光学収差

光学において、収差とはレンズなどの光学系の特性であり、光が一点に焦点を合わせるのではなく、空間のある領域に広がる原因となる。^{[1]収差により、レンズによって形成される像はぼやけたり歪んだりするが、歪みの性質は収差の種類によって異なる。収差は、光学系の性能が}近軸光学系の予測から逸脱することと定義できる。^[2]結像システムでは、物体の一点から発せられた光がシステムを透過した後、一点に収束しない（または一点から発散しない）場合に収差が発生する。収差は、光学素子の欠陥によるものではなく、単純な近軸理論が光学系が光に与える影響の完全に正確なモデルではないために発生する。^[3]

収差のある結像光学系は、鮮明でない画像を生成します。光学機器メーカーは、収差を補正するために光学系を修正する必要があります。収差は望遠鏡で特に影響が大きく、観測される天体の質を著しく低下させる可能性があります。これらの光学的欠陥を理解して修正することは、天文学者が明瞭で正確な観測を行うために不可欠です。^[4]

収差は幾何光学の技術で分析できます。反射、屈折、およびコースティクスに関する記事では、反射光線と屈折光線の一般的な特徴について説明します。

理想的なレンズでは、物体上の任意の点から発せられた光はレンズを通過し、像面（より一般的には像面）内の一点に集まります。しかし、実際のレンズは、完璧に作られていても、光を正確に一点に焦点を合わせることはありません。理想的なレンズの性能からのこれらの偏差は、レンズの 収差と呼ばれます。

収差は、単色収差と色収差の2 つのクラスに分類されます。単色収差はレンズまたはミラーの形状によって発生し、光が反射されるときと屈折されるときの両方で発生します。単色光を使用しているときでも発生するため、この名前が付けられています。

色収差は、分散、つまり波長によるレンズの屈折率の変化によって発生します。分散のため、異なる波長の光は異なる点に焦点を結びます。単色光を使用する場合、色収差は発生しません。

最も一般的な単色収差は次のとおりです。

• 焦点がぼける
• 球面収差
• コマ
• 乱視
• 像面湾曲
• 画像の歪み

焦点ぼけは技術的には光学収差の中で最も低い次数ですが、レンズ（または像面）を移動して像面をレンズの光学焦点に合わせることで補正できるため、通常はレンズ収差とは見なされません。

これらの収差に加えて、ピストンとティルトは焦点の位置をシフトさせる効果があります。ピストンとティルトは真の光学収差ではありません。なぜなら、ピストンとティルトによって完璧な波面が変更されても、異なる位置にシフトするだけで、完璧な収差のない画像が形成されるからです。

色収差は、異なる波長が同じ点に焦点を合わせられない場合に発生します。色収差の種類は次のとおりです。

• 軸方向（または「縦方向」）色収差
• 横方向（または「横方向」）色収差

古典光学理論における完全な光学系では、^{[5] [6]、任意の}物体点から発せられる光線は像点に集まり、したがって物体空間は像空間に再現される。ガウスによる^{[7] [8]}、焦点距離と焦点面と呼ばれる簡単な補助項の導入により、任意のシステムの任意の物体の像を決定できる。しかし、ガウス理論は、すべての光線が光軸（システムの対称軸）となす角度が無限に小さい場合、つまり物体、像、レンズが無限小である場合にのみ当てはまる。実際にはこれらの条件は実現されない可能性があり、補正されていないシステムによって投影される像は、一般に、絞りまたは視野が特定の制限を超えると定義が曖昧になり、ぼやけることが多い。^[8]

ジェームズ・クラーク・マクスウェル^[9]とエルンスト・アッベ^{[注 1]}の研究は、これらの再現の特性、すなわち像の相対的な位置と大きさは、光学システムの特別な特性ではなく、空間のすべての点が像点で再現されるという仮定 (アッベによる) の必然的な結果であり、再現が行われる方法とは無関係であることを示した。しかし、これらの著者は、これらの仮定は反射と屈折の基本法則に反するため、いかなる光学システムも正当化できないことを示した。したがって、ガウス理論は現実を近似する便利な方法を提供するだけであり、現実的な光学システムはこの達成不可能な理想には達していない。現在達成できるのは、単一の平面を別の平面に投影することだけだが、これでさえも収差は常に発生し、これらが完全に修正されることはおそらくないだろう。^[8]

S (図 1) を任意の光学系とすると、軸点 O から角度 u1 で発せられる光線は軸点 O'1 で結合し、角度 u2 で発せられる光線は軸点 O'2 で結合します。集合球面で屈折する場合、または薄い正レンズを通過する場合、角度 u2 が u1 より大きい (補正不足) 限り、O'2 は O'1 の前にあります。分散面またはレンズの場合は逆になります (補正過剰)。最初のケースでは、火線は記号 > (より大きい) に似ており、2 番目のケースでは < (より小さい) に似ています。角度 u1 が非常に小さい場合、O'1 はガウス像であり、O'1 O'2 は縦収差、 O'1R は開口部 u2 を持つ光線束の横収差と呼ばれます。角度u2の光線が透過する光線の中で最大の収差を持つ光線である場合、O'1の軸に垂直な平面には半径O'1Rの円状の錯乱円盤があり、O'2の平行平面には半径O'2R2の別の錯乱円盤がある。この2つの間には錯乱が最も少ない円盤が位置する。^[8]

O の再現に関与する光線束の最大開口部、すなわち角度 u は、一般に、システムのレンズの 1 つの縁、またはシステムのレンズの間、レンズの前、またはレンズの後ろに配置された薄い板の穴によって決まります。この穴は絞りまたはダイヤフラムと呼ばれます。アッベは、レンズの穴と限界縁の両方に開口絞りという用語を使用しました。開口絞りとオブジェクト O の間に位置するシステムのコンポーネント S1 は、アッベが入射瞳と呼ぶダイヤフラムの像を投影します。射出瞳は、開口絞りの後ろに配置されたコンポーネント S2 によって形成される像です。O から発せられて開口絞りを通過するすべての光線は、開口絞りの像であるため、入射瞳と射出瞳も通過します。O から発せられる光線束の最大開口部は、この時点での入射瞳によって囲まれる角度 u であるため、収差の大きさは入射瞳の位置と直径によって決まります。システムが開口絞りの完全に後ろにある場合、それ自体が入射瞳（前絞り）であり、完全に前にある場合は、それ自体が射出瞳（後絞り）である。^[8]

物体点が無限遠にある場合、システムの最初の要素が受け取るすべての光線は平行であり、システムを通過した後にそれらの交差は、それらの垂直入射高さ、すなわち軸からの距離に応じて変化します。この距離は、前の考察における角度uに代わるものであり、開口部、すなわち入射瞳の半径はその最大値です。^[8]

O から発せられる光線 (図 1) が同時発生している場合、O で軸に垂直な平面の一部にある点も、その平面の一部が非常に小さい場合でも同時発生しているとは限りません。レンズの直径が大きくなると (つまり、口径が大きくなると)、隣接する点 N が再現されますが、ON と同等の大きさの収差が発生します。これらの収差は、アッベによれば、点 O を再現するすべての光線に対して正弦条件sin u'1/sin u1=sin u'2/sin u2 が成立すれば回避されます。物体点 O が無限遠にある場合は、u1 と u2 を入射の垂直高さ h1 と h2 に置き換えます。すると、正弦条件は sin u'1/h1=sin u'2/h2 になります。この条件を満たし、球面収差のないシステムは、アプラナティック（ギリシャ語のa-、非格、plann、放浪）と呼ばれます。この言葉は、ロバート・ブレアが優れた色消しの特徴を表すために最初に使用し、その後、多くの著者によって球面収差がないことを示すためにも使用されました。^[8]

収差はレンズの中心からの光線の距離とともに増加するため、レンズの直径が大きくなると（または、それに応じて、絞りの直径が大きくなると）収差も増加します。したがって、絞りを小さくすることで収差を最小限に抑えることができますが、その代償として、像面に到達する光の量も減少します。

軸から有限の距離にある点 O (図 2) (または無限遠の物体の場合は、システムに対して有限の角度をなす点) は、一般に、そこから発してシステムを横切る光線束が絞りを小さくすることによって無限に狭められたとしても、鮮明に再現されません。このような光線束は、物体点から無限に小さくなった入射瞳を通過できる光線で構成されます。例外的なケースを無視すると、光線束が屈折面または反射面と直角に交わらないことがわかります。したがって、光線束は非点収差 (ギリシャ語の a-、対格、stigmia、点) です。入射瞳を通過する中心光線を光線束の軸または主光線と名付けると、次のように言えます。光線束の光線は 1 点で交差するのではなく、主光線に対して直角であると想定できる 2 つの焦点線で交差します。これらのうちの 1 つは、主光線とシステムの軸を含む平面、つまり第 1 主断面または子午線断面にあり、もう 1 つはそれに直角、つまり第 2 主断面または矢状断面にあります。したがって、たとえばフォーカシング スクリーンのようなシステムの背後の単一の遮断平面では、物体点の像が得られません。一方、2 つの平面のそれぞれでは、線 O' と O" が別々に形成され (隣接する平面では楕円が形成されます)、O' と O" の間の平面では最小錯乱円が形成されます。間隔 O'O" は非点収差と呼ばれ、一般に主光線 OP とシステムの軸、つまり視野とのなす角度 W とともに増大する。2 つの非点収差像面は1 つの物体面に対応し、軸点で接触する。一方には第 1 種の焦点線があり、もう一方には第 2 種の焦点線がある。2 つの非点収差面が一致するシステムは、非点収差または無点収差と呼ばれる。^[8]

乱視の発見者はおそらくアイザック・ニュートン卿で、乱視像線の位置はトーマス・ヤングによって決定され、 ^[10]その理論はアルヴァル・グルストランドによって発展させられました。^{[11] [12] [8] P. クルマンによる参考文献は、モーリッツ・フォン・ローアの}「光学機器における画像表示」 に掲載されています。^{[13] [8]}

絞りを大きく開くと、軸上の点についてすでに述べたのと同様の偏差が横方向の点にも生じるが、この場合、その偏差ははるかに複雑である。子午線断面における光線の進路は、もはや光線束の主光線に対して対称ではない。そして、光線束を横切る平面には、光点の代わりに、一点に関して対称ではない光の斑点が現れ、しばしば、尾が軸に向かって、または軸から離れて伸びている彗星に似た外観を示す。この外観から、この名前が付けられている。子午線上の光線束の非対称な形状は、以前は唯一考慮されていたが、狭義の意味でのみコマである。コマの他の誤差は、アーサー・ケーニッヒとモーリッツ・フォン・ローア^{[13]によって、後にはアルヴァル・グルストランド [ 12]}によって扱われた。^[8]

上記の誤差が除去され、2つの非点収差面が統合され、広い絞りで鮮明な画像が得られるとしても、特に写真のように平面上に画像が映し出される場合には、画像面の曲率を補正する必要性が残る。ほとんどの場合、表面はシステムに対して凹面である。^[8]

画像が鮮明であっても、理想的なピンホール投影と比較すると歪んでいる場合があります。ピンホール投影では、物体の拡大率は光軸に沿ったカメラまでの距離に反比例するため、平らな面を直接向いたカメラは、その平らな面を再現します。歪みは、画像を不均一に引き伸ばすもの、または同等に、フィールド全体の拡大率の変化と考えることができます。「歪み」には画像の任意の変形が含まれますが、従来の結像光学系によって生成される最も顕著な歪みモードは「樽型歪み」であり、画像の中心が周囲よりも拡大されます (図 3a)。逆に、周囲が中心よりも拡大されるものは「糸巻き型歪み」として知られています (図 3b)。この効果はレンズ歪みまたは画像歪みと呼ばれ、これを修正するアルゴリズムがあります。

歪みのないシステムは、正視（orthos、正しい、skopein 見る）または直線（直線）と呼ばれます。

この収差は、再現の鮮明度の収差とはまったく異なります。鮮明でない再現では、図に物体の一部しか認識できない場合に、歪みの問題が生じます。鮮明でない画像で、光のパッチが物体点に対応する場合、パッチの重心が像点と見なすことができます。これは、画像を受け取る平面、たとえばフォーカシング スクリーンが、絞りの中央を通過する光線と交差する点です。この仮定は、絞りを小さくしたときにフォーカシング スクリーン上の不良な画像が動かない場合に正当化されます。実際には、これは一般的に発生します。アッベによって主光線(ガウス理論の主光線と混同しないでください) と名付けられたこの光線は、最初の屈折の前に入射瞳の中心を通過し、最後の屈折の後に射出瞳の中心を通過します。このことから、描画の正確さは主光線のみに依存し、像フィールドの鮮明度や曲率とは無関係であることがわかります。図を参照してください。 4 では、O'Q'/OQ = a' tan w'/a tan w = 1/N となります。ここで、N は画像のスケールまたは倍率です。N がすべての w の値に対して一定であるためには、a' tan w'/a tan w も一定でなければなりません。よくあることですが、比率 a'/a が十分に一定であれば、上記の関係はAiryの条件、つまり tan w'/ tan w = a 定数に簡約されます。この単純な関係 (Camb. Phil. Trans., 1830, 3, p. 1 を参照) は、絞りに対して対称なすべてのシステム (簡単に言えば対称または全対称対物レンズと呼ばれる)、または 2 つの同じだが異なるサイズのコンポーネントで構成され、絞りからサイズの比率で配置され、絞りに対して同じ曲率を示す (半対称対物レンズ) すべてのシステムで満たされます。これらのシステムでは、tan w' / tan w = 1 です。^[8]

この関係が成り立つために必要な a'/a の不変性は、RH Bow (Brit. Journ. Photog., 1861) と Thomas Sutton (Photographic Notes, 1862) によって指摘され、O. Lummer と M. von Rohr (Zeit. f. Instrumentenk., 1897, 17、および 1898, 18、p. 4) によっても扱われている。この関係が成り立つためには、開口絞りの中心が球面収差なしで入射瞳と射出瞳の中心に再現される必要がある。M. von Rohr は、エアリー条件も Bow-Sutton 条件も満たさないシステムでは、物体の 1 つの距離に対して比率 a' cos w'/a tan w が一定になることを示した。この複合条件は、スケール 1 で再現する全対称対物レンズと、再現スケールが 2 つのコンポーネントのサイズの比に等しい場合は半対称対物レンズによって正確に満たされる。^[8]

収差に関連する円形の波面プロファイルは、ゼルニケ多項式を使用して数学的にモデル化できます。1930年代にフリッツ ゼルニケによって開発されたゼルニケ多項式は、単位半径の円に対して直交します。複雑な収差のある波面プロファイルをゼルニケ多項式で曲線フィッティングすると、さまざまな種類の収差を個別に表すフィッティング係数のセットが得られます。これらのゼルニケ係数は線形独立であるため、波面全体に対する個々の収差の寄与を分離して個別に定量化できます。

ゼルニケ多項式には偶数と奇数がある。偶数ゼルニケ多項式は次のように定義される。

${\displaystyle Z_{n}^{m}(\rho ,\phi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\cos(m\,\phi )\!}$

そして奇数ゼルニケ多項式は

${\displaystyle Z_{n}^{-m}(\rho ,\phi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\sin(m\,\phi ),\!}$

ここで、mとnは負でない整数、Φはラジアンで表した方位角、ρは正規化された半径距離である。半径多項式は方位角に依存しないため、次のように定義される。 ${\displaystyle n\geq m}$ ${\displaystyle R_{n}^{m}}$

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=\!\sum _{k=0}^{(nm)/2}\!\!\!{\frac {(-1)^{k}\,(nk)!}{k!\,((n+m)/2-k)!\,((nm)/2-k)!}}\;\rho ^{n-2\,k}\quad {\mbox{if }}nm{\mbox{ is even}}}$

そして、が奇数の場合。 ${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=0}$${\displaystyle nm}$

最初のいくつかのゼルニケ多項式にそれぞれのフィッティング係数を掛けたものは次のようになる。^[14]

ここで、は正規化された瞳孔半径、は瞳孔の周りの方位角、 はフィッティング係数で表した波長における波面誤差です。 ${\displaystyle \rho}$${\displaystyle 0\leq \rho \leq 1}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle 0\leq \phi \leq 2\pi }$${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{8}}$

正弦と余弦を使用したフーリエ合成と同様に、波面は十分に大きな数の高次ゼルニケ多項式によって完全に表現できます。ただし、大気乱流や空気力学的流れ場を伝搬することによって生成されるような、非常に急峻な勾配や非常に高い空間周波数構造を持つ波面は、ゼルニケ多項式ではうまくモデル化されません。ゼルニケ多項式は、波面の細かい空間定義をローパス フィルターする傾向があります。この場合、フラクタルや特異値分解などの他のフィッティング方法を使用すると、フィッティング結果が改善される可能性があります。

円多項式は、回折の影響を考慮した収差のある光学系の点像を評価するためにフリッツ・ゼルニケによって導入されました。回折が存在する場合の完全な点像は、1835 年にはすでにエアリーによって説明されていました。収差のあるシステムの点像の包括的な理論とモデル化に到達するまでには、ほぼ 100 年かかりました (ゼルニケとナイボア)。ナイボアとゼルニケによる分析は、最適焦点面に近い強度分布を説明しています。焦点領域のはるかに大きな体積にわたる点像の振幅と強度を計算できる拡張理論が最近開発されました (拡張ナイボア・ゼルニケ理論)。この拡張ナイボア・ゼルニケ理論による点像または「点像分布関数」形成は、特に高開口数を持つシステムの像形成に関する一般的な研究や、光学システムの収差に関する特性評価に応用されています。^[15]

複製のさまざまな誤差に関する前述の考察は、アベの収差理論に属するもので、この理論では、特定の収差が個別に議論されている。この理論は、光学機器の構築において、特定の誤差を排除することが求められ、その選択は経験によって正当化されるため、実用上の必要性に非常に適している。しかし、数学的な意味では、この選択は恣意的である。有限の開口を持つ有限の物体の複製は、ほぼ間違いなく、無限の数の収差を伴う。この数が有限になるのは、物体と開口が一定のオーダーで無限に小さいと仮定した場合のみである。そして、無限に小さい各オーダー、すなわち、現実への（有限の物体と開口への）各近似度合いごとに、一定数の収差が関連付けられる。この関係は、不定級数によって収差を一般かつ分析的に扱う理論によってのみ提供される。^[8]

物体点 O (図 5) から発する光線は、座標 (ξ, η) で定義できます。この点 O は、軸に直角な物体平面 I にあり、他の 2 つの座標 (x, y) は、光線が入射瞳と交差する点、つまり平面 II にあります。同様に、対応する像光線は、平面 I' と II' にある点 (ξ', η') と (x', y') で定義できます。これらの 4 つの平面座標系の原点は、光学系の軸と同一線上にあり、対応する軸は平行です。4 つの座標 ξ'、η'、x'、y' はそれぞれ、ξ、η、x、y の関数です。視野と絞りが無限に小さいと仮定すると、ξ、η、x、y は同じオーダーの無限小になります。したがって、ξ'、η'、x'、y' を ξ、η、x、y の昇順で展開すると、最低のべき乗のみを考慮すればよい級数が得られる。光学系が対称で、座標系の原点が光軸と共線的で、対応する軸が平行である場合、ξ、η、x、y の符号を変えると、ξ'、η'、x'、y' の値も同様に符号を変える必要があるが、算術値は保持されることが容易にわかる。つまり、級数は、マークされていない変数の奇数べき乗に制限される。^[8]

複製の性質は、点 O から発する光線が別の点 O' に結合することにあります。一般に、これは当てはまりません。なぜなら、 ξ、η が一定で、 x、y が可変であれば、 ξ'、η' は変化するからです。平面 I' と II' は、平面 I と II の像が通常のガウスの規則によって軸近くの光線によって形成される場所に描かれると仮定できます。これらの規則の拡張によって (ただし、現実には対応していません)、軸から少し離れた点 O のガウス像点 O' ₀ (座標 ξ' ₀、 η' ₀ ) を作成できます。 Dξ'=ξ'-ξ' ₀、 Dη'=η'-η' ₀と書くと、 Dξ' と Dη' は ξ、η、x、y に属する収差であり、これらの大きさの関数であり、これを級数展開すると、上記と同じ理由により、奇数次しか含まれない。 O を通過するすべての光線の収差のため、収差に含まれる ξ、η、x、y の最低次数に応じて大きさが決まる光の斑点が、平面 I' に形成される。J. Petzval ^{[16]によって} 像の数値次数と名付けられたこれらの次数は、結果的に奇数次のみである。 m 次の像が形成される条件は、 Dξ' と Dη' の級数において、3 次、5 次...(m-2) 次の次数の係数がゼロでなければならないことである。ガウス理論の像は3次のものであるため、次の問題は5次の像を得ること、または3次のべき乗の係数をゼロにすることです。これには5つの方程式を満たす必要があります。言い換えると、3次の変更が5つあり、それを消すと5次の像が生成されます。^[8]

これらの係数を光学系の定数、すなわち半径、厚さ、屈折率、レンズ間の距離で表す式は、L. ザイデルによって解決されました。^[17] 1840 年に J. ペッツヴァルは、公表されていない同様の計算からポートレート対物レンズを構築しました。^[18]この理論は S. フィンタースヴァルダーによって詳しく述べられ、^{[19] フィン}タースヴァルダーはザイデルの死後に彼の研究の短い概要を含む論文も出版しました。^[20]より単純な形式は A. ケルバーによって与えられました。^[21] A. ケーニッヒと M. フォン ローア^{[22] : 317–323 は}ケルバーの方法を示し、アッベ法に基づく幾何学的考察からザイデルの公式を導き出し、解析結果を幾何学的に解釈しました。^{[22] : 212–316  [8]}

収差は、レンズの半径などではなく、システムの特性関数とその微分係数によって表現することもできます。これらの式はすぐには適用できませんが、収差の数と次数の関係を示しています。ウィリアム・ローワン・ハミルトン卿 (British Assoc. Report、1833、p. 360) は、このようにして 3 次収差を導き出しました。その後、この方法はクラーク・マクスウェル（Proc. London Math. Soc., 1874–1875; （RS Heath および LA Herman の論文も参照）、M. Thiesen（Berlin. Akad. Sitzber., 1890, 35, p. 804）、H. Bruns（Leipzig. Math. Phys. Ber., 1895, 21, p. 410）、そして特に K. Schwarzschild（Göttingen. Akad. Abhandl., 1905, 4, No. 1）によって追求され、彼は 5 次の収差（9 つある）を発見し、おそらく実用的な（ザイデル）公式の最短の証明となった。A. Gullstrand（上記およびAnn. d. Phys., 1905, 18, p. 941 を参照）彼は表面の微分幾何学に基づいて収差理論を構築した。^[8]

3次の収差は、(1)軸点の収差、(2)軸からの距離が非常に小さい、3次収差未満の点の収差（ここでは正弦条件からの偏差とコマ収差が1つのクラスに分類されます）、(3)非点収差、(4)像面湾曲、(5)歪みです。^[8]

1. 軸点の 3 次収差は、光学に関するすべての教科書で扱われています。これは、望遠鏡の設計において非常に重要です。望遠鏡では、口径は通常、対物レンズの直線直径として扱われます。これは、入射瞳または物体から見た視野に基づいて角度の測定値として表される顕微鏡の口径とは異なります。望遠鏡の設計における高次の収差は、ほとんど無視できます。顕微鏡の場合は無視できません。非常に薄い厚さと所定のパワーを持つ単一のレンズの場合、収差は半径 r:r' の比に依存し、この比の特定の値に対して最小値 (ただし、ゼロになることはありません) になります。これは屈折率に反比例して変化します (レンズのパワーは一定のままです)。接触している 2 つ以上の非常に薄いレンズの合計収差は、個々の収差の合計であるため、ゼロになることがあります。これは、レンズが同じ代数符号を持つ場合にも可能です。 n=1.5 の薄い正レンズは、3 次球面収差を補正するために 4 枚必要である。しかし、これらのシステムは実用上それほど重要ではない。ほとんどの場合、2 枚の薄いレンズが組み合わされ、そのうちの 1 枚は正収差 (補正不足、上記参照) が、もう 1 枚は負収差と同じ程度である。最初のレンズは正レンズで、2 枚目は負レンズでなければならない。ただし、レンズの望ましい効果が維持されるように、パワーは異なっていてもよい。一般に、1 枚の高パワーレンズよりも弱いレンズを複数枚使用して大きな屈折効果を確保する方が有利である。1 枚の薄レンズ、同様に複数枚、さらには無限数の薄レンズを接触させても、3 次収差なしで再現できる軸点は 2 つまでである。2 つの軸点 (そのうちの 1 つが無限に離れている) が収差を生じないことは、ハーシェルの条件として知られている。これらの規則はすべて、レンズの厚さと距離を考慮に入れない限り有効である。^[8]
2. 望遠鏡の対物レンズでは、3次のコマ収差がない条件も重要であり、フラウンホーファー条件として知られています。 (4) 軸上の収差、コマ収差、非点収差を除去した後、3次の視野の平坦性の関係はペッツバールの式、 S1/r(n'−n) = 0で表されます。ここで、rは屈折面の半径、nとn'は隣接する媒体の屈折率、Sはすべての屈折面の合計の符号です。^[8]

古典的な結像問題は、有限の開口部を通して有限の平面（物体）を別の平面（像）に完全に再現することです。このような平面のペアが1 つ以上ある場合、これを完璧に行うことは不可能です（これは、1858 年にMaxwell、1895 年に Bruns、 1926 年にCarathéodoryによって一般性が増すにつれて証明されました。Walther, A., J. Opt. Soc. Am. A 6、415–422 (1989) の概要を参照）。ただし、平面のペアが 1 つだけの場合（たとえば、対物レンズの焦点設定が 1 つだけの場合）、問題は原理的に完全に解決できます。このような理論的に完璧なシステムの例としては、リューネブルグ レンズやマクスウェルの魚眼レンズなどがあります。

実用的な方法は、それぞれの種類の機器の特定の目的にほぼ十分な精度でこの問題を解決します。 与えられたオブジェクトを与えられた平面上に与えられた倍率で再現するシステムを見つけるという問題は（収差を考慮に入れなければならない限り）、近似理論によって対処できます。しかし、ほとんどの場合、分析の困難さは古い計算方法には大きすぎましたが、現代のコンピュータシステムを適用することで改善できます。ただし、特殊なケースでは解決策が得られています。^[24]現在、構築者はほぼ常に逆の方法を使用します。つまり、特定の、多くの場合非常に個人的な経験からシステムを構成し、いくつかの光線の経路を三角法で計算して、システムが目的の再現を与えるかどうかをテストします（例は、A. Gleichen のLehrbuch der geometrischen Optik、ライプツィヒおよびベルリン、1902 年に記載されています）。半径、厚さ、距離は、画像の誤差が十分に小さくなるまで継続的に変更されます。この方法では、再現の特定のエラー、特に上記に挙げたエラーの個々のメンバー、またはすべてのみが調査されます。解析的近似理論は、その精度が一般に十分ではないため、暫定的に使用されることがよくあります。^[8]

球面収差と正弦条件からの偏差を全開口にわたって小さくするために、有限の開口角 u* (無限遠の物体の幅: 有限の入射高さ h*) を持つ光線に、軸に隣接する光線と同じ交差距離と同じ正弦比が与えられます (u* または h* は、システムで使用される最大開口 U または H よりはるかに小さくすることはできません)。u* より小さい開口角を持つ光線は、同じ交差距離と同じ正弦比を持ちません。これらの偏差はゾーンと呼ばれ、作成者はこれらを最小限に抑えるよう努めます。同じことが視野角 w に依存するエラーにも当てはまります。非点収差、像面湾曲、および歪みは、一定の値 w* に対して除去されますが、 w の値が小さいと、非点収差、像面湾曲、および歪みのゾーンが発生します。実務光学士は、このようなシステムを、開口角 u* (入射高 h*) または視野角 w* を補正したシステムと名付けます。球面収差と正弦比の変化は、軸点の像面の 2 つの非点収差像面の偏差が視野角の関数として表されるのと同様に、開口の関数としてグラフで表されます。^[8]

実用的なシステムの最終的な形は妥協の上に成り立っており、開口部を大きくすると視野が狭くなり、その逆もまた同様である。しかし、開口部が大きいほど解像度は高くなる。以下は典型的な例であると考えられる。^[8]

1. 最大口径。必要な補正は軸点と正弦条件についてです。視野の誤差はほとんど無視されます。例: 高倍率顕微鏡対物レンズ。
2. 広角レンズ。必要な補正は、非点収差、像面湾曲、歪みです。絞りの誤差はほとんど考慮されません。例: 写真の最も広角な対物レンズと接眼レンズ。
   これらの極端な例の間には、標準レンズがあります。これは、絞りに関してより補正されており、グループの対物レンズは、視野に関してより補正されています。
3. 長焦点レンズは視野が狭く、軸上の収差が非常に重要です。そのため、ゾーンはできるだけ小さくし、設計ではシンプルさを重視する必要があります。このため、これらのレンズは解析計算に最適です。

レンズで構成された光学系では、像の位置、大きさ、誤差は、使用されるガラスの屈折率によって決まります (上記の「レンズ (光学系)」および「単色収差」を参照)。屈折率は光の色や波長によって異なるため (分散を参照)、レンズ システム (未補正) は、異なる色の像を多少異なる場所とサイズに、異なる収差で投影します。つまり、交差距離、拡大、単色収差に色の違いがあります。混合光 (たとえば白色光) を使用すると、これらすべての像が形成され、色収差と呼ばれる混乱が生じます。たとえば、暗い背景の白い余白の代わりに、色の付いた余白、または狭いスペクトルが知覚されます。この誤差がないことを色消しと呼び、そのように補正された光学系を色消しと呼びます。システムは薄い正レンズと同じ種類の色収差を示す場合、色収差補正不足と言われ、そうでない場合は色収差補正過剰と言われます。^[8]

まず第一に、単色収差を無視すれば、言い換えればガウス理論が受け入れられれば、すべての再現は焦点面の位置と焦点距離の大きさによって決まり、あるいは焦点距離が通常どおり等しい場合は、3 つの再現定数によって決まります。これらの定数は、システムのデータ (レンズの半径、厚さ、距離、屈折率など) によって決まります。したがって、屈折率、ひいては色に対する定数の依存性は計算可能です。^{[8 ] [25]}使用するガラスの種類ごとに、異なる波長の屈折率がわかっていなければなりません。このようにして、再現定数の 1 つが 2 つの異なる色に対して等しい、つまりこの定数が無色化されるという条件が維持されます。たとえば、空気中の厚いレンズ 1 つで、焦点距離の大きさの焦点面の位置を無色化することができます。再生の3つの定数すべてが無色化されると、物体のすべての距離に対するガウス像は2つの色に対して同じになり、システムは安定した無色化にあると言われます。^[8]

実際には、物体の固定位置に対する色収差（例えば、交差距離の色収差）を決定し、各成分が各屈折面による量を包含する合計でそれを表す方が（アッベに倣って）有利である。[ ^{26] [27] [8]}ある色の像点を含む平面では、別の色によって混乱の円盤が生じる。これは、球面収差の 2 つのゾーンによって生じる混乱に似ている。無限遠の物体の場合、色混乱の円盤の半径は線状開口に比例し、焦点距離とは無関係である（上記「軸点の単色収差」を参照）。また、この円盤は、与えられた物体の像が大きくなるにつれて、または焦点距離が長くなるにつれて、害が少なくなるため、像の劣化は開口と焦点距離の比、つまり相対開口に比例することになる。（これは、色消しが発見される前に流行していた巨大な焦点距離を説明する。）^[8]

例:

ニュートンは、色消しに必要な異なる分散力を持つ媒体の存在に気づかなかったため、屈折望遠鏡の代わりに大きな反射望遠鏡を製作した。ジェームズ・グレゴリーとレオンハルト・オイラーは、目の色消しに関する誤った概念から正しい見解に到達した。これは、1728年にチェスター・モア・ホール、1754年にクリンゲンシュテルナ、そして1757年に有名な色消し望遠鏡を製作したドロンドによって決定された。（望遠鏡を参照）^[8]

分散力が弱い（ が大きい）ガラスはクラウンガラスと呼ばれ、分散力が大きいガラスはフリントガラスと呼ばれます。色消し集合レンズ（正）を構成するには、式（4）により、クラウンガラスの集合レンズ I. とフリントガラスの分散レンズ II. を選択する必要があります。後者は弱いですが、その大きな分散力により他方の色を補正します。色消し分散レンズの場合は、逆を採用する必要があります。これは、現在では、たとえば望遠鏡の対物レンズの一般的なタイプです。4つの半径の値は、式（2）と（4）を満たしている必要があります。他の2つの条件も想定できます。1つは常に軸上の収差を除去することです。2つ目は、ハーシェル条件またはフラウンホーファー条件のいずれかで、後者が最適です（前述、「単色収差 」を参照）。しかし実際には、レンズを接触させる、つまり半径を等しくすることで、2 番目の条件を回避する方が有効な場合が多い。P. ルドルフ (Eder's Jahrb. f. Photog., 1891, 5, p. 225; 1893, 7, p. 221) によると、薄いレンズの接着対物レンズは、上記のように集光レンズの屈折率が小さい場合は、軸上の球面収差を除去することができる。一方、集光レンズの屈折率が大きい場合は、非点収差とフィールドの湾曲を除去することができる (これはペッツバールの式に従う。L. Seidel, Astr. Nachr., 1856, p. 289 を参照)。接着システムが正である場合、より強力なレンズは正でなければならない。そして、(4) によると、より大きなパワーにはより弱い分散パワー (より大きな)、つまりクラウン ガラスが属する。したがって、クラウンガラスは、非点収差と平面像を得るために、より高い屈折率を持つ必要がある。しかし、初期のガラスでは、分散力は屈折率とともに増加した。つまり、増加すると分散力は減少した。しかし、E.アッベとO.ショットによるイエナガラスの一部は高屈折率のクラウンガラスであり、そのようなクラウンガラスと低屈折率のフリントガラスを組み合わせたアクロマートシステムは、新しいアクロマートと呼ばれ、 P.ルドルフによって最初のアナスチグマート（写真用対物レンズ）に採用された。^[8]${\displaystyle v}$${\displaystyle f}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$${\displaystyle n}$

色収差を消す代わりに、2 つのレンズを追加することで、システムの他の部分にある色収差を除去するのに十分な値を割り当てることができます。レンズ I と II を接着し、1 つの色に対して同じ屈折率を持つ場合、その 1 つの色に対する効果は 1 つのレンズのそれと同じです。レンズをこのように分解することで、球面効果を変えることなく、自由に色収差または無色収差にすることができます。その色収差効果 ( ) が同じレンズ (使用される 2 つのガラスのうちより分散性の高い方で作られている) よりも大きい場合、そのレンズはハイパークロマティックと呼ばれます。^[8]${\displaystyle df}$${\displaystyle df/f}$

距離を置いて離れた2枚の薄いレンズの場合、色消しの条件は である。もし（例えばレンズが同じガラスで作られている場合）、これは となり、接眼レンズの条件として知られている。 ^[8]${\displaystyle D}$${\displaystyle D=v_{1}f_{1}+v_{2}f_{2}}$${\displaystyle v_{1}=v_{2}}$${\displaystyle D=(f_{1}+f_{2})/2}$

再現定数、たとえば焦点距離を 2 つの色について等しくしても、2 つの異なるガラスが使用される場合、他の色については同じにはならない。たとえば、接触している 2 つの薄いレンズの色消し条件 (4) は、スペクトルの一部でのみ満たされる。これは、スペクトル内で変化するからである。この事実は、太陽スペクトルの暗線によって色を定義した J. フラウンホーファーによって最初に確認された。そして、2 つのガラスの分散比が赤から紫にかけて約 20% 変化することを示した (ガラスと水の変化は約 50%)。したがって、2 つの色 a と b について である場合、3 番目の色 c については焦点距離が異なる。つまり、c が a と b の間にある場合は であり、その逆も同様である。これらの代数的結果は、赤に向かって正のクラウン ガラスの分散が優勢であり、紫に向かって負のフリントの分散が優勢であるという事実から導かれる。 2色に対して無彩色のシステムのこれらの色誤差は二次スペクトルと呼ばれ、一次色誤差と同じように絞りと焦点距離に依存します。^[8]${\displaystyle dn_{2}/dn_{1}}$${\displaystyle f_{a}=f_{b}=f}$${\displaystyle f_{c}<f}$

図では。図６は、Ｍ．フォン・ローアの「理論と写真の目的」から引用したもので、横軸は焦点距離、縦軸は波長である。使用したフラウンホーファー線を隣の表に示します。^[8]

線 C と線 F の焦点距離は等しくなっています。550 nm 付近では、曲線の接線は波長軸と平行です。また、焦点距離は色のかなり広い範囲にわたって最も変化が少ないため、この付近では色の結合が最も良好です。さらに、このスペクトル領域は人間の目に最も明るく見える領域であり、したがって、 にすることによって得られる二次スペクトルのこの曲線は、サー GG ストークスの実験 (Proc. Roy. Soc.、1878) によれば、視覚機器に最も適しています (光学的無色収差、 )。同様に、写真で使用されるシステムでは、色曲線の頂点をプレートの最大感度の位置に配置する必要があります。これは通常、G' にあると考えられており、これを実現するために、F 線と紫の水銀線が結合されます。この工夫は、天体写真 (純粋な化学線無色収差) の対物レンズに特に採用されています。しかし、通常の写真撮影では、次のような欠点があります。フォーカシング スクリーン上の画像と写真感光板の正しい調整が一致しません。天体写真撮影ではこの差は一定ですが、他の種類の写真撮影では、物体の距離によって異なります。このため、通常の写真撮影対物レンズでは、D 線と G' 線は結合されます。光学画像と化学像は色収差が劣りますが、どちらも同じ場所にあります。したがって、最良の補正は F にあります (これは化学補正または化学フォーカスからの解放として知られています)。^[8]${\displaystyle f_{C}=f_{F}}$

接触している 2 つのレンズで、3 つの色 a、b、c の焦点距離が同じである場合、つまり である場合、使用される 2 種類のガラスの相対部分分散は等しくなければなりません。これは、2 組の色 ac と bc について式 (4) を考慮するとわかります。最近まで、吸収度が比例するガラスは知られていませんでしたが、R. Blair (Trans. Edin. Soc., 1791, 3, p. 3)、P. Barlow、および FS Archer は、ガラスの壁の間に流体レンズを構成することでこの困難を克服しました。Fraunhofer は、二次スペクトルを減らすガラスを準備しましたが、永続的な成功は、E. Abbe と O. Schott による Jena ガラスの導入によってのみ保証されました。比例分散を持たないガラスを使用する場合、間隔を空ければ 2 つのレンズによって、または接触している 3 つのレンズによって、3 番目の色の偏差を排除できます。これらはすべて古いガラスで構成されている必要はありません。3 つの色を結合すると、より高次の色消しが得られます。残留三次スペクトルは存在するが、常に無視できる。^[8]${\displaystyle f_{a}=f_{b}=f_{c}=f}$${\displaystyle (n_{c}-n_{b})(n_{a}-n_{b})}$

ガウス理論は近似に過ぎず、単色収差または球面収差は依然として発生し、色によって異なる。そして、ある色について補正しても、別の色の像は乱れることになる。最も重要なのは、軸点の色収差であり、これは、異なる色の近軸光線が適切なガラスの組み合わせによって結合された後も、像を乱すために依然として存在する。集合系が特定の波長について軸点について補正されると、負の成分（フリントガラス）の分散が大きいため、より短い波長については過剰補正（これが負の成分の誤差）が生じ、より長い波長については補正不足（赤で優勢なクラウンガラスレンズの誤差）が生じる。この誤差は、ジャン・ル・ロン・ダランベールによって扱われ、特に詳細には CF ガウスによって扱われた。この誤差は、絞りとともに急速に増大し、中程度の絞りでは、近軸光線の二次スペクトルよりも重要になる。したがって、2つの色について球面収差を除去する必要があり、それが不可能な場合は、問題の機器に最も効果的な特定の波長について球面収差を除去する必要があります（この誤差のグラフ表示は、M. von Rohrの「写真対物レンズの理論と歴史」に記載されています）。^[8]

鮮明に再現された点の代わりに表面要素を再現するための条件、つまり正弦関係の定数は、複数の色に対して大きな開口部でも満たされなければなりません。E. アッベは、軸点の誤差がなく、複数の色に対して正弦条件を満たす顕微鏡対物レンズを計算することに成功しました。したがって、彼の定義によれば、これらの対物レンズは複数の色に対して無収差でした。彼はこのようなシステムをアポクロマートと呼びました。ただし、個々のゾーンの拡大は同じですが、赤と青では同じではなく、倍率に色差があります。これは、アッベがこれらの対物レンズで使用した接眼レンズ (補正接眼レンズ) によって同じ量、ただし反対の方向に生成されるため、顕微鏡全体の画像では除去されます。最高の望遠鏡対物レンズ、および 3 色作業用の撮影対物レンズもアポクロマートですが、顕微鏡対物レンズと同じ補正品質は備えていません。その他の複製エラーの色彩の違いは、実用的な重要性を持つことはほとんどありません。^[8]

• 目の異常
• 光学望遠鏡 § ザイデルの5つの収差
• 波面コーディング

• 顕微鏡対物レンズ： Molecular Expressionsウェブサイトの光学収差セクション、Michael W. Davidson、Mortimer Abramowitz、Olympus America Inc.、およびフロリダ州立大学