集合論における数学の実装

本稿では、集合論における数学的概念の実装について考察する。多くの基本的な数学的概念の実装は、 ZFC（主流の集合論）とNFU （1969年にRB Jensenによって一貫性があることが示されたクワインの新基礎論のバージョン。ここでは、少なくとも無限公理と選択公理を含むものと理解される）において並行して行われる。

ここで述べられていることは、2つの集合論のファミリーにも当てはまります。一つは、スケールの下限に近いツェルメロ集合論から、「可測基数が存在する」といった大きな基数仮説で拡張されたZFCまでを含む一連の理論です。もう一つは、New Foundationsの記事で概説されているNFUの拡張の階層です。これらは、集合論的宇宙がどのようなものであるかについての異なる一般的な見解に対応しており、これら2つの一般的な見解の下での数学的概念の実装へのアプローチが比較対照されています。

本稿の主な目的は、これらの理論が数学の基礎としてどちらが優れているかを論じることではありません。二つの異なる集合論を用いる理由は、数学の実現には複数のアプローチが可能であることを示すためです。まさにこのアプローチゆえに、本稿はいかなる数学的概念についても「公式な」定義を提供するものではありません。

以下のセクションでは、 ZFCとNFU の2 つの理論で特定の構成を実行し、結果として得られる特定の数学的構造 (自然数など) の実装を比較します。

数学理論は定理を証明する（そしてそれ以外は何も証明しない）。したがって、ある理論がある対象の構成を可能にすると言うことは、その対象が存在することがその理論の定理であることを意味する。これは、「x が次のようになる」という形式の定義に関する記述である。${\displaystyle \phi }$「存在する」${\displaystyle \phi }$これは私たちの言語の公式です。この理論は「xが存在し、${\displaystyle \phi }$「もしそれが定理であるならば、${\displaystyle \phi }$（バートランド・ラッセルの記述理論を参照。）大まかに言えば、この場合、理論はこの対象を「定義」または「構築」します。命題が定理でない場合、理論は対象が存在することを示すことができません。命題が理論において証明可能な偽である場合、対象が存在し得ないことが証明されます。大まかに言えば、対象は構築できません。

ZFCとNFUは集合論の言語を共有しているため、同じ形式定義「xであって、${\displaystyle \phi }$は、2つの理論で考察することができる。集合論の言語における定義の具体的な形式は、集合構成記法である。${\displaystyle \{x\mid \phi \}}$「すべての x に対して、${\displaystyle x\in A\leftrightarrow \phi }$「（Aは自由になれない${\displaystyle \phi }$この表記法には、いくつかの慣習的な拡張が認められています。${\displaystyle \{x\in B\mid \phi \}}$と同義です${\displaystyle \{x\mid x\in B\wedge \phi \}}$;$\{f(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid \phi \}}$は次のように定義される。${\displaystyle \{z\mid \exists x_{1},\ldots ,x_{n}\,(z=f(x_{1},\dots ,x_{n})\wedge \phi )\}}$、 どこ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$これは既に定義された式です。

集合構成記法で定義可能な式は、ZFC と NFU の両方で意味を持ちます。つまり、両方の理論が特定の定義が成功することを証明する場合もあれば、どちらも成功しない場合もあります (式${\displaystyle \{x\mid x\not \in x\}}$古典論理を用いた集合論では何も参照できない（NBGのようなクラス理論ではこの表記はクラスを参照するが、定義が異なる）、あるいは一方は参照するが他方は参照しない、という可能性もある。さらに、ZFCとNFUで同じように定義された対象が、2つの理論で異なる性質を持つことが判明する（あるいは、性質に証明可能な違いがない場合でも、証明できる内容に違いがあるかもしれない）。

さらに、集合論は数学の他の分野（厳密には数学のすべての分野）から概念を取り入れています。場合によっては、ZFCとNFUに概念を取り入れる方法は異なります。例えば、最初の無限順序数の通常の定義は${\displaystyle \omega }$ZFC における定義は NFU には適していません。なぜなら、対象 (純粋に集合論的な言語で定義されるすべての有限フォンノイマン順序数の集合) が NFU に存在することが示せないからです。${\displaystyle \omega }$NFUにおける自然数の実装は（純粋に集合論的な言葉で言えば）すべての真の始点セグメントが有限である無限整列の集合であり、ZFCには存在しないことが示せる対象である。このような輸入対象の場合、ZFCおよび関連理論で使用する定義と、NFUおよび関連理論で使用する定義が異なる場合がある。このような輸入された数学的概念の「実装」が意味を持つためには、2つの並行解釈が期待される性質を持つことを示す必要がある。例えば、ZFCとNFUにおける自然数の実装は異なるが、どちらも同じ数学的構造の実装である。なぜなら、どちらもペアノ算術のすべての基本要素の定義を含み、ペアノ公理（の翻訳）を満たすからである。ZFCに適した定義はZFCの文脈で使用され、NFUに適した定義はNFUの文脈で使用されると理解されている限り、集合論的な言葉だけが使用されている場合と同様に、2つの理論で何が起こるかを比較することができる。

ある理論において存在が証明されたものは、その理論のいかなる拡張においても明らかに存在が証明されます。さらに、ある対象が特定の理論において存在するという証明を分析すると、その対象がその理論のより弱いバージョンにおいても存在することが明らかになる場合があります（例えば、この記事で行っていることの多くについて、ZFCの代わりにツェルメロ集合論を検討することができます）。

これらの構成が最初に登場するのは、集合論において最も単純な構成だからであり、数学において最初に思い浮かぶ構成だからではない（ただし、有限集合の概念は確かに基本的である）。NFUは、まだ集合の要素になっていない集合の原初要素の構成も許容するが、空集合は要素を持たない唯一の集合である。

${\displaystyle \left.\varnothing \right.\,{\overset {\mathrm {def.} }{=}}\left\{x:x\neq x\right\}}$

各オブジェクトについて${\displaystyle x}$セットがあります${\displaystyle \{x\}}$と${\displaystyle x}$その唯一の要素として：

${\displaystyle \left\{x\right\}{\overset {\mathrm {def.} }{=}}\left\{y:y=x\right\}}$

オブジェクトの場合${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$セットがあります${\displaystyle \{x,y\}}$含む${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$その唯一の構成要素として：

${\displaystyle \left\{x,y\right\}{\overset {\mathrm {def.} }{=}}\left\{z:z=x\vee z=y\right\}}$

2つの集合の和集合は、通常の方法で定義されます。

${\displaystyle \left.x\cup y\right.\,{\overset {\mathrm {def.} }{=}}\left\{z:z\in x\vee z\in y\right\}}$

これは、順序付けされていないものの再帰的な定義です。${\displaystyle n}$任意の具体的なタプル${\displaystyle n}$（有限集合は、その要素のリストとして与えられます。）

${\displaystyle \left\{x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1}\right\}{\overset {\mathrm {def.} }{=}}\left\{x_{1},\ldots ,x_{n}\right\}\cup \left\{x_{n+1}\right\}}$

NFUでは、与えられたすべての集合の定義は階層的内包表記によって機能します。ZFCでは、順序なしペアの存在はペアリングの公理によって与えられ、空集合の存在は任意の集合の存在からの分離によって導かれ、2つの集合の二項和集合はペアリングと和集合の公理によって存在します（${\displaystyle x\cup y=\bigcup \{x,y\}}$)

まず、順序対を考えてみましょう。これが最初に来る理由は技術的なものです。順序対は関係と関数を実装するために必要であり、それらは他の概念を実装するために必要であり、それらの概念はより先に来るように見えるかもしれません。順序対の最初の定義は、定義でした。${\displaystyle (x,y){\overset {\mathrm {def} }{=}}\{\{\{x\},\emptyset \},\{\{y\}\}\}}$1914年にノルベルト・ウィーナーが『プリンキピア・マテマティカ』の型理論の文脈で提案した。ウィーナーは、これによりn > 1の場合のn項関係の型を同著の体系から排除できることに気づいた。現在では、定義を用いるのが一般的である。${\displaystyle (x,y){\overset {\mathrm {def.} }{=}}\{\{x\},\{x,y\}\}}$クラトフスキーによる。これらの定義はどちらもZFCとNFUのどちらでも機能する。NFUでは、これら2つの定義には技術的な欠点がある。クラトフスキーの順序対は射影よりも2型高いが、ウィーナーの順序対は3型高い。型レベルの順序対（ペア）の存在を仮定することは一般的である。${\displaystyle (x,y)}$これは、NFU におけるその射影と同じ型です。型レベルのペアの使用が正式に正当化されるまでは、両方のシステムでクラトフスキー ペアを使用するのが便利です。これらの定義の内部の詳細は、実際の数学的機能とは何の関係もありません。任意の概念に対して、${\displaystyle (x,y)}$順序対の場合、重要なのは定義条件を満たすことである

${\displaystyle (x,y)=(z,w)\ \equiv \ x=z\wedge y=w}$

…そして、順序対を集合にまとめることが比較的容易であること。

関係とは、すべての要素が順序対である集合です。可能な限り、関係は${\displaystyle R}$（二項述語として理解される）は、次のように実装されます。${\displaystyle \{(x,y)\mid xRy\}}$（次のように書くこともできます）${\displaystyle \{z\mid \pi _{1}(z)R\pi _{2}(z)\}}$）。 いつ${\displaystyle R}$は関係であり、表記法は${\displaystyle xRy}$手段${\displaystyle \left(x,y\right)\in R}$。

ZFCでは、一部の関係（集合上の一般的な等価関係や部分集合関係など）は集合としては「大きすぎる」（ただし、適切なクラスとして無害に具体化できる）。NFUでは、一部の関係（メンバーシップ関係など）は定義が階層化されていないため集合ではない。${\displaystyle \{(x,y)\mid x\in y\}}$、 ${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$同じタイプである必要がある (同じペアの投影として現れるため)、連続するタイプでもある (同じペアの投影として現れるため)。${\displaystyle x}$要素として考えられている${\displaystyle y}$)

関数関係は二項述語である${\displaystyle F}$そのため${\displaystyle \forall x,y,z\,\left(xFy\wedge xFz\to y=z\right).}$このような関係（述語）は、前のセクションで説明したとおり、関係（集合）として実装されます。したがって、述語は${\displaystyle F}$セットによって実装されます${\displaystyle \left\{\left(x,y\right):xFy\right\}}$関係${\displaystyle F}$関数であるのは、${\displaystyle \forall x,y,z\,\left(\left(x,y\right)\in F\wedge \left(x,z\right)\in F\to y=z\right).}$したがって、値関数を定義することが可能です。${\displaystyle F\!\left(x\right)}$ユニークなオブジェクトとして${\displaystyle y}$そのため${\displaystyle xFy}$–例: ${\displaystyle x}$は${\displaystyle F}$-関連${\displaystyle y}$関係${\displaystyle f}$保持する${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$または、唯一のオブジェクトとして${\displaystyle y}$そのため${\displaystyle \left(x,y\right)\in F}$両方の理論に集合ではない関数述語が存在するため、表記法を許容することが有用である。${\displaystyle F\!\left(x\right)}$セット両方${\displaystyle F}$そして、重要な関数述語の場合も同様です。後者の意味で関数を量化しない限り、そのような用法はすべて原理的に排除可能です。

形式的な集合論以外では、通常、関数は定義域と値域で指定されます。たとえば、「${\displaystyle f:A\to B}$関数であるとします。関数の定義域は、関係としての定義域に過ぎませんが、関数の値域はまだ定義していません。そのため、関数がからであるという用語を導入します。${\displaystyle A}$に${\displaystyle B}$定義域が等しい場合${\displaystyle A}$そしてその範囲は${\displaystyle B}$このように、すべての関数は定義域から値域への関数であり、関数でもある。${\displaystyle f}$から${\displaystyle A}$に${\displaystyle B}$は関数でもあります${\displaystyle A}$に${\displaystyle C}$任意の集合に対して${\displaystyle C}$含む${\displaystyle B}$。

実際、どの集合を関数の終域とみなしても、関数は定義上単なる順序対の集合であるため、集合としては変化しません。つまり、関数は定義によって終域を決定するわけではありません。もしこれが気に入らない場合は、代わりに関数を順序対として定義することもできます。${\displaystyle (f,B)}$、 どこ${\displaystyle f}$は関数関係であり、${\displaystyle B}$は値域ですが、この記事ではこのアプローチは採用しません（より洗練された方法としては、まず順序付きトリプルを定義します。たとえば、${\displaystyle (x,y,z)=(x,(y,z))}$すると、関数を順序付きトリプルとして定義することができる。${\displaystyle (f,A,B)}$ドメインも含むようにするためです。関係についても同じ問題が存在することに注意してください。形式集合論以外では、通常「${\displaystyle R\subseteq A\times B}$二項関係である」だが、形式的には${\displaystyle R}$は、次のような順序対の集合である。${\displaystyle {\text{dom}}\,R\subseteq A}$そして${\displaystyle {\text{ran}}\,R\subseteq B}$。

NFUでは、${\displaystyle x}$同じタイプを持つ${\displaystyle F\!\left(x\right)}$、 そして${\displaystyle F}$3種類以上${\displaystyle F\!\left(x\right)}$（型レベルの順序対を使用する場合は、1つ上の型）。この問題を解決するには、次のように定義できます。${\displaystyle F\left[A\right]}$として${\displaystyle \left\{y:\exists x\,\left(x\in A\wedge y=F\!\left(x\right)\right)\right\}}$任意の集合に対して${\displaystyle A}$しかし、これは次のように書く方が便利です。${\displaystyle \left\{F\!\left(x\right):x\in A\right\}}$すると、${\displaystyle A}$セットであり、${\displaystyle F}$が任意の関数関係である場合、置換公理は以下を保証する。${\displaystyle F\left[A\right]}$ZFCでは、NFU では、${\displaystyle F\left[A\right]}$そして${\displaystyle A}$今では同じタイプで、${\displaystyle F}$2種類以上${\displaystyle F\left[A\right]}$（型レベルの順序対が使用されている場合は、同じ型になります。）

機能${\displaystyle I}$そのため${\displaystyle I\!\left(x\right)=x}$これは「大きすぎる」ため、ZFC の集合ではありません。${\displaystyle I}$ただし、NFU ではセットです。関数 (述語)${\displaystyle S}$そのため${\displaystyle S\!\left(x\right)=\left\{x\right\}}$はどちらの理論においても関数でも集合でもありません。ZFC では、そのような集合は大きすぎるため、NFU では、その定義が階層化されないため、これは正しいです。さらに、${\displaystyle S}$NFUには存在しないことが証明できる（『新基礎論』におけるカントールのパラドックスの解決を参照）。

ZFCとNFUの両方において、2つの集合AとBが同じサイズ（または等数）であるのは、 AからBへの全単射fが存在する場合に限る。これは次のように書ける。${\displaystyle |A|=|B|}$ただし、（現時点では）これは未定義のオブジェクト間の関係ではなく、AとB間の関係を表していることに注意してください。${\displaystyle |A|}$そして${\displaystyle |B|}$この関係をで表す。${\displaystyle A\sim B}$基数の実際の定義のような文脈では、抽象的な基数を前提とするような表現は避けるべきである。

同様に定義する${\displaystyle |A|\leq |B|}$AからBへの注入がある場合に限り、成り立つ。

等数関係が同値関係であることを示すのは簡単である。AとAの等数は、${\displaystyle i_{A}}$; f の証人が${\displaystyle |A|=|B|}$、 それから${\displaystyle f^{-1}}$目撃者${\displaystyle |B|=|A|}$; そして、f 人の証人が${\displaystyle |A|=|B|}$そして証人たち${\displaystyle |B|=|C|}$、 それから${\displaystyle g\circ f}$目撃者${\displaystyle |A|=|C|}$。

次のように証明できる。${\displaystyle |A|\leq |B|}$は抽象基数上の線形順序であるが、集合上の線形順序ではない。反射性は明らかであり、推移性は等数性の場合と同様に証明される。ZFCとNFUで完全に標準的な方法で証明できるシュレーダー・ベルンシュタインの定理は、

• ${\displaystyle |A|\leq |B|\wedge |B|\leq |A|\rightarrow |A|=|B|}$

（これにより基数に反対称性が確立される）

• ${\displaystyle |A|\leq |B|\vee |B|\leq |A|}$

どちらの理論においても、選択公理から標準的な方法で導かれる。

自然数は、有限順序数または有限基数として考えることができます。ここでは、自然数を有限基数として考えます。ZFCとNFUの実装における大きな違いが最初に明らかになるのは、まさにこの点です。

ZFCの無限公理によれば、${\displaystyle \emptyset }$および${\displaystyle y\cup \{y\}}$各${\displaystyle y\in A}$この集合Aは一意に決定されません (この閉包性を維持しながら、より大きくすることができます)。自然数の集合Nは

• ${\displaystyle \{x\in A\mid \forall B\,(\emptyset \in B\wedge \forall y\,(y\in B\rightarrow y\cup \{y\}\in B)\rightarrow x\in B)\}}$

これは、空集合を含み、「後継者」操作に関して閉じているすべての集合の共通部分である。${\displaystyle y\mapsto y\cup \{y\}}$。

ZFCでは、${\displaystyle A}$が有限であるのは、${\displaystyle n\in N}$そのため${\displaystyle |n|=|A|}$さらに定義する${\displaystyle |A|}$有限集合Aの場合、 nは次のように定義される。（異なる2つの自然数が同じ大きさになることはあり得ないことが証明できる。）

通常の算術演算は、再帰的に、そして自然数の集合自体が定義されるのと非常によく似たスタイルで定義できます。たとえば、+（自然数の加算演算）は、次の要素を含む最小の集合として定義できます。${\displaystyle ((x,\emptyset ),x)}$各自然数に対して${\displaystyle x}$および${\displaystyle ((x,y\cup \{y\}),z\cup \{z\})}$含まれる場合${\displaystyle ((x,y),z)}$。

NFUでは、後継操作が${\displaystyle y\cup \{y\}}$は階層化されていないため、上記で定義された集合N がNFU に存在することを示すことはできません (有限フォンノイマン順序数の集合が NFU に存在することは矛盾しませんが、この集合の存在は計数公理を意味するため、この理論を強化します (これについては下記またはNew Foundations の記事を参照してください))。

自然数の標準的な定義（実際には集合論における自然数の定義の中で最も古いもの）は、等数性のもとでの有限集合の同値類として定義される。本質的に同じ定義がNFUにも当てはまる（これは通常の定義ではないが、結果は同じである）：有限集合の集合Finを次のように定義する。

${\displaystyle \{A\mid \forall F\,(\emptyset \in F\wedge \forall x,y\,(x\in F\rightarrow x\cup \{y\}\in F)\rightarrow A\in F)\}}$

任意の集合に対して${\displaystyle A\in Fin}$、 定義する${\displaystyle |A|}$として${\displaystyle \{B\mid A\sim B\}}$Nを集合として定義する${\displaystyle \{|A|\mid A\in Fin\}}$。

NFUの無限公理は次のように表現できる。${\displaystyle V\not \in Fin}$: これは、各自然数が空でない後継数（の後継数）を持つことを確立するのに十分である。${\displaystyle |A|}$いる${\displaystyle |A\cup \{x\}|}$いかなる場合でも${\displaystyle x\not \in A}$これは、ペアノ算術公理が満たされていることを示す上で最も難しい部分である。

算術演算は、上記と同様のスタイルで定義できます（先ほど定義した後継者の定義を使用）。また、自然な集合論的な方法で定義することもできます。AとBが互いに素な有限集合である場合、|A|+|B|を次のように定義します。${\displaystyle |A\cup B|}$より厳密には、mとnがN の要素である場合、 m+n を次のように定義します。

${\displaystyle \{A\mid \exists B,C\,(B\in m\wedge C\in n\wedge B\cap C=\emptyset \wedge A=B\cup C)\}}$

（ただし、この定義方法はZFC数にも適用可能ですが、より迂遠な方法になります。NFU定義の形式は集合操作を容易にし、 ZFC定義の形式は再帰的定義を容易にしますが、どちらの理論もどちらの定義方法もサポートしています。）

この2つの実装は大きく異なります。ZFCでは、各有限濃度の代表元を選択します（同値類自体は大きすぎて集合にすることはできません）。一方、NFUでは同値類自体が集合であるため、濃度を表すオブジェクトとして当然の選択肢となります。しかし、この2つの理論の算術演算は同一です。つまり、表面上は異なるこの2つのアプローチによって、同じ抽象化が実装されているのです。

集合論における抽象化を実装する一般的な手法は、同値類を用いることである。同値関係R が、その体Aの要素が何らかの特定の点で類似していることを示している場合、任意の集合xに対して、集合を次のように考える。${\displaystyle [x]_{R}=\{y\in A\mid xRy\}}$集合xから、それらの特徴のみを考慮した抽象化を表すものとして（Aの要素をRまで 識別する）。

任意の集合Aに対して、集合${\displaystyle P}$Pのすべての要素が空でなく、 Pの任意の 2 つの異なる要素が互いに素である場合、 Aの分割である。${\displaystyle A=\bigcup P}$。

体Aとの同値関係Rごとに、${\displaystyle \{[x]_{R}\mid x\in A\}}$はAの分割である。さらに、 Aの各分割Pは同値関係を決定する。${\displaystyle \{(x,y)\mid \exists A\in P\,(x\in A\wedge y\in A)\}}$。

この手法は、 ZFCとNFUの両方において限界がある。ZFCでは、宇宙は集合ではないため、小さな領域の要素からのみ特徴を抽象化できると思われる。これは、Dana Scottによるトリックを使用することで回避できる。Rが宇宙上の同値関係である場合、次のように定義する。${\displaystyle [x]_{R}}$yの集合として、${\displaystyle yRx}$yのランクは、どのランクよりも小さいか等しい。${\displaystyle zRx}$これは、ランクが集合であるため機能します。もちろん、適切なクラスが存在する可能性はあります。${\displaystyle [x]_{R}}$'s。NFUでは、主な困難は${\displaystyle [x]_{R}}$x より 1 上のタイプなので、たとえば「マップ」${\displaystyle x\mapsto [x]_{R}}$一般には（集合）関数ではないが（ただし）${\displaystyle \{x\}\mapsto [x]_{R}}$これは、選択公理を使用して各同値類から代表者を選択して置き換えることで回避できます。${\displaystyle [x]_{R}}$これはxと同じ型になります。または、Choice を呼び出さずにこれを行う方法がある場合は、正規表現を選択します (ZFC でも表現の使用はほとんど知られていません)。NFU では、例えば以下の基数と序数の定義のように、同値類構成を使用して一般集合のプロパティを抽象化することがより一般的です。

2つの整列${\displaystyle W_{1}}$そして${\displaystyle W_{2}}$似ていて、${\displaystyle W_{1}\sim W_{2}}$体からの全単射fが存在する場合${\displaystyle W_{1}}$の分野へ${\displaystyle W_{2}}$そのため${\displaystyle xW_{1}y\leftrightarrow f(x)W_{2}f(y)}$すべてのxとyについて。

類似性は、上で等数性が同値関係であることが示されたのとほぼ同じように、同値関係であることが示される。

New Foundations (NFU)では、整列順序Wの順序タイプは、 Wと類似するすべての整列順序の集合です。順序数の集合は、すべての整列順序タイプの集合です。

ZFCでは同値類が大きすぎるため、この方法は使えません。スコットのトリックを使って順序数をほぼ同じように定義することは形式的には可能ですが、フォン・ノイマンの手法の方が一般的に用いられています。

任意の半順序${\displaystyle \leq }$対応する厳密な半順序<は次のように定義されます。${\displaystyle \{(x,y)\mid x\leq y\wedge x\neq y\}}$厳密な線形順序と厳密な整列順序は同様に定義される。

集合Aは、次の場合に推移的であると言われます。${\displaystyle \bigcup A\subseteq A}$: Aの要素の各要素もまたAの要素である。(フォン・ノイマン) 順序数は推移的な集合であり、そのメンバーシップは厳密な整列順序である。

ZFCでは、整列順序Wの順序型は、 Wの体と同数であり、かつそのメンバーシップがWに関連付けられた厳密整列順序と同型である唯一のフォン・ノイマン順序数として定義される。（同数条件は、サイズ0と1の体を持つ整列順序を区別するものであり、それらの関連付けられた厳密整列順序は区別できない。）

ZFCでは、すべての順序数の集合は存在し得ません。実際、フォン・ノイマン順序数は、いかなる集合論においても矛盾した全体性を持ちます。控えめな集合論的仮定の下で、フォン・ノイマン順序数のすべての要素がフォン・ノイマン順序数であり、フォン・ノイマン順序数はメンバーシップによって厳密に整列していることが示されます。したがって、フォン・ノイマン順序数のクラスが集合であれば、それはフォン・ノイマン順序数になります。しかし、その場合、それはそれ自体の要素となり、メンバーシップがフォン・ノイマン順序数の厳密な整列であるという事実に矛盾します。

すべての整列順序に順序型が存​​在することは、ツェルメロ集合論の定理ではありません。置換公理が必要です。スコットのトリックでさえ、追加の仮定（例えば、すべての集合が集合である階数に属するという仮定など。これは本質的にツェルメロ集合論を強化するものではありませんが、その理論の定理でもありません）なしにはツェルメロ集合論では使用できません。

NFUでは、すべての順序数の集合は階層的内包によって集合化されます。ブラリ・フォルティのパラドックスは予期せぬ方法で回避されます。によって定義される順序数には自然な順序があります。${\displaystyle \alpha \leq \beta }$いくつか（そして任意の）${\displaystyle W_{1}\in \alpha }$は、いくつかの（そしてあらゆる）の冒頭部分に似ています。${\displaystyle W_{2}\in \beta }$さらに、この自然順序は順序数の整列順序であり、したがって順序型を持つ必要があることが示される。${\displaystyle \Omega }$. 順序数のタイプは、 ${\displaystyle \Omega }$自然の秩序に従えば${\displaystyle \Omega }$事実と矛盾するが${\displaystyle \Omega }$は、順序数上の自然順序全体の順序型です（したがって、その適切な初期セグメントの順序型ではありません）。しかし、これは、順序数上の自然順序の順序型が以下であるという直感（ZFCでは正しい）に依存しています。${\displaystyle \alpha }$は${\displaystyle \alpha }$任意の序数${\displaystyle \alpha }$この主張は階層化されていない。なぜなら、2番目のタイプは${\displaystyle \alpha }$最初の型の型より4つ高い（型レベルのペアを使用する場合は2つ高い）。NFUで真であり証明可能な主張は、より小さい順序数の自然順序の順序型は、${\displaystyle \alpha }$は${\displaystyle T^{4}(\alpha )}$任意の序数${\displaystyle \alpha }$、 どこ${\displaystyle T(\alpha )}$注文タイプは${\displaystyle W^{\iota }=\{(\{x\},\{y\})\mid xWy\}}$いかなる場合でも${\displaystyle W\in \alpha }$（これは W の選択に依存しないことは容易に示せる。T は型を 1 つ上げることに留意する。）したがって、より小さい順序数の順序型は${\displaystyle \Omega }$自然の秩序と共に${\displaystyle T^{4}(\Omega )}$、 そして${\displaystyle T^{4}(\Omega )<\Omega }$. すべての使用${\displaystyle T^{4}}$ここでは、${\displaystyle T^{2}}$型レベルのペアが使用される場合。

これは、T 操作が自明ではないことを示しており、いくつかの結果をもたらします。シングルトンマップが${\displaystyle x\mapsto \{x\}}$これは集合ではない。そうでなければ、このマップの制約により、Wと${\displaystyle W^{\iota }}$任意の整列Wに対して、Tは（外部的に）全単射かつ順序保存的である。このため、${\displaystyle T^{4}(\Omega )<\Omega }$確立する${\displaystyle \Omega >T(\Omega )>T^{2}(\Omega )\ldots }$これは、集合にはなり得ない順序数の「降順列」です。

Tによって固定される順序数はカントール順序数と呼ばれ、カントール順序数のみを支配する順序数（カントール順序数自体も容易にカントール順序数であることが示される）は強カントール順序数であると言われる。カントール順序数の集合や強カントール順序数の集合は存在しない。

NFUでは基数は自然数の定義を一般化した方法で定義されます。任意の集合Aに対して、${\displaystyle |A|\,{\overset {\mathrm {def} }{=}}\left\{B\mid B\sim A\right\}}$。

ZFCでは、これらの同値類は通常通り大きすぎます。スコットのトリックを使用できます (実際、ZFで使用されています)。${\displaystyle |A|}$は通常、 Aの整列の最小の順序型 (ここではフォン・ノイマン順序数) として定義されます(すべての集合が整列可能であることは、両方の理論において通常の方法で選択公理から導かれます)。

基数上の自然順序は整列順序であることがわかります。反射性、反対称性（現在利用可能な抽象基数に関して）、推移性については既に上で示しました。それが線形順序であることは選択公理から導かれます。2つの集合を整列順序すると、一方の整列順序の初期セグメントは他方の整列順序と同型になるため、一方の集合の濃度は他方の集合の濃度よりも小さくなります。それが整列順序であることも、同様の方法で選択公理から導かれます。

それぞれの無限基数には、通常の理由（集合論のいずれにおいても）から、多くの順序タイプが関連付けられています。

カントールの定理は（どちらの理論においても）無限基数の間に非自明な区別があることを示している。ZFCでは、${\displaystyle |A|<|P(A)|.}$NFUでは、カントールの定理の通常の形式は偽です（A=Vの場合を考えてください）。しかし、カントールの定理は型が不正なステートメントです。NFUにおける定理の正しい形式は次のとおりです。${\displaystyle |P_{1}(A)|<|P(A)|}$、 どこ${\displaystyle P_{1}(A)}$は、A の要素が 1 個の部分集合の集合です。${\displaystyle |P_{1}(V)|<|P(V)|}$これは、集合よりも「少ない」シングルトンが存在することを示している（明らかな全単射${\displaystyle x\mapsto \{x\}}$から${\displaystyle P_{1}(V)}$Vは既に集合ではないことがわかっています。NFU + Choice では実際に証明できます。${\displaystyle |P_{1}(V)|<|P(V)|\ll |V|}$（どこ${\displaystyle \ll }$は、多くの介在基数の存在を示します。つまり、非常に多くの要素が存在します。) 基数に対する、順序数に対する T 操作に類似した型上げ T 操作を定義します。${\displaystyle T(|A|)=|P_{1}(A)|}$これは基数の外部自己準同型であり、順序数に対する T 演算が順序数の外部自己準同型であるのと同様である。

集合Aは、万が一の場合に備えてカントール的であると言われている。${\displaystyle |A|=|P_{1}(A)|=T(|A|)}$枢機卿${\displaystyle |A|}$はカントール基数とも言われる。集合Aは、単一集合のAへの制限が( )の場合に限り、強くカントール的である (そしてその基数も強くカントール的である) と言われる。${\displaystyle (x\mapsto \{x\})\lceil A}$）は集合です。強カントール集合の整列は常に強カントール順序数になりますが、カントール集合の整列については必ずしもそうではありません（ただし、カントール集合の最短整列はカントールになります）。カントール集合とは、カントールの定理の通常の形式を満たす集合です。

基数演算は、どちらの理論においても集合論的な観点から定義されている。${\displaystyle |A|+|B|=\{C\cup D\mid C\sim A\wedge D\sim B\wedge C\cap D=\emptyset \}}$定義したいのは${\displaystyle |A|\cdot |B|}$として${\displaystyle |A\times B|}$、ZFCではこれを実行するが、 NFUではクラトフスキー対を使用する際に障害がある。${\displaystyle |A|\cdot |B|}$として${\displaystyle T^{-2}(|A\times B|)}$これは、ペアとその射影の間に2の型変位があるためであり、これはデカルト積とその因子の間に2の型変位があることを意味します。積が常に存在することは容易に証明できます（ただし、Tの逆元は全積ではないため注意が必要です）。

基数に対する指数演算を定義するには、本質的にTが必要となる。${\displaystyle B^{A}}$AからBへの関数の集合として定義され、これはAまたはBよりも3つのタイプが高いので、定義するのは妥当である。${\displaystyle |B|^{|A|}}$として${\displaystyle T^{-3}(|B^{A}|)}$AまたはBと同じタイプになるように（${\displaystyle T^{-1}}$置き換える${\displaystyle T^{-3}}$（型レベルのペアを使用）。この結果、指数演算は部分的になります。たとえば、${\displaystyle 2^{|V|}}$は未定義です。ZFCでは、次のように定義します。${\displaystyle |B|^{|A|}}$として${\displaystyle |B^{A}|}$難なく。

指数演算は全演算であり、T がそのような基数を固定し、カントール集合間の関数空間がカントール的であることを容易に示すことができるため（冪集合、直積、その他の通常の型構成子と同様）、カントール基数上では期待どおりに動作します。これは、NFUの「標準」基数がカントール的（実際には強カントール的）基数であり、「標準」順序数が強カントール的順序数であるように見えるのと同様に、その見解をさらに裏付けるものです。

これで、選択公理を用いた基数算術の通常の定理を証明できる。${\displaystyle \kappa \cdot \kappa =\kappa }$事例から${\displaystyle |V|\cdot |V|=|V|}$型レベルの順序対の存在は次のように導き出せる。${\displaystyle |V|\cdot |V|=T^{-2}(|V\times V|)}$に等しい${\displaystyle |V|}$念のため${\displaystyle |V\times V|=T^{2}(|V|)=|P_{1}^{2}(V)|}$これは、クラトフスキー対間の1対1の対応によって証明されるだろう。${\displaystyle (a,b)}$そしてダブルシングルトン${\displaystyle \{\{c\}\}}$: 再定義する${\displaystyle (a,b)}$cは、${\displaystyle \{\{c\}\}}$クラトフスキと関連がある${\displaystyle (a,b)}$これは、型レベルでの順序対の概念です。

したがって、 NFUには自然数の2つの異なる実装があります（ ZFCでは同じですが）：有限順序数と有限基数です。これらはそれぞれNFUのT演算（基本的に同じ演算）をサポートしています。${\displaystyle T(n)}$n がNFU + Infinity + Choiceの自然数である場合、自然数です(したがって${\displaystyle |N|}$そして最初の無限順序数${\displaystyle \omega }$（カントール派）だが、この理論では証明できない${\displaystyle T(n)=n}$しかし、常識的に考えてこれは真実であるはずであり、したがって公理として採用することができる。

• ロッサーの計数公理：各自然数nに対して、${\displaystyle T(n)=n}$。

この公理（そして実際にはその元の定式化）の自然な帰結の一つは

• ${\displaystyle |\{1,\ldots ,n\}|=n}$各自然数nについて。

カウントなしでNFUで証明できるのは${\displaystyle |\{1,\ldots ,n\}|=T^{2}(n)}$。

計数の結果、Nは強いカントール集合である（これもまた同等の主張である）。

正の分数を、正の自然数のペアで表します（0は除外します）。${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ペアで表される${\displaystyle (p,q)}$作るために${\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {r}{s}}\leftrightarrow ps=qr}$関係を導入する${\displaystyle \sim }$定義される${\displaystyle (p,q)\sim (r,s)\leftrightarrow ps=qr}$これは同値関係であることが証明できます。正の有理数を、この関係に基づく正の自然数のペアの同値類として定義します。正の有理数に対する算術演算と正の有理数に対する順序関係は、小学校で習うのと同じように定義され、（多少の努力は必要ですが）期待される性質を持つことが証明されます。

大きさ（正の実数）は、最大要素を持たない正の有理数の空でない真の初期セグメントとして表現します。大きさに対する加算と乗算の演算は、大きさの正の有理数の要素を要素ごとに加算することによって実装されます。順序は、集合の包含関係として実装されます。

実数を差分として表す${\displaystyle m-n}$大きさの: 厳密に言えば、実数はペアの同値類である${\displaystyle (m,n)}$等価関係における大きさ${\displaystyle \sim }$定義される${\displaystyle (m,n)\sim (r,s)\leftrightarrow m+s=n+r}$実数に対する加算と乗算の演算は、差の加算と乗算に関する代数的な規則から予想されるとおりに定義されます。順序の扱いも初等代数と同様です。

これは構成の最も簡潔な概略です。自然数の構成の違いを除けば、 ZFCとNFUの構成は全く同じであることに注意してください。すべての変数は強カントール集合に制限されているため、階層化の制約について心配する必要はありません。計数公理がない場合、これらの構成の詳細な議論では、Tのいくつかの応用例を紹介する必要があるかもしれません。

この種の構造においては、 ZFCはNFUよりも優位性を持っているように思われる。NFUにおいても構造は明らかに実現可能であるが、階層化に関係する理由から、ZFCよりも複雑になる。

このセクション全体を通して、型レベルの順序対を仮定します。${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$として${\displaystyle (x_{1},(x_{2},\ldots ,x_{n}))}$クラトフスキー対を用いた一般的なnタプルの定義は、すべての射影の型を同じに保つ必要があり、nタプルとその射影間の型のずれがn の増加とともに大きくなるため、より複雑です。ここでは、nタプルはそれぞれの射影と同じ型を持ちます。

一般的なデカルト積は同様に定義される。${\displaystyle A_{1}\times A_{2}\times \ldots \times A_{n}=A_{1}\times (A_{2}\times \ldots \times A_{n})}$

ZFCにおける定義は同じだが、階層化については考慮する必要がない（ここで示されているグループ分けは、一般的に使用されているものとは逆だが、これは簡単に修正できる）。

次に、無限のデカルト積を考えてみましょう。${\displaystyle \Pi _{i\in I}A_{i}}$ZFCでは、これは定義域Iを持つすべての関数fの集合として定義され、${\displaystyle f(i)\in A_{i}}$（ここで、Aは暗黙のうちに、各iを${\displaystyle A_{i}}$)

NFUでは、これには型への注意が必要です。集合Iと、その値が${\displaystyle \{i\}}$で${\displaystyle P_{1}(I)}$書かれている${\displaystyle A_{i}}$、 定義する${\displaystyle \Pi _{i\in I}A_{i}}$定義域Iを持つすべての関数fの集合として、${\displaystyle f(i)\in A_{i}}$: 注意してください${\displaystyle f(i)\in A_{i}=A(\{i\})}$は、 A がインデックスの単一要素に値をとる関数であるという慣例により階層化されています。この定義では、非常に大きな集合族（単一要素の集合でインデックス付けできないもの）はデカルト積を持たないことに注意してください。さらに、集合は${\displaystyle A_{i}}$はインデックス集合Iと同じ型です(その要素よりも 1 つ高い型であるため)。積は、ドメインIを持つ関数の集合(つまりIと同じ型) として、1 つ高い型になります (型レベルの順序対を仮定)。

次に、製品について考えてみましょう。${\displaystyle \Pi _{i\in I}|A_{i}|}$これらの集合の基数の濃度。濃度 |${\displaystyle \Pi _{i\in I}A_{i}}$| はカーディナルよりも一段階上の種類です${\displaystyle |A_{i}|}$したがって、基数の無限積の正しい定義は${\displaystyle T^{-1}(|\Pi _{i\in I}A_{i}|)}$（Tの逆関数は全関数ではないため、存在しない可能性もある。）

集合族の非交和と基数族の和についても同様に繰り返します。ここでも、A を定義域を持つ集合値関数とします。${\displaystyle P_{1}(I)}$： 書く${\displaystyle A_{i}}$のために${\displaystyle A(\{i\})}$互いに素な和集合${\displaystyle \Sigma _{i\in I}A_{i}}$セットは${\displaystyle \{(i,a)\mid a\in A_{i}\}}$このセットは、他のセットと同じタイプです。${\displaystyle A_{i}}$。

合計の正しい定義${\displaystyle \Sigma _{i\in I}|A_{i}|}$したがって${\displaystyle |\Sigma _{i\in I}A_{i}|}$型置換がないため。

これらの定義を拡張して、単一要素の集合ではないインデックス集合を扱うことも可能ですが、そのためには型レベルが一つ増える必要があり、ほとんどの場合必要ありません。

ZFCにおいて、非交和を定義する。${\displaystyle \Sigma _{i\in I}A_{i}}$として${\displaystyle \{(i,a)\mid a\in A_{i}\}}$、 どこ${\displaystyle A_{i}}$略す${\displaystyle A(i)}$。

順列法を用いることで、すべての強カントール集合Aに対して、要素が自己単一要素である同じサイズの集合Iが存在するという主張がNFUと相対的に整合していることを示すことができる。${\displaystyle i=\{i\}}$Iの各iについて。

ZFCにおいて、累積階層を、以下の条件を満たす集合の順序インデックス付きシーケンスとして定義する。${\displaystyle V_{0}=\emptyset }$;${\displaystyle V_{\alpha +1}=P(V_{\alpha })}$;${\displaystyle V_{\lambda }=\bigcup \{V_{\beta }\mid \beta <\lambda \}}$制限順序数の場合${\displaystyle \lambda }$これは超限再帰による構成の一例です。集合Aのランクは次のように表されます。${\displaystyle \alpha }$かつその場合に限り${\displaystyle A\in V_{\alpha +1}-V_{\alpha }}$ランクが集合として存在することは、各極限ステップでの置換公理に依存します（階層構造はツェルメロ集合論では構築できません）。基礎公理により、すべての集合は何らかのランクに属します。

枢機卿${\displaystyle |P(V_{\omega +\alpha })|}$と呼ばれる${\displaystyle \beth _{\alpha }}$。

この構成はNFUでは実行できません。なぜなら、べき集合演算はNFUの集合関数ではないからです(${\displaystyle P(A)}$階層化の目的上、Aよりも一段階上のタイプである。

基数の列${\displaystyle \beth _{\alpha }}$NFUで実装できます。${\displaystyle 2^{|A|}}$は次のように定義される。${\displaystyle T^{-1}(|\{0,1\}^{A}|)}$、 どこ${\displaystyle \{0,1\}}$サイズ2の便利なセットで、${\displaystyle |\{0,1\}^{A}|=|P(A)|}$。 させて${\displaystyle \beth }$最小の基数集合で、${\displaystyle |N|}$（自然数の集合の濃度）には濃度が含まれる${\displaystyle 2^{|A|}}$含まれる場合${\displaystyle |A|}$、そして基数の集合の上限に関して閉じている。

整列順序の順序インデックス付けに関する規則${\displaystyle W_{\alpha }}$は、 の体xの要素として定義される。${\displaystyle W}$制限の順序タイプ${\displaystyle W}$に${\displaystyle \{y\mid yWx\}}$は${\displaystyle \alpha }$;次に定義する${\displaystyle \beth _{\alpha }}$インデックスを持つ要素として${\displaystyle \alpha }$自然の秩序において${\displaystyle \beth }$枢機卿${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$インデックスが${\displaystyle \alpha }$すべての無限基数上の自然順序（これは整列順序である、上記参照）において。${\displaystyle \aleph _{0}=|N|}$この定義からすぐに導かれる。これらの構成すべてにおいて、インデックスの型は${\displaystyle \alpha }$型レベル順序対よりも2つ高い${\displaystyle W_{\alpha }}$。

ZFCの各集合Aは推移閉包を持つ${\displaystyle TC(A)}$（ Aを含むすべての推移的集合の共通部分）。基礎公理により、メンバーシップ関係をAの推移的閉包に制限することは、整礎関係である。${\displaystyle \in \lceil TC(A)}$は空であるか、最上位要素がAであるため、この関係は集合図です。ZFC では、すべての集合図は何らかの集合図と同型であることが証明できます。${\displaystyle \in \lceil TC(A)}$。

これは、累積階層（の初期部分）を集合図の同型類を考察することで研究できることを示唆している。これらの同型類は集合であり、NFUの集合を構成する。集合図の同型類への所属に類似した自然な集合関係が存在する。${\displaystyle x}$セット画像です、書いてください${\displaystyle [x]}$同型クラスを定義し、${\displaystyle [x]E[y]}$保持する場合${\displaystyle [x]}$は、yの最上位要素の y による逆像の要素の 1 つを下方閉包に制限したときの同型類です。関係 E は集合関係であり、それが整礎かつ外延的であることは容易に証明できます。E の定義が分かりにくい場合は、 Aに関連付けられた集合像とBに関連付けられた集合像の間に成り立つ関係によって正確に誘導されるという観察から推論できます。${\displaystyle A\in B}$通常の集合論において。

集合図の同型類には、順序数に対する T 演算に類似した T 演算が存在する。xが集合図であれば、${\displaystyle x^{\iota }=\{(\{a\},\{b\})\mid (a,b)\in x\}}$。 定義する${\displaystyle T([x])}$として${\displaystyle [x^{\iota }]}$容易にわかるように、${\displaystyle [x]E[y]\leftrightarrow T([x])=T([y])}$。

このシミュレートされた集合論の外延性の公理は、Eの外延性から導かれる。その健全性から基礎の公理が導かれる。公理Eがどのような理解を持つかという問題が残る。任意の集合図の集合を考えてみよう。${\displaystyle \{x^{\iota }\mid x\in S\}}$（フィールドがすべてシングルトンで構成されている集合画像のコレクション）。${\displaystyle x^{\iota }}$x より 1 つ上の型 (型レベルの順序対を使用) で、各要素を置き換える${\displaystyle \{a\}}$各分野の${\displaystyle x^{\iota }}$コレクションには${\displaystyle (x,\{a\})}$その結果、元の集合と同型であるが、体同士が互いに素な集合像の集合が得られる。これらの集合像と新しい最上位要素との和集合は、E の下での逆像が元の集合の要素と完全に一致するような集合像となる。つまり、任意の同型型の集合に対して、${\displaystyle [x^{\iota }]=T([x])}$同型型が存在する${\displaystyle [y]}$Eの下での逆像は、まさにこのコレクションである。

特に、 E の下での逆像がすべてのT [ x ] ( T [ v ] を含む)の集合である同型型[v]が存在する。T [ v ] E vであり、Eは整礎であるため、${\displaystyle T[v]\neq v}$これは、上記および「新しい基礎」の記事で議論されたブラリ・フォルティのパラドックスの解決に似ており、実際には、すべての整礎集合の集合に関するミリマノフのパラドックスの局所的な解決である。

通常の集合論における集合のランクと同様に、集合図の同型類のランクも存在します。任意の集合図の集合Aに対して、S ( A ) を、E による逆像が A の部分集合であるような集合図のすべての同型類の集合と定義します。A のすべての部分集合が E による逆像である場合、A を「完全」集合と呼びます。「ランク」の集合は、空集合を含み、S 演算 (一種の冪集合構成) およびその部分集合の和集合に関して閉じている最小の集合です。通常の集合論と同様に、ランクが包含関係によって整列していることは容易に証明できます。したがって、ランクはこの整列順序でインデックスを持ちます。インデックスを持つランクを参照してください。${\displaystyle \alpha }$として${\displaystyle R_{\alpha }}$証明できるのは、${\displaystyle |R_{\alpha }|=\beth _{\alpha }}$完全な階級については${\displaystyle R_{\alpha }}$完全ランク（最初の不完全ランクとなる）と関係 E の和集合は、ツェルメロ型集合論の宇宙の初期セグメントのように見える（ZFCの完全な宇宙とは必ずしも同じではない。十分な大きさではない可能性がある）。次のことが証明できる。${\displaystyle R_{\alpha }}$最初の不完全なランクは、${\displaystyle R_{T(\alpha )}}$完全なランクであるため${\displaystyle T(\alpha )<\alpha }$。したがって、「累積階層のランク」があり、そのランクを下方へ移動させる「外部自己同型」Tが存在する。これは、累積階層のランクの非標準モデルに関する条件と全く同じであり、その条件の下で、New Foundationsの記事でNFUのモデルが構築されている。検証すべき技術的な詳細があるが、この構造では、ZFCの断片だけでなくNFU自体の解釈も可能であり、${\displaystyle [x]\in _{NFU}[y]}$定義される${\displaystyle T([x])E[y]\wedge [y]\in R_{T(\alpha )+1}}$: この「関係」${\displaystyle E_{NFU}}$これは集合関係ではありませんが、通常のメンバーシップ関係と同様に、引数間の型変位は同じです。${\displaystyle \in }$。

つまり、NFU内部には集合の累積階層の自然な構造があり、それはツェルメロ流の集合論におけるNFUモデルの自然な構造を内包している。

「新基礎」の記事で説明されているカントール集合の公理の下では、E関係をメンバーシップとする集合図の同型類の集合のうち、強くカントール的な部分は、ZFCの（適切なクラス）モデルになります（各nに対してn - Mahlo基数が存在するモデルです。このNFUの拡張はZFCよりも厳密に強いものです）。これは、強くカントール的な同型類が集合を構成しないため、適切なクラスモデルです。 

順列法を用いることで、NFUの任意のモデルから、集合図のあらゆる強カントール同型型が、真のメンバーシップ関係を集合の推移閉包に制限したものとして実際に実現されるモデルを作成することができる。

• 公理的集合論

• キース・デブリン、1994年。『集合の喜び』第2版。シュプリンガー・フェルラーク。
• Holmes, Randall, 1998. 『普遍集合を用いた初等集合論』 Academia-Bruylant。出版社のご厚意により、本書の入門書をウェブ経由でNFUに公開することを許可いただきました。著作権は留保されています。
• ポッター、マイケル、2004年。『集合論とその哲学』第2版。オックスフォード大学出版局。
• サップス、パトリック、1972年。『公理的集合論』ドーバー出版。
• トゥーラキス、ジョージ、2003年。『論理学と集合論講義、第2巻』ケンブリッジ大学出版局。

• Metamath: ZFCの公理と一階述語論理から数学を継続的に導出することに特化したウェブサイト。
• スタンフォード哲学百科事典：
  • クワインの新たな基礎― トーマス・フォースター著
  • 代替的な公理的集合論― ランダル・ホームズ著
• ランドール・ホームズ：ニュー・ファウンデーションズ ホームページ