同義反復的帰結

命題論理において、トートロジー的帰結は厳密な形式の論理的帰結^{[ 1 ]}であり、命題のトートロジー性が証明の1行目から次の行目まで保持される。すべての論理的帰結がトートロジー的帰結であるとは限らない。命題${\displaystyle Q}$は、1 つ以上の他の命題のトートロジー的帰結であると言われている (${\displaystyle P_{1}}$、${\displaystyle P_{2}}$、...、${\displaystyle P_{n}}$)ある論理体系に関する証明において、その体系の規則に従って証明の行に命題を正しく導入できる場合、また、すべての場合において、(${\displaystyle P_{1}}$、${\displaystyle P_{2}}$、...、${\displaystyle P_{n}}$）が真であるならば、命題は${\displaystyle Q}$それもまた真実である。

この同義性の保持を表現する別の方法は真理値表を用いることである。命題${\displaystyle Q}$は、1 つ以上の他の命題のトートロジー的帰結であると言われている (${\displaystyle P_{1}}$、${\displaystyle P_{2}}$、...、${\displaystyle P_{n}}$）すべての命題に「T」を割り当てる結合真理値表のすべての行において、${\displaystyle P_{1}}$、${\displaystyle P_{2}}$、...、${\displaystyle P_{n}}$真理値表では「T」も割り当てられる。${\displaystyle Q}$。

a = 「ソクラテスは人間である。」 b = 「すべての人間は死ぬ。」 c = 「ソクラテスは死ぬ。」

1

b

${\displaystyle {\therefore c}}$

この議論の結論は前提から論理的に導かれる結果である。なぜなら、すべての前提が真であるにもかかわらず結論が偽であることはあり得ないからである。

真理値表を確認すると、議論の結論は前提のトートロジー的な帰結ではないことがわかります。前提にTを割り当てるすべての行が結論にもTを割り当てているわけではありません。特に、2行目はa ∧ bにTを割り当てていますが、 cにはTを割り当てていません。

同義的帰結は次のように定義することもできます。${\displaystyle P_{1}}$∧${\displaystyle P_{2}}$∧ ... ∧${\displaystyle P_{n}}$→${\displaystyle Q}$これは同義反復の置換例であり、同じ効果を持つ。^{[ 2 ]}

定義から、命題pが矛盾である場合、 p はすべての命題をトートロジー的に含意することがわかる。なぜなら、 p を真にする真偽値が存在しないため、トートロジー的含意の定義は自明に満たされるからである。同様に、 pがトートロジーである場合、pはすべての命題によってトートロジー的に含意される。

• 論理的帰結
• 同義反復（論理学）
• 真理値表

• Barwise, Jon、およびJohn Etchemendy。『言語、証明、論理』。スタンフォード：CSLI（言語情報研究センター）出版、1999年。印刷版。
• Kleene, SC (1967) Mathematical Logic、2002年再版、Dover Publications、ISBN 0-486-42533-9。