非周期的なタイル張り

テセレーションの数学において、非周期的なタイリングとは、並進対称性を持たないタイリングのことである。非周期的なプロトタイルの集合とは、タイリングは可能であるが、非周期的にしかタイリングできないタイルタイプの集合である。これらのプロトタイルの集合のいずれかによって生成されるタイリングは、非周期的なタイリングと呼ばれることがある。^{[ 1 ]}

ペンローズタイリングは、非周期タイリングのよく知られた例である。^{[ 2 ] [ 3 ]}

2023年3月、デビッド・スミス、ジョセフ・サミュエル・マイヤーズ、クレイグ・S・カプラン、チャイム・グッドマン＝ストラウスの4人の研究者は、デビッド・スミスが発見したタイルが非周期モノタイル、つまり、単一形状の非周期タイルの存在を求めるアインシュタイン問題の解であることを証明したと発表した。 ^{[ 4 ]} 2023年5月、同じ著者らは、同様だがより強い制約を持つキラル非周期モノタイルを発表した。^{[ 5 ]}

非周期的なタイル張りは、1982年にダン・シェヒトマン^{[ 6 ]}によって発見され、その後2011年にノーベル賞を受賞した物理的固体である準結晶の数学的モデルとして機能します^{[ 7 ]。}しかし、これらの材料の特定の局所構造はまだよく理解されていません。

非周期的なタイル張りを構成する方法はいくつか知られている。

単位正方形による周期的なタイリング（無限グラフ用紙のように見える）を考えてみましょう。次に、1つの正方形を2つの長方形に切り分けます。このようにして得られるタイリングは非周期的です。つまり、このタイリングを固定したままにする非ゼロのシフトは存在しません。しかし、明らかにこの例はペンローズ・タイリングほど面白くありません。このような退屈な例を除外するために、任意に大きな周期部分を含まないタイリングを非周期的なタイリングと定義します。

タイリングの外殻が非周期的なタイリングのみを含む場合、そのタイリングは非周期的と呼ばれます。$\displaystyle T\subset \mathbb {R} ^{d}}$Tのすべての平行移動T + xと、 Tの平行移動によって近似できるすべてのタイル張りが含まれる。形式的には、これは集合の閉包である。${\displaystyle \{T+x\,:\,x\in \mathbb {R} ^{d}\}}$局所トポロジーでは。^{[ 8 ]}局所トポロジー（または対応するメトリック）では、2 つのタイリングが${\displaystyle \varepsilon }$半径の球状の範囲内で合意すれば閉じる${\displaystyle 1/\varepsilon }$原点の周り（おそらく、1 つのタイルを 1 つ未満だけ移動した後）${\displaystyle \varepsilon }$)

上記よりもさらに簡単な例を挙げると、直線の1 次元タイリングT は... aaaaaaabaaaaa ...のようになります。ここで、a は長さ 1 の区間、b は長さ 2 の区間を表します。したがって、タイリングT は、 aの無限個のコピーとbの 1 つのコピー(中心は 0 とします) から構成されます。T のすべての平行移動は、どこかにb が1 つあり、別の場所にa があるタイリングです。bが中心にあるタイリングのシーケンスは、${\displaystyle 1,2,4,\ldots ,2^{n},\ldots }$局所的なトポロジーでは、s のみからなる周期的なタイリングに収束します。したがって、Tは非周期的なタイリングではありません。なぜなら、その外殻には周期的なタイリング... aaaaaa ...が含まれているからです。

性質の良いタイリング（例えば、有限個の局所パターンを持つ置換タイリング）の場合、タイリングが非周期的かつ反復的（つまり、各パッチがタイリング全体に均一に密に現れる）であれば、それは非周期的である。^{[ 8 ]}

イランのダルブ・イ・イマーム廟などのイスラム装飾では、非周期的なタイル模様が観察されている。 ^{[ 9 ]}これらは、ペンローズ・タイリングと同様の非周期的なギリフ・タイリング技法を用いて作られたと考えられている。^{[ 9 ]}

非周期的なタイル張りの最初の具体的な事例は、1961 年に論理学者のHao Wang がドミノ問題が決定可能かどうか、つまり、与えられた有限個のプロトタイルの集合が平面のタイル張りを許容するかどうかを決定するアルゴリズムが存在するかどうかを判断しようとしたときに現れた。Wang は、平面をタイル張りできないタイルセットと、周期的にタイル張りできるタイルセットを列挙するアルゴリズムを見つけた。これにより、平面のタイル張りを許容するすべての有限個のプロトタイルの集合が周期的なタイル張りも許容する場合、そのような決定アルゴリズムが存在することを示した。1964年に、Robert Berger は非周期的なプロトタイルの集合を見つけ、そこからタイル張りの問題は実際には決定不可能であることを示した。^{[ 10 ] [ 11 ]} Berger が決定不可能性の証明に使用したこの最初のそのような集合は、20,426 個の Wang タイルを必要とした。ベルガーは後に自身のセットを104に減らし、ハンス・ラウヒリはその後、ワンタイル40枚のみを必要とする非周期セットを発見した。^{[ 12 ]}ワンタイルに基づく6枚の非周期タイルからなるより小さなセットは、1971年にラファエル・M・ロビンソンによって発見された。 ^{[ 13 ]}ロジャー・ペンローズは1973年と1974年にさらに3つのセットを発見し、必要なタイルの数を2枚に減らし、ロバート・アマンは1977年にいくつかの新しいセットを発見した。^{[ 14 ]}必要なタイルの数は、2023年にデビッド・スミス、ジョセフ・サミュエル・マイヤーズ、クレイグ・S・カプラン、チャイム・グッドマン＝ストラウスによって1枚に減らされた。^{[ 4 ] [ 5 ] [ 15 ]}

非周期ペンローズタイリングは、非周期プロトタイルの集合だけでなく、置換法やカットアンドプロジェクション法によっても生成できます。準結晶の発見後、非周期タイリングは物理学者や数学者によって集中的に研究されるようになりました。ペンローズタイリングに対するNG de Bruijnのカットアンドプロジェクション法は、最終的にMeyer集合の理論の一例であることが判明しました。^{[ 16 ] [ 17 ]}現在、非周期タイリングに関する文献は膨大にあります。^{[ 8 ]}

アインシュタイン（ドイツ語: ein Stein 、1つの石）は、単一の形状のみを使用する非周期的なタイルです。このようなタイルは、2010年にソコラー・テイラータイルとして初めて発見されましたが、これは1つのピースに繋がっていません。2023年には、「帽子」と呼ばれる形状を使用した連結タイルが発見されました。^{[ 18 ]}

非周期的なタイリングの構成法はいくつか知られている。いくつかの構成法は、タイルの非周期的な集合の無限族に基づいている。^{[ 19 ] [ 20 ]}これまでに発見されたタイリングは、主に何らかの非周期的な階層構造を強制することによって、いくつかの方法で構成されている。それにもかかわらず、ドミノ問題の決定不能性により、無限に多くの異なる構成原理が存在し、実際には、非周期性の証明ができないタイルの非周期的な集合が存在することが保証される。

しかし、2023年まで有限個のプロトタイルに対して主に使われてきた構築原理は3つあります。^{[ 21 ]}

• マッチングルール、
• 置換および拡張ルールと
• 切り抜き投影法。

一部のタイリングについては、そのタイリングを生成することが知られている構成法は1つだけです。ペンローズタイリングのように、3つの古典的な方法すべてで構成できるものもあります。^{[ 21 ]}

グッドマン＝ストラウスは、置換規則によって生成され、技術的条件を満たすすべてのタイリングは、マッチング規則によって生成できることを証明した。技術的条件は緩やかで、実際には通常満たされる。タイルは、置換タイリングが兄弟エッジ間となるような一連の継承エッジを許容する必要がある。^{[ 19 ]}

マッチングによる非周期的な階層的タイリング

タイリングを行うには、プロトタイルの合同なコピーが、重なり合うことなく（境界部分を除いて）、また覆われていない部分を残さずに、ユークリッド平面全体を敷き詰める必要があります。したがって、タイリングを構成するタイルの境界は幾何学的に一致する必要があります。これは一般的に、非周期的なタイリングと周期的なタイリングの両方に当てはまります。場合によっては、この幾何学的な一致条件だけでタイルセットが非周期的になることがあります。例えば、後述するロビンソンのタイリングがこれに該当します。

場合によっては、タイルを揃えるために追加のルールが必要になることがあります。これは通常、複数のタイルの境界を越えて色や模様が一致する必要があるというものです。王牌は通常、このような追加ルールを必要とします。

場合によっては、プロトタイルの境界を修正することで、マッチングルールを幾何学的マッチング条件に完全に置き換えることが可能でした。 ペンローズタイリング（P1）は、もともと4つのプロトタイルといくつかのマッチングルールで構成されています。4つのタイルのうちの1つは五角形です。この五角形のプロトタイルを、境界に追加の突起と凹みを持つ3つの異なる五角形の形状に置き換えることで、3つの異なるタイルを作成できます。境界を適切に調整した他の3つのプロトタイルと合わせると、基本的に元の4つのタイルと同じ非周期タイリングを作成する6つのプロトタイルのセットが得られますが、6つのタイルには追加のマッチングルールは必要なく、幾何学的マッチング条件で十分です。

また、下記のロビンソンのプロタイルには、構造を視覚的に認識しやすくするためのマーキングが施されていますが、これらのマーキングは、幾何学的境界によって既に設定されているような、タイル上のマッチングルールをさらに増やすものではありません。

現在までに、タイリングが階層構造を持つ場合を正式に定義した文献は存在しません。しかしながら、置換タイリングは階層構造を持つことは明らかであり、ベルガー、クヌート、ラウヒリ、ロビンソン、アマンのタイリングも同様です。「非周期的タイリング」という用語自体と同様に、「非周期的階層的タイリング」という用語は便利な略語であり、「階層構造を持つ非周期的タイリングのみを許容するタイルの集合」といった意味合いを持ちます。

非周期的なタイリングの場合、追加のマッチングルールが関係するか否かにかかわらず、マッチング条件によってタイリングに何らかの階層構造が強制され、その結果、周期的な構造は不可能になる。

これらのタイルセットは、どのようなタイリングにおいても、特定の階層構造を強制します。（後の多くの例では、この構造は置換タイリングシステムとして説明できます。これについては後述します。）このようなタイルセットによって許容されるタイリングは、いずれも周期的ではありません。なぜなら、単一の変換では階層構造全体を不変に保つことができないからです。ロビンソンの1971年のタイルを考えてみましょう。

これらのタイルによるタイリングは、正方形格子の階層構造しか示さない。つまり、任意のオレンジ色の正方形の中心は、より大きなオレンジ色の正方形の角でもあり、これは無限に続く。いかなる平行移動も、ある一定のサイズの正方形よりも小さくなければならないため、このようなタイリングを不変に保つことはできない。

ロビンソンは、これらのタイルがこの構造を形成することを帰納的に証明した。つまり、タイルはブロックを形成し、そのブロック自体が元のタイルのより大きなバージョンとして組み合わさる、というように連鎖的に続く構造を形成する必要がある。階層構造しか許容しないタイルの集合を見つけるというこの考え方は、現在までに知られているほとんどの非周期的なタイルの集合の構築に用いられてきた。

しかし、このようにして生成されるタイリングは一意ではなく、例えば平行移動や回転といったユークリッド群の等長変換に関しても一意ではありません。ロビンソンのタイルから構築された平面の完全なタイリングには、最大4本の腕で無限に伸びる欠陥（回廊とも呼ばれる）が存在する場合と存在しない場合があり、最大4文字のアルファベットΣに対して^Σωから無限の単語を符号化できる追加の選択肢があります。 ^{[ 14 ]}要約すると、ロビンソンのタイルから生じる可能性のある、ユークリッド等長変換によって関連付けられていない無数の異なるタイリングがあり、それらはすべて必然的に非周期的です。

交代

置換タイリングシステムは、非周期的なタイリングの豊富な源泉を提供する。置換構造を強制的に出現させるタイルの集合は、置換構造を強制すると言われる。例えば、下に示した椅子型タイルは置換が可能であり、置換タイリングの一部が右下に示されている。これらの置換タイリングは、上記で説明したのと全く同じように、必然的に非周期的であるが、椅子型タイル自体は非周期的ではない。幾何学的マッチング条件を満たす無印の椅子型タイルによる周期的なタイリングは容易に見つけることができる。

しかし、下に示したタイルは椅子置換構造を強制的に出現させるため、それ自体が非周期的である。^{[ 22 ]}

ペンローズ タイル、そしてその直後にアンマンが考案したいくつかの異なるタイル セット^{[ 23 ]}は、置換タイリング構造を明示的に強制的に出現させることに基づく最初の例でした。ジョシュア ソコラー^{[ 24 ] [ 25 ]} 、ロジャー ペンローズ^{[ 26 ]} 、ルートヴィヒ ダンツァー^{[ 27 ]}、ハイムグッドマン＝ストラウス^{[ 22 ]}は、その後いくつかのセットを発見しました。シャハル モゼスは、1 次元置換システムのすべての積がマッチング ルールによって強制できることを示し、最初の一般的な構成を与えました。^{[ 20 ]}チャールズ ラディンは、コンウェイ ピンホイール置換タイリングシステムを実行するルールを発見しました。^{[ 28 ]} 1998 年に、グッドマン＝ストラウスは、いくつかの緩やかな条件の下で、任意の置換タイリング構造を強制するローカル マッチング ルールを見つけることができることを示しました。^{[ 19 ]}

カットアンドプロジェクション方式

非周期的なタイリングは、高次元構造を低次元空間に投影することによっても得られ、特定の条件下では、この非周期的な構造を強制するタイルが存在し、非周期的となる。ペンローズタイルは、この最初の最も有名な例であり、de Bruijnの先駆的な研究で最初に指摘された。^{[ 29 ]}マッチング規則によって強制できるカットおよび投影タイリングの完全な（代数的）特徴付けはまだないが、多くの必要条件または十分条件が知られている。^{[ 30 ]}

非周期的なタイリングは、1984年に物理学者のダン・シェヒトマンが、明確な5回対称性を持つシャープな回折図を生成するアルミニウム-マンガン合金の相の発見を発表するまで、数学的なアーティファクトと考えられていました^{[ 6 ]}。つまり、それは二十面体対称性を持つ結晶性物質でなければなりませんでした。1975年にロバート・アマンはすでにペンローズ構成を3次元の二十面体相当に拡張していました。このような場合、「タイリング」という用語は「空間を埋める」という意味で使用されます。フォトニックデバイスは現在、異なる層の非周期的なシーケンスとして構築されており、したがって1つの方向では非周期的で、他の2つの方向では周期的です。Cd-Teの準結晶構造は、原子が平面の非周期的なパターンで配置されている原子層で構成されているようです。このような非周期的な構造では、エネルギーの最小値またはエントロピーの最大値が発生することがあります。シュタインハルトは、グンメルトの重なり合う十角形が極値原理の適用を可能にし、それによって非周期タイリングの数学と準結晶の構造との間のつながりを提供することを示した。^{[ 36 ]}ファラデー波は、非周期的なパターンの大きなパッチを形成することが観察されている。^{[ 37 ]}この発見の物理学は、非周期的なタイリングと干渉現象を結びつけることを示唆する不整合構造と周波数への関心を再び高めた。^{[ 38 ]}

非周期という用語は、タイリングに関する数学文献（および力学系やグラフ理論などの他の数学分野でも、全く異なる意味で）でさまざまな方法で使用されてきました。タイリングに関して、非周期という用語は、非周期という用語と同義で使用されることがありました。非周期タイリングとは、自明でない並進によって固定されないタイリングのことです。この用語は、非周期的なプロトタイルの集合によって生成されるタイリングを暗黙的または明示的に記述することがありました。非周期という用語は、物理的な非周期固体、すなわち準結晶、または何らかの全体的な秩序を持つ非周期的なものを指して、検討中の構造を漠然と記述するためによく使用されました。^{[ 39 ]}

「タイリング」という言葉の使用も、その定義が単純明快であるにもかかわらず、問題が多い。例えば、ペンローズ・タイリングは一つとして存在しない。ペンローズ菱形は無限に多くのタイリングを許容する（局所的に区別することはできない）。一般的な解決策は、技術文書ではこれらの用語を慎重に使用しつつ、非公式な用語が広く使われていることを認識することである。

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