ケプラーの方程式

双曲線ケプラー方程式は次のとおりです。

どこ${\displaystyle H}$これは双曲線離心近点角です。この方程式は、Mを楕円方程式の右辺に-1を掛けた値の平方根として再定義することによって導出されます。

${\displaystyle M=i\left(E-e\sin E\right)}$

（その中で）${\displaystyle E}$（現在は架空の）を置き換え、${\displaystyle E}$による${\displaystyle iH}$。

物体が脱出するのに十分なエネルギーを持っていない場合の動径ケプラー方程式は次のとおりです。

どこ${\displaystyle t}$時間に比例し、${\displaystyle x}$は光線に沿った引力中心からの距離に比例し、最大距離で値1になります。この方程式は、ケプラー方程式に1/2を掛けて、と設定することによって導出されます。${\displaystyle e}$1へ:

${\displaystyle t(x)={\frac {1}{2}}\left[E-\sin E\right].}$

そして、代用する

${\displaystyle E=2\sin ^{-1}({\sqrt {x}}).}$

物体が脱出するのに十分なエネルギーを持っている場合の動径方程式は次のとおりです。

エネルギーが脱出に必要な最小限の量である場合、時間は単純に距離の3/2乗に比例する。

逆ケプラー方程式は、すべての実数値に対するケプラー方程式の解である。${\displaystyle e}$:

${\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{\frac {n}{3}}}{n!}}\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\Bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}{\bigg (}{\bigg (}{\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}{\bigg )}^{\!\!\!n}{\bigg )}{\Bigg )},&e=1\\\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{n}}{n!}}\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\Bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}{\bigg (}{\Big (}{\frac {\theta }{\theta -e\sin(\theta )}}{\Big )}^{\!n}{\bigg )}{\Bigg )},&e\neq 1\end{cases}}}$

これを評価すると次のようになります。

${\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle s+{\frac {1}{60}}s^{3}+{\frac {1}{1400}}s^{5}+{\frac {1}{25200}}s^{7}+{\frac {43}{17248000}}s^{9}+{\frac {1213}{7207200000}}s^{11}+{\frac {151439}{12713500800000}}s^{13}+\cdots {\text{ with }}s=(6M)^{1/3},&e=1\\\\\displaystyle {\frac {1}{1-e}}M-{\frac {e}{(1-e)^{4}}}{\frac {M^{3}}{3!}}+{\frac {(9e^{2}+e)}{(1-e)^{7}}}{\frac {M^{5}}{5!}}-{\frac {(225e^{3}+54e^{2}+e)}{(1-e)^{10}}}{\frac {M^{7}}{7!}}+{\frac {(11025e^{4}+4131e^{3}+243e^{2}+e)}{(1-e)^{13}}}{\frac {M^{9}}{9!}}+\cdots ,&e\neq 1\end{cases}}}$

これらの数列は、 Mathematicaの逆数列演算を用いて再現できます。

InverseSeries[Series[M-Sin[M],{M,0,10}]]

InverseSeries[Series[M-eSin[M],{M,0,10}]]

これらの関数は単純なマクローリン級数です。このような超越関数のテイラー級数表現は、それらの関数の定義とみなされます。したがって、この解は逆ケプラー方程式の形式的な定義です。しかし、${\displaystyle E}$は完全な関数ではありません${\displaystyle M}$特定の非ゼロにおいて${\displaystyle e}$実際、導関数は

${\displaystyle \mathrm {dM} /\mathrm {d} E=1-e\cos E}$

無限の複素数集合でゼロになるのは${\displaystyle e<1,}$ゼロに最も近いのは${\displaystyle E=\pm i\cosh ^{-1}(1/e),}$そしてこの2つのポイントで

${\displaystyle M=E-e\sin E=\pm i\left(\cosh ^{-1}(1/e)-{\sqrt {1-e^{2}}}\right)}$

（逆コッシュは正とみなす）${\displaystyle \mathrm {d} E/\mathrm {d} M}$これらの値では無限大になる${\displaystyle M}$これは、マクローリン級数の収束半径が${\displaystyle \cosh ^{-1}(1/e)-{\sqrt {1-e^{2}}}}$また、以下の値では級数は収束しない。${\displaystyle M}$これよりも大きい。この級数は双曲線の場合にも使用でき、その場合の収束半径は${\displaystyle \cos ^{-1}(1/e)-{\sqrt {e^{2}-1}}.}$いつのシリーズか${\displaystyle e=1}$収束するとき${\displaystyle M<2\pi }$。

この解法はある数学的な意味で最も単純ではあるものの、ほとんどの用途においては他の解法の方が望ましい。あるいは、ケプラー方程式を数値的に解くこともできる。

解決策${\displaystyle e\neq 1}$1968年にカール・シュトゥンプフによって発見されたが^{[ 14 ]} 、その重要性は認識されなかった^{[ 15 ] 。}

また、マクローリン級数を書くこともできます。${\displaystyle e}$この級数は、${\displaystyle e}$ラプラス限界（約0.66）よりも大きい。${\displaystyle M}$（ない限り${\displaystyle M}$は2πの倍数であるが、すべての に対して収束する。${\displaystyle M}$もし${\displaystyle e}$ラプラス限界より小さい。級数の係数は、最初の係数（単に${\displaystyle M}$）、 による${\displaystyle M}$周期2πで周期的に。

逆動径ケプラー方程式（${\displaystyle e=1}$物体が脱出するのに十分なエネルギーを持っていない場合についても同様に次のように記述できます。

${\displaystyle x(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{r\to 0^{+}}\left({\frac {t^{{\frac {2}{3}}n}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} r^{\,n-1}}}\!\left(r^{n}\left({\frac {3}{2}}{\Big (}\sin ^{-1}({\sqrt {r}})-{\sqrt {r-r^{2}}}{\Big )}\right)^{\!-{\frac {2}{3}}n}\right)\right)\right]}$

これを評価すると次のようになります。

${\displaystyle x(t)=p-{\frac {1}{5}}p^{2}-{\frac {3}{175}}p^{3}-{\frac {23}{7875}}p^{4}-{\frac {1894}{3031875}}p^{5}-{\frac {3293}{21896875}}p^{6}-{\frac {2418092}{62077640625}}p^{7}-\ \cdots \ {\bigg |}{p=\left({\tfrac {3}{2}}t\right)^{2/3}}}$

Mathematicaを使用してこの結果を得るには：

InverseSeries[Series[ArcSin[Sqrt[t]]-Sqrt[(1-t)t],{t,0,15}]]

ほとんどのアプリケーションでは、逆問題は関数の根を求めることで数値的に計算できます。

${\displaystyle f(E)=E-e\sin(E)-M(t)}$

これはニュートン法を用いて反復的に行うことができます。

${\displaystyle E_{n+1}=E_{n}-{\frac {f(E_{n})}{f'(E_{n})}}=E_{n}-{\frac {E_{n}-e\sin(E_{n})-M(t)}{1-e\cos(E_{n})}}}$

ご了承ください${\displaystyle E}$そして${\displaystyle M}$この計算では、ラジアン単位です。この反復は、必要な精度が得られるまで繰り返されます（たとえば、${\displaystyle f(E)}$< 必要な精度)。ほとんどの楕円軌道の場合、初期値は${\displaystyle E_{0}=M(t)}$で十分です。${\displaystyle e>0.8}$初期値${\displaystyle E_{0}=\pi }$使用できる。多くの研究が正確な（しかしより複雑な）開始推測を開発した。^{[ 16 ]}${\displaystyle e}$が恒等的に 1 である場合、${\displaystyle f}$ニュートン法の分母にある はゼロに近づくことがあり、ニュートン・ラフソン法、セカント法、レギュラ・ファルシ法などの導関数に基づく方法は数値的に不安定になります。その場合、二分法は収束を保証します。特に、解は小さな初期区間で制限できるためです。最新のコンピュータでは、17～18回の反復で4桁または5桁の精度を達成できます。^{[ 17 ]}同様のアプローチは、ケプラー方程式の双曲形にも使用できます。^{[ 18 ] : 66–67}放物線軌道の場合は、バーカー方程式が使用されます。

関連する方法として、まず以下の点に注目することから始める。${\displaystyle E=M+e\sin {E}}$右側の式を繰り返し代入して、${\displaystyle E}$右側には、評価するための単純な固定点反復アルゴリズムが示されています。${\displaystyle E(e,M)}$この方法はケプラーの1621年の解と同一である。^{[ 4 ]}擬似コードでは次のようになる。

関数E ( e , M , n ) E = M for k = 1 to n E = M + e * sin E next k return E

反復回数、${\displaystyle n}$値によって異なる${\displaystyle e}$双曲線形式も同様に${\displaystyle H=\sinh ^{-1}\left({\frac {H+M}{e}}\right)}$。

この方法は、上記のニュートン法による解法と関連している。

${\displaystyle E_{n+1}=E_{n}-{\frac {E_{n}-e\sin(E_{n})-M(t)}{1-e\cos(E_{n})}}=E_{n}+{\frac {(M+e\sin {E_{n}}-E_{n})(1+e\cos {E_{n}})}{1-e^{2}(\cos {E_{n}})^{2}}}}$

少量の注文を最初に受け付けます${\displaystyle M-E_{n}}$そして${\displaystyle e}$、

${\displaystyle E_{n+1}\approx M+e\sin {E_{n}}}$。