階層化（数学）

階層化は数学においてさまざまな用途に使用されます。

数理論理学において、階層化とは、論理理論の唯一の形式的解釈が存在することを保証する、述語記号への数値の一貫した割り当てのことです。具体的には、次の条件を満たす階層化割り当て S が存在する場合にのみ、 形式の節の集合は階層化されていると言えます。${\displaystyle Q_{1}\wedge \dots \wedge Q_{n}\wedge \neg Q_{n+1}\wedge \dots \wedge \neg Q_{n+m}\rightarrow P}$

1. 述語 P が述語 Q から積極的に派生している場合 (つまり、P がルールのヘッドであり、Q が同じルールの本体に積極的に出現している場合)、P の層化数は Q の層化数以上である必要があります (つまり、 ) 。${\displaystyle S(P)\geq S(Q)}$
2. 述語 P が否定述語 Q から派生している場合 (つまり、P が規則の先頭であり、Q が同じ規則の本体内で否定的に出現している場合)、P の層化数は Q の層化数よりも大きくなければなりません (つまり、 ) 。${\displaystyle S(P)>S(Q)}$

層化否定の概念は、層化最小不動点の観点から、層化プログラムに対する非常に効果的な操作意味論につながります。これは、不動点演算子をプログラムの各層に最下位から順に繰り返し適用することによって得られます。層化は、ホーン節 理論の一意の解釈を保証するのに役立つだけではありません。

New Foundations (NF) および関連する集合論では、等式とメンバーシップを含む一階述語論理の言語による 式は、 に現れる各変数(構文の項目として考慮される) を自然数 (すべて整数が使用される場合も同様に機能する) に現れる任意の原子式が を満たし、に現れる任意の原子式がを満たすような方法で に現れる関数が存在する場合にのみ、階層化されていると言われます。 ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle x\in y}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \sigma (x)+1=\sigma (y)}$ ${\displaystyle x=y}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \sigma (x)=\sigma (y)}$

これらの条件は、原子式の両方の変数が検討中の集合抽象内で結合されている場合にのみ満たされることを要求すれば十分であることがわかります。この弱い条件を満たす集合抽象は、弱く成層化され ていると言われます 。 ${\displaystyle \{x\mid \phi \}}$

New Foundationsの成層化は、より多くの述語と項構成を持つ言語に容易に一般化できます。各基本述語は、（弱く）成層化された式における（境界）引数における の値間の指定された必要な変位を持っている必要があります。項構成を持つ言語では、項自体に の下で値が割り当てられ、（弱く）成層化された式における各（境界）引数の値から固定された変位が割り当てられる必要があります。定義された項構成は、記述理論を使用することで（おそらく単に暗黙的に）うまく処理されます。項（ となる x ）には、変数 x と 同じ値が割り当てられる必要があります。${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle (\iota x.\phi )}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \sigma }$

式が階層化されるのは、New Foundations の記事で説明されている型の理論の TST バージョンで意味を成すような方法で、式に現れるすべての変数に型を割り当てることができる場合に限られます。これはおそらく、 New Foundationsの階層化を実際に 理解するための最良の方法です。

層化の概念はラムダ計算に拡張することができ、これはランドール・ホームズの論文に記載されています。

階層化を使用する動機は、ラッセルのパラドックス、すなわちフレーゲの中心的な著作『算術基礎』 （1902年）を覆したとされる矛盾に対処するためである。 クワイン、ウィラード・ヴァン・オーマン（1963年）[1961年]。『論理的観点から』（第2版）。ニューヨーク：ハーパー＆ロウ社。90ページ。LCCN 61-15277  。

特異点理論では、位相空間 Xを互いに素な部分集合に分解し、各部分集合が位相多様体となる(したがって、特に 成層は位相空間の分割を定義する ) という別の意味があります。これは、制限がない場合には有用な概念ではありませんが、さまざまな層が何らかの認識可能な条件セットによって定義され (たとえば、局所的に閉じている)、管理しやすいように組み合わされる場合、この考え方は幾何学でよく適用されます。Hassler WhitneyとRené Thom は、成層に対する形式的な条件を最初に定義しました。Whitneyの成層と位相的に成層された空間を参照してください。

層別抽出法を参照してください。

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