トーティエント要約関数

数論において、トーティエント総和関数は次のように定義される オイラーのトーティエント関数の総和関数 である。 ${\displaystyle \Phi (n)}$

${\displaystyle \Phi (n):=\sum _{k=1}^{n}\varphi (k),\quad n\in \mathbf {N} }$

これは互いに素な整数ペア{p, q}の数です ( 1 ≤ p ≤ q ≤ n )。

最初のいくつかの値は、0、1、2、4、6、10、12、18、22、28、32 です ( OEISのシーケンスA002088 )。10 の累乗の値は ( OEISのシーケンスA064018 ) です。

トーティエント関数の メビウス反転を用いると、

${\displaystyle \Phi (n)=\sum _{k=1}^{n}k\sum _{d\mid k}{\frac {\mu (d)}{d}}={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{n}\mu (k)\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor \left(1+\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor \right)}$

Φ( n )は漸近展開を持つ

${\displaystyle \Phi (n)\sim {\frac {1}{2\zeta (2)}}n^{2}+O\left(n\log n\right),}$

ここでζ(2)は値2に対する リーマンゼータ関数である。

Φ( n )は互いに素な整数ペア{p,q}の数であり、1≤p≤q≤nです。

逆トーティエント関数の和は次のように定義される。

${\displaystyle S(n):=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\varphi (k)}}}$

エドマンド・ランダウは1900年にこの関数が漸近的な振る舞いを示すことを示した。

${\displaystyle S(n)\sim A(\gamma +\log n)+B+O\left({\frac {\log n}{n}}\right)}$

ここでγはオイラー・マスケロニ定数であり、

${\displaystyle A=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (k)^{2}}{k\varphi (k)}}={\frac {\zeta (2) )\ゼータ (3)}{\ゼータ (6)}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)}$

そして

${\displaystyle B=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (k)^{2}\log k}{k\,\varphi (k)}}=A\, \prod _{p}\left({\frac {\log p}{p^{2}-p+1}}\right).}$

定数A  = 1.943596... は、ランダウのトーティエント定数と呼ばれることもあります。その合計は収束し、次の式に等しくなります。 ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k\varphi (k)}}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k\varphi (k)}}=\zeta (2)\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{2}(p-1)}}\right)=2.20386\ldots }$

この場合、右辺の素数の積はトーティエント総和定数^[1]と呼ばれる定数であり、その値は次のようになる。

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{2}(p-1)}}\right)=1.339784\ldots }$

• 算術関数

• Weisstein、Eric W.「トーティエント総括関数」。MathWorld。

• OEIS トーティエント集計関数
• 全定数積の 10 進展開 (1 + 1/(p^2*(p-1)))、p 素数 >= 2)