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数学において、マイヤー集合またはほぼ格子は、ユークリッド平面または高次元ユークリッド空間内の点の比較的密な集合Xであり、それ自体とのミンコフスキー差は一様離散的である。マイヤー集合にはいくつかの同等の特徴付けがあり、それらはディオファントス近似の文脈でそれらを導入し研究したイヴ・マイヤーにちなんで名付けられている。今日では、マイヤー集合は準結晶の数学的モデルとして最もよく知られている。しかし、マイヤーの研究は準結晶の発見より10年以上前に行われ、完全に数論的な問題によって動機づけられたものであった。[1] [2]
定義と特徴
距離空間の部分集合Xが相対稠密であるとは、Xのすべての点がXから距離r以内にあるような数r が存在する場合であり、 X が一様離散的であるとは、 Xのどの 2 つの点も互いに距離ε以内にあるような数ε が存在する場合である。相対稠密かつ一様離散的な集合はデローン集合と呼ばれる。X がベクトル空間の部分集合であるとき、そのミンコフスキー差X − X はXの要素のペアの差の集合 { x − y | x , y in X } である。[3]
これらの定義により、マイヤー集合は、X − Xが一様離散であるような比較的稠密な集合Xとして定義できる。同様に、 X − Xがデローンであるようなデローン集合Xである[1] 、または、 X − X ⊂ X + Fとなる有限集合Fが存在するようなデローン集合Xである[4]。
追加の同等の特徴付けには、集合
与えられたXとεに対して定義され、（ε がゼロに近づくにつれて）格子の逆格子の定義に近似する。相対的に稠密な集合Xがマイヤー集合であるための必要十分条件は、
- すべてのε > 0に対して、 X ε は相対的に稠密である、または同等である
- 0 < ε < 1/2のεが存在し、その場合X εは比較的稠密である。[1]
ベクトル空間の加法閉部分集合の指標は、複素数平面上の単位円にその集合を写像する関数であり、任意の 2 つの要素の和はそれらの像の積に写像される。集合Xが調和集合であるとは、 Xの加法閉包上のすべての指標χとすべてのε > 0 に対して、空間全体にχ をε近似する連続指標が存在する場合である。相対的に稠密な集合Xがマイヤー集合であるためには、それが調和的であることが必要である。[1]
例
マイヤーセットには以下が含まれます
- 格子の点
- 任意の菱形ペンローズタイルの頂点[5]
- 別のマイヤー集合と任意の空でない有限集合とのミンコフスキー和[4]
- 他のマイヤー集合の相対的に稠密な部分集合[6]
参考文献
- ^ abcd Moody, Robert V. (1997)、「マイヤー集合とその双対」、長距離非周期的秩序の数学 (ウォータールー、オンタリオ州、1995)、NATO 先端科学研究所シリーズ C: 数学および物理科学、第 489 巻、ドルドレヒト: Kluwer Academic Publishers、pp. 403–441、MR 1460032。
- ^ Lagarias, JC (1996)、「マイヤーの準結晶および準正則集合の概念」、Communications in Mathematical Physics、179 (2): 365–376、Bibcode :1996CMaPh.179..365L、doi :10.1007/bf02102593、MR 1400744。
- ^ ムーディーは、局所コンパクト群に特化した相対密度と一様離散性について異なる定義を与えているが、これらの定義は実ベクトル空間の通常の定義と一致すると述べている。
- ^ ab Moody (1997)、第7節。
- ^ ムーディー（1997）、セクション3.2。
- ^ ムーディー（1997）、系6.7。