ヒルベルトの第12問題

ヒルベルトの第12問題は、有理数のアーベル拡大に関するクロネッカー・ウェーバーの定理を任意の基底数体に拡張する問題である。これは23のヒルベルト数学問題の1つであり、円分体とその部分体と同様に、さらに多くの数体の族を生成する1の根の類似物を求めるものである。レオポルド・クロネッカーは複素乗法の問題を「青春時代の最も大切な夢」と表現したため、この問題はクロネッカーの青春の夢としても知られている。

複素乗法の古典理論（現在ではクロネッカー青春の夢として知られることが多い）は、対象となる体に関連する特定の周期格子で選択されたモジュラー関数と楕円関数を用いることで、任意の虚二次体の場合にこれを実現する。志村吾郎はこの理論をCM体に拡張した。完全実体という特殊な場合において、サミット・ダスグプタとマヘシュ・カクデは、ブルーマー・シュタルク予想を用いて完全実体の最大アーベル拡張の構成を提供した。

ヒルベルトの第12問題の一般の場合については、まだ未解決である。

代数的整数論の根本的な問題は、代数的数の体を記述することである。ガロアの研究により、体の拡大は特定の群、すなわちガロア群によって制御されることが明らかになった。最も単純な状況は、すでに十分に理解されている範囲の境界にあるが、問題の群がアーベル群である場合である。二次多項式の根を連結することによって得られるすべての二次拡大はアーベルであり、その研究はガウスによって開始された。有理数の体Qのもう 1 つのアーベル拡大は、1 のn乗根を連結することによって与えられ、円分体となる。ガウスはすでに、実際にはすべての二次体がより大きな円分体に含まれることを示した。クロネッカー・ウェーバーの定理は、 Qの任意の有限アーベル拡大が円分体に含まれることを示している。クロネッカー（およびヒルベルト）の問いは、より一般的な代数体Kの状況に関するものです。すなわち、 Kのすべてのアーベル拡大を構成するために必要な代数的数は何でしょうか？この問いに対する完全な答えは、Kが虚二次体、またはその一般化であるCM 体である場合にのみ完全に解明されています。

ヒルベルトの第12問題の元の記述はやや誤解を招く。彼は虚二次体のアーベル拡大が楕円モジュラー関数の特殊な値によって生成されることを示唆しているように見えるが、これは正しくない。（ヒルベルトが正確に何を言っていたのかを判断するのは難しい。問題の一つは、彼が「楕円関数」という用語を楕円関数℘と楕円モジュラー関数jの両方を意味するために使用していた可能性があることである。）まず、1の根も使用する必要があるが、ヒルベルトは暗黙のうちにこれらを含めることを意図していた可能性がある。より重要なことに、楕円モジュラー関数の値はヒルベルト類体を生成するが、より一般的なアーベル拡大では楕円関数の値も使用する必要がある。例えば、アーベル拡大${\displaystyle \mathbf {Q} (i,{\sqrt[{4}]{1+2i}})/\mathbf {Q} (i)}$特異な法と1の根によって生成されるものではありません。

クロネッカー・ウェーバーの定理を述べる特に魅力的な方法の一つは、指数関数exp(2 π i / n ) の特別な値を追加することでQの最大アーベル拡張が得られると言うことです。同様に、複素乗法の理論によれば、 τが虚数二次無理数である場合、 Q ( τ )の最大アーベル拡張は、モジュラー関数jと楕円関数 ℘ の特別な値 ℘( τ , z ) とj ( τ ) 、および 1 の根を追加することで得られます。ここでτは虚数二次体であり、z は対応する楕円曲線上のねじれ点を表します。ヒルベルトの第 12 問題に対する解釈の 1 つは、指数関数、楕円関数、またはモジュラー関数の適切な類似物を提供することを求めており、その特殊値は一般の数体Kの最大アーベル拡大K ^abを生成する。この形式では、未解決のままである。体K ^abの記述は、20 世紀前半にヒルベルト 自身、エミール・アルティン、および他の者によって開発されたクラス体理論で得られた。 ^{[注 1 ]}しかし、クラス体理論におけるK ^abの構成は、まずクンマー理論を使用してより大きな非アーベル拡大を構成し、次にアーベル拡大に切り詰めることを伴うため、アーベル拡大のより直接的な構成を求めるヒルベルトの問題を実際に解決するものではない。

1960年頃からの発展は確かに貢献している。それ以前に、ヘッケ（1912 ）は博士論文でヒルベルトモジュラー形式を用いて実二次体のアーベル拡大を研究した。アーベル多様体の複素乗法は志村と谷山の研究によって開拓された分野である。これにより、一般にCM体のアーベル拡大が生じる。どのような拡大が見つかるかという問題は、ガロア表現としてのそのような多様体のテイト加群である。これは最もアクセスしやすいケースであるため、 ${\displaystyle l}$-進コホモロジー、これらの表現は深く研究されてきた。

ロバート・ラングランズは1973年に、現代版の青春の夢は志村多様体のハッセ＝ヴァイル・ゼータ関数を扱うべきだと主張した。彼はこの主題をさらに発展させる壮大な計画を構想していたが、30年以上経った今でも、ヒルベルトが提起した問題に対するその意義については深刻な疑問が残っている。

それとは別に、スターク予想（アーベルランク1の場合）があり、これは対照的に、数体のアーベル拡張を生成し、アルティンL関数の主要係数を記述する特定の単位を見つけるという問題に直接取り組んだ。2021年、ダスグプタとカクデは、ブルーマー・スターク単位に対する積分グロス・スターク予想を証明することにより、完全実数体の最大アーベル拡張を見つけるためのp進解を発表した。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}