ハートマン・グロブマン定理

数学において、力学系の研究におけるハートマン・グロブマン定理または線形化定理は、双曲平衡点の近傍における力学系の局所的動作に関する定理である。線形化（系の自然な単純化）は動作の質的パターンを予測するのに効果的であると主張している。この定理の名前はフィリップ・ハートマンとデイビッド・M・グロブマン に由来する。

この定理は、双曲的平衡点付近の領域における動的システムの挙動は、この平衡点付近での線形化の挙動と質的に同じであると述べています。ここで、双曲性とは、線形化の固有値の実部がゼロにならないことを意味します。したがって、このような動的システムを扱う場合、システムのより単純な線形化を使用して、平衡点付近での挙動を分析できます。^[1]

ある滑らかな写像に対する微分方程式 を満たす状態 とともに時間とともに発展するシステムについて考える。ここで、写像 が双曲平衡状態 を持つと仮定する。つまり、 であり、状態 におけるのヤコビ行列には、実部がゼロに等しい固有値がないとする。すると、平衡 の近傍と同相 が存在し、 近傍では のフローはその線形化 のフローに連続写像 によって位相的に共役になる。^{[2] [3] [4] [5]}同様の結果が反復写像、およびフローの不動点または多様体上の写像に対しても成り立つ。 ${\displaystyle u(t)\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle du/dt=f(u)}$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle u^{*}\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f(u^{*})=0}$ ${\displaystyle A=[\partial f_{i}/\partial x_{j}]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle u^{*}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle u^{*}}$ ${\displaystyle h\colon N\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle h(u^{*})=0}$${\displaystyle N}$${\displaystyle du/dt=f(u)}$${\displaystyle U=h(u)}$${\displaystyle dU/dt=AU}$

単なる位相共役性は、平衡点付近の挙動に関する幾何学的情報を提供しません。実際、任意の 2 つの平衡点の近傍は、収縮方向 (負の固有値) の次元が一致し、拡張方向 (正の固有値) の次元が一致する限り、位相共役です。^[6]しかし、この文脈での位相共役性は、完全な幾何学的図を提供します。実際、平衡点付近の非線形位相ポートレートは、線形化されたシステムの位相ポートレートのサムネイルです。これが、次の規則性の結果の意味であり、以下の例の鞍型平衡によって示されています。

無限に微分可能な写像 の場合でも、同相写像は滑らかである必要はなく、局所的にリプシッツである必要もありません。しかし、指数が 1 に任意に近いヘルダー連続であることがわかります。 ^{[7] [8] [9] [10]}さらに、面上、つまり次元 2 では、線型同相写像とその逆写像は連続的に微分可能です (以下の例のように、平衡点での微分が恒等写像である) ^[4]が、 である必要はありません。^[11]また、任意の次元で、 がヘルダー連続微分を持つ場合、線型同相写像は平衡点で微分可能であり、平衡点での微分が恒等写像です。^{[12] [13]}${\displaystyle f}$${\displaystyle h}$${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle f}$

ハートマン・グロブマン定理は、無限次元バナッハ空間、非自律系（潜在的に確率的）、および実部がゼロまたはゼロに近い固有値がある場合に発生する位相的な差異に対応するために拡張されている。^{[10] [8] [14] [15] [16] [17]}${\displaystyle du/dt=f(u,t)}$

この例に必要な代数は、自律的または非自律的、決定論的または確率的微分方程式系の正規形座標変換を計算するWebサービスによって簡単に実行できます。^[18]

一対の連立微分方程式に従って発展する 変数の2次元システムを考える${\displaystyle u=(y,z)}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=-3y+yz\quad {\text{and}}\quad {\frac {dz}{dt}}=z+y^{2}.}$

直接計算すると、この系の唯一の平衡点は原点、つまり にあることがわかります。 の座標変換は、次のように与えられます。 ${\displaystyle u^{*}=0}$${\displaystyle u=h^{-1}(U)}$${\displaystyle U=(Y,Z)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}y&\approx Y+YZ+{\dfrac {1}{42}}Y^{3}+{\dfrac {1}{2}}YZ^{2}\\[5pt]z&\approx Z-{\dfrac {1}{7}}Y^{2}-{\dfrac {1}{3}}Y^{2}Z\end{aligned}}}$

は、少なくとも原点の平衡点付近では、 元の座標と新しい座標の間の滑らかな写像である。新しい座標では、力学系は線形化に変換される。${\displaystyle u=(y,z)}$${\displaystyle U=(Y,Z)}$

${\displaystyle {\frac {dY}{dt}}=-3Y\quad {\text{and}}\quad {\frac {dZ}{dt}}=Z.}$

つまり、線形化の歪んだバージョンは、ある有限の近傍における元のダイナミクスを与えます。

• 線形近似
• 安定多様体定理

• アーウィン、マイケル C. (2001)。「線形化」。滑らかな動的システム。ワールド サイエンティフィック。pp. 109–142。ISBN 981-02-4599-8。
• ペルコ、ローレンス (2001)。『微分方程式と動的システム』（第3版）。ニューヨーク：シュプリンガー。pp. 119–127。ISBN 0-387-95116-4。
• ロビンソン、クラーク (1995)。『動的システム：安定性、記号的ダイナミクス、カオス』ボカラトン：CRC プレス。pp. 156–165。ISBN 0-8493-8493-1。

• Coayla-Teran, E.; Mohammed, S.; Ruffino , P. (2007 年 2 月)。「双曲定常軌道に沿ったハートマン-グロブマン定理」。離散および連続動的システム。17 (2): 281–292。doi : 10.3934 /dcds.2007.17.281。
• テシュル、ジェラルド(2012)。『常微分方程式と動的システム』プロビデンス：アメリカ数学会。ISBN 978-0-8218-8328-0。
• 「応用数学における最も中毒性の高い定理」。サイエンティフィック・アメリカン。