準線形効用

経済学と消費者理論において、準線型効用関数は、一般にはニューメレールという１つの引数において線型である。準線型選好は、が厳密に凹である効用関数 によって表すことができる。^{[1] : 164}準線型効用関数の有用な特性は、 に対するマーシャル/ワルラスの需要が富に依存せず、したがって富の影響を受けないことである。^{[1] : 165–166} 富の効果が存在しないことで分析が簡素化され^{[1] : 222}、準線型効用関数がモデリングの一般的な選択肢となっている。さらに、効用が準線型である場合、補償変動 (CV)、等価変動 (EV)、および消費者余剰は代数的に等価である。^{[1] : 163}メカニズム設計 において、準線型効用は、エージェントがサイドペイメントによって互いに補償できることを保証する。 ${\displaystyle u(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=x_{1}+\theta (x_{2},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle x_{2},\ldots ,x_{n}}$

選好関係 が商品 1 (この場合は、ニューメレール商品と呼ばれる) に関して準線形である場合: ${\displaystyle \succsim}$

• すべての無差別集合は、商品1の軸に沿って互いに平行にずれている。つまり、束「x」が束「y」に対して無差別である場合（x~y）、次のようになる。^[2]${\displaystyle \left(x+\alpha e_{1}\right)\sim \left(y+\alpha e_{1}\right),\forall \alpha \in \mathbb {R} ,e_{1}=\left(1,0,...,0\right)}$
• 善1は望ましい。つまり、${\displaystyle \left(x+\alpha e_{1}\right)\succ \left(x\right),\forall \alpha >0}$

言い換えれば、消費量が増加すると無差別曲線の傾きを変えずに無差別曲線を外側にシフトさせる「ニューメレール」と呼ばれる商品が 1 つある場合、選好関係は準線形であると言えます。

2 次元の場合、無差別曲線は平行です。これは、効用関数全体を 1 つの無差別曲線から決定できるため便利です。

効用関数が財1において準線型であるとは、次の式で表される。

${\displaystyle u\left(x_{1},\dots ,x_{L}\right)=x_{1}+\theta \left(x_{2},...,x_{L}\right)}$

ここで は任意の関数である。^[3] 2つの財の場合、この関数は例えば次のようになる。${\displaystyle \theta}$${\displaystyle u\left(x,y\right)=x+{\sqrt {y}}.}$

準線形形式は、消費財のうち1つを除くすべての需要関数が所得ではなく価格のみに依存するという点で特殊である。例えば、価格がp _x = 1とp _yの2つの財がある場合、

${\displaystyle u(x,y)=x+\theta (y)}$

そして、2つの財の需要の合計が所定の所得水準になるという制約のもとで効用を最大化すると、yの需要は次の式から導かれる。

${\displaystyle \theta ^{\prime }(y)=p_{y}}$

それで

${\displaystyle y(p,I)=(\theta ^{\prime })^{-1}(p_{y}),}$

これは所得Iとは無関係です。

この場合の 間接効用関数は

${\displaystyle v(p,I)=v(p)+I,}$

これはゴーマン極形式の特殊なケースである。^{[1] : 154, 169}

最初の引数で局所的に不飽和である連続的な選好を持つ凸消費集合の場合、基数定義と順序定義は同等です。 ^[要出典]

• 準凸関数
• 線形効用関数 - 準線形効用関数の特殊なタイプ。