを好む人も現れています。理論的には、16メガピクセルや21メガピクセルのセンサーを搭載したカメラは、カメラ内部でのダウンコンバージョンとデジタルフィルタリングによるエイリアシング除去によって、ほぼ完璧なシャープネスを実現できる可能性があります。こうしたカメラは非常に優れた結果を生み出し、デジタルフィルタリングを用いた大判ダウンコンバージョンによる、エイリアシングのないフラットなMTFを実現する標準的な手法として、ビデオ制作の分野をリードしているようです。