コルテウェグ・ド・フリース方程式

数学において、コルテヴェク・ド・フリース（KdV）方程式は、浅い水面の波の数学的モデルとして機能する偏微分方程式（PDE）です。これは積分可能なPDEの典型的な例として特に注目されており、非線形性によりPDEが扱いにくくなることが多いにもかかわらず、多数の明示的解、特にソリトン解や無限数の保存量など、積分可能なPDEに期待される動作の多くを示します。KdVは逆散乱法（ISM）によって解くことができます。 ^[2]実際、クリフォード・ガードナー、ジョン・M・グリーン、マーティン・クラスカル、ロバート・ミウラはKdV方程式を解くために古典的な逆散乱法を開発しました。

KdV方程式は、 ジョセフ・ヴァレンティン・ブシネスク （1877年、360ページの脚注）によって初めて導入され、 1895年にディーデリック・コルテウェグとグスタフ・デ・フリースによって再発見され、最も単純な解である1ソリトン解が発見されました。^{[3] [4]方程式と解の挙動の理解は、1965年の}ノーマン・ザブスキーおよびクラスカルのコンピュータシミュレーションと、1967年の逆散乱変換の開発によって大きく進歩しました。

KdV方程式は、（空間的に）1次元の非線形分散非散逸波をモデル化する偏微分方程式であり、次の式に従う関数によって記述される：^[5] ${\displaystyle \phi (x,t)}$

${\displaystyle \partial _{t}\phi +\partial _{x}^{3}\phi -6\,\phi \,\partial _{x}\phi =0\,\quad x\in \mathbb {R} ,\;t\geq 0,}$

ここで は分散を表し、非線形要素は移流項です。 ${\displaystyle \partial _{x}^{3}\phi }$${\displaystyle \phi \partial _{x}\phi }$

浅水波をモデル化する場合、水面の平衡高さからの変位の高さです。 ${\displaystyle \phi }$

最後の項の前の定数は慣例的なものですが、大きな意味はありません。 、、およびを定数で乗算すると、3 つの項のいずれかの係数を任意のゼロ以外の定数に等しくすることができます。 ${\displaystyle 6}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \phi }$

固定波形（ で与えられる）が位相速度で右方向に移動しても形状を維持する解を考えます。このような解は で与えられます。これを KdV 方程式に代入すると、常微分方程式が得られます。${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle c}$${\displaystyle \varphi (x,t)=f(x-ct-a)=f(X)}$

${\displaystyle -c{\frac {df}{dX}}+{\frac {d^{3}f}{dX^{3}}}-6f{\frac {df}{dX}}=0,}$

または、 について積分すると、 ${\displaystyle X}$

${\displaystyle -cf+{\frac {d^{2}f}{dX^{2}}}-3f^{2}=A}$

ここで、積分定数である。上記の独立変数を仮想時間変数として解釈すると、これは ニュートンの立方体ポテンシャル内の単位質量の粒子の 運動方程式を満たすことを意味する。${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle V(f)=-\left(f^{3}+{\frac {1}{2}}cf^{2}+Af\right)}$。

もし

${\displaystyle A=0,\,c>0}$

すると、ポテンシャル関数はで極大値を持ちます。 には、 の解があります。 は「仮想時間」 にこの点から始まり 、最終的に極小値まで滑り落ち、反対側に戻って同じ高さに達し、方向を反転して、の時点で再び極大値に達します。 つまり、は として近づきます。これが孤立波解 の特徴的な形状です。${\displaystyle V(f)}$${\displaystyle f=0}$${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X\to -\infty }$

より正確に言えば、解決策は

${\displaystyle \phi (x,t)=-{\frac {1}{2}}\,c\,\operatorname {sech} ^{2}\left[{{\sqrt {c}} \over 2}(x-c\,t-a)\right]}$

ここで は双曲正割を表し、 は任意の定数です。^[6]これは速度 で右方向に動くソリトンを表します。 ${\displaystyle \operatorname {sech} }$${\displaystyle a}$${\displaystyle c}$

解を表す既知の表現がある。これは-ソリトン解であり、後期には別々の単一ソリトンに分解される。^[7]解は減少する正のパラメータセットと非ゼロのパラメータセットに依存する。解は 、行列の成分が次のように与えられる 形で与えられる。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \chi _{1},\cdots ,\chi _{N}>0}$${\displaystyle \beta _{1},\cdots ,\beta _{N}}$$${\displaystyle \phi (x,t)=-2{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\mathrm {log} [\mathrm {det} A(x,t)]}$$${\displaystyle A(x,t)}$${\displaystyle A_{nm}(x,t)=\delta _{nm}+{\frac {\beta _{n}e^{8\chi _{n}^{3}t}e^{-(\chi _{n}+\chi _{m})x}}{\chi _{n}+\chi _{m}}}.}$

これは逆散乱法を使用して導出されます。

KdV方程式には、時間とともに変化しない運動の積分が無限に存在する。 ^[8]これらは次のように明示的に表される。

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }P_{2n-1}(\phi ,\,\partial _{x}\phi ,\,\partial _{x}^{2}\phi ,\,\ldots )\,{\text{d}}x\,}$

ここで多項式は次のように再帰的に定義される。 ${\displaystyle P_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}&=\phi ,\\P_{n}&=-{\frac {dP_{n-1}}{dx}}+\sum _{i=1}^{n-2}\,P_{i}\,P_{n-1-i}\quad {\text{ for }}n\geq 2.\end{aligned}}}$

運動の最初のいくつかの積分は次のとおりです。

• 大衆${\displaystyle \int \phi \,\mathrm {d} x,}$
• 勢い${\displaystyle \int \phi ^{2}\,\mathrm {d} x,}$
• エネルギー。${\displaystyle \int \left[2\phi ^{3}-\left(\partial _{x}\phi \right)^{2}\right]\,\mathrm {d} x}$

奇数項のみが運動の非自明な（つまりゼロでない）積分をもたらす。^[9]${\displaystyle P_{2n+1}}$

KdV方程式

${\displaystyle \partial _{t}\phi =6\,\phi \,\partial _{x}\phi -\partial _{x}^{3}\phi }$

は、ラックス方程式として再定式化できる。

${\displaystyle L_{t}=[L,A]\equiv LA-AL\,}$

シュトゥルム・リウヴィル演算子を用いると： ${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L&=-\partial _{x}^{2}+\phi ,\\A&=4\partial _{x}^{3}-6\phi \,\partial _{x}-3[\partial _{x},\phi ]\end{aligned}}}$

ここで はとなる交換子である。^[10] Lax 対はKdV 方程式の無限個の第 1 積分を説明する。 ^[11]${\displaystyle [\partial _{x},\phi ]}$${\displaystyle [\partial _{x},\phi ]f=f\partial _{x}\phi }$

実際、 は、ポテンシャル を持つ時間に依存しないシュレーディンガー演算子（定数を無視）です。この Lax 定式化により、実際には固有値は に依存しないことがわかります。^[12]${\displaystyle L}$${\displaystyle \phi (x,t)}$${\displaystyle t}$

Lax接続の成分をKdV方程式に 設定することは 、Lax接続のゼロ曲率方程式と同等である。 $${\displaystyle L_{x}={\begin{pmatrix}0&1\\\phi -\lambda &0\end{pmatrix}},L_{t}={\begin{pmatrix}-\phi _{x}&2\phi +4\lambda \\2\phi ^{2}-\phi _{xx}+2\phi \lambda -4\lambda ^{2}&\phi _{x}\end{pmatrix}},}$$$${\displaystyle \partial _{t}L_{x}-\partial _{x}L_{t}+[L_{x},L_{t}]=0.}$$

Korteweg-De Vries 方程式

${\displaystyle \partial _{t}\phi +6\phi \,\partial _{x}\phi +\partial _{x}^{3}\phi =0,}$

はラグランジュ密度から導かれるオイラー・ラグランジュの運動方程式であり、${\displaystyle {\mathcal {L}}\,}$

定義 によって${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi :={\frac {\partial \psi }{\partial x}}.}$

十分に速く減衰する滑らかな解は、最終的には右方向に移動するソリトンの有限の重ね合わせと、左方向に減衰する分散部分に分裂することが示されています。これは、ZabuskyとKruskal（1965）によって最初に観察され、振動リーマン-ヒルベルト問題に対する非線形最急降下解析を使用して厳密に証明できます。^[13]

KdV 方程式の歴史は、 1834 年のジョン・スコット・ラッセルによる実験から始まり、その後 1870 年頃にレイリー卿とジョセフ・ブシネスクによる理論的研究が行われ、最終的に 1895 年にコルテウェグとド・フリースによって研究されました。

KdV 方程式は、その後あまり研究されなかったが、Zabusky と Kruskal (1965) が数値的にその解が長時間で「ソリトン」の集まり、つまり十分に離れた孤立波に分解するように見えることを発見した。さらに、ソリトンは互いを通過しても形状にほとんど影響がないように見える (ただし、これによって位置が変化する可能性はある)。彼らはまた、 KdV 方程式がFPUTシステムの連続体限界であることを示し、フェルミ、パスタ、ウラム、および Tsingouによる以前の数値実験との関連を示した。逆散乱変換による解析解の開発は、1967 年に Gardner、Greene、Kruskal、および Miura によって行われた。^{[2] [14]}

KdV方程式は現在ではホイヘンスの原理と密接に関係していると考えられています。^{[15] [16]}

KdV 方程式は、物理的な問題といくつかの関連があります。連続体限界におけるフェルミ・パスタ・ウラム・ツィンゴウ問題における弦の支配方程式であることに加えて、次のような多くの物理的設定における長い 1 次元波の発展を近似的に記述します。

• 弱い非線形復元力を持つ浅水波、
• 密度成層海洋における長い内部波、
• プラズマ中のイオン音波、
• 結晶格子上の音波。

KdV方程式は、非線形シュレーディンガー方程式に適用されるような逆散乱変換を使用して解くこともできます。

フォームの簡略化されたソリューションを考慮すると

${\displaystyle \phi (x,t)=\phi (x\pm t)}$

KdV方程式は次のようになる。

${\displaystyle \pm \partial _{x}\phi +\partial _{x}^{3}\phi +6\,\phi \,\partial _{x}\phi =0\,}$

または

${\displaystyle \pm \partial _{x}\phi +\partial _{x}(\partial _{x}^{2}\phi +3\phi ^{2})=0\,}$

積分して積分定数がゼロになる特殊なケースをとると、次のようになります。

${\displaystyle -\partial _{x}^{2}\phi -3\phi ^{2}=\pm \phi \,}$

これは一般化定常グロス・ピタエフスキー方程式（GPE） の特殊なケースである。${\displaystyle \lambda =1}$

${\displaystyle -\partial _{x}^{2}\phi -3\phi ^{\lambda }\phi =\pm \phi \,}$

したがって、一般化された GPE の特定のクラスの解 (真の 1 次元凝縮の場合と、 1 次元で 3 次元方程式を使用する場合) では、2 つの方程式が 1 つになります。さらに、マイナス記号と実数の場合を例にとると、明るいソリトンを生成する魅力的な自己相互作用が得られます。^{[引用が必要]}${\displaystyle \lambda =4}$${\displaystyle \lambda =2}$${\displaystyle \lambda =3}$${\displaystyle \phi }$

KdV 方程式のさまざまなバリエーションが研究されてきました。次の表にいくつかを示します。

• ベレスト、ユーリ・Y.ロウツェンコ、イーゴリ M. (1997)。 「ミンコフスキー空間におけるホイヘンスの原理とコルテヴェーグ・ド・フリース方程式のソリトン解」。数理物理学におけるコミュニケーション。190 ( 1): 113–132。arXiv : solv-int/ 9704012 。土井：10.1007/s002200050235。ISSN  0010-3616。
• Boussinesq, J. (1877)、Essai sur la thetheorie des eaux courantes、Memoires presentes par divers savants ` l'Acad.科学。研究所ナット。フランス、 XXIII、 1–680ページ 
• Chalub, Fabio ACC; Zubelli, Jorge P. (2006). 「双曲演算子と積分可能な階層に対するホイヘンスの原理」(PDF) . Physica D: 非線形現象. 213 (2): 231– 245. doi :10.1016/j.physd.2005.11.008.
• ダリゴル、オリヴィエ（2005年）。『フローの世界』オックスフォード、ニューヨーク：オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-856843-8。
• Dauxois, Thierry; Peyrard, Michel (2006).ソリトンの物理学. ケンブリッジ、イギリス; ニューヨーク: Cambridge University Press. ISBN 0-521-85421-0. OCLC  61757137。
• Dingemans, MW (1997)。不均一な底部における水波の伝播。リバーエッジ、ニュージャージー州：ワールドサイエンティフィック。ISBN 981-02-0427-2。
• ドゥナイスキー、マチェイ (2009)。ソリトン、インスタントン、ツイスター。オックスフォード ;ニューヨーク: OUP オックスフォード。ISBN 978-0-19-857063-9. OCLC  320199531.
• Gardner, Clifford S.; Greene, John M.; Kruskal, Martin D.; Miura, Robert M. (1967). 「Korteweg-deVries方程式を解く方法」. Physical Review Letters . 19 (19): 1095– 1097. doi :10.1103/PhysRevLett.19.1095. ISSN  0031-9007.
• Grunert, Katrin; Teschl, Gerald (2009)、「非線形最急降下法による Korteweg–De Vries 方程式の長時間漸近解析」、Math. Phys. Anal. Geom.、vol. 12、no. 3、pp.  287– 324、arXiv : 0807.5041、Bibcode :2009MPAG...12..287G、doi :10.1007/s11040-009-9062-2、S2CID  8740754
• Korteweg, DJ; de Vries, G. (1895)。「XLI. 長方形の運河を進む長波の形状の変化と新しいタイプの長定常波について」。ロンドン、エディンバラ、ダブリンの哲学雑誌と科学ジャーナル。39 (240): 422– 443。doi :10.1080/14786449508620739。ISSN 1941-5982  。
• Lax, Peter D. (1968). 「発展の非線形方程式と孤立波の積分」.純粋応用数学通信. 21 (5): 467– 490. doi :10.1002/cpa.3160210503. ISSN  0010-3640. OSTI  4522657.
• 三浦, ロバート M.; ガードナー, クリフォード S.;クラスカル, マーティン D. (1968)、「コルテウェグ–ド フリース方程式と一般化。II. 保存則と運動定数の存在」、J. Math. Phys.、9 (8): 1204– 1209、Bibcode :1968JMP.....9.1204M、doi :10.1063/1.1664701、MR  0252826
• ポリアニン、アンドレイ D.;ザイツェフ、ヴァレンティン F. (2003)。非線形偏微分方程式ハンドブック。フロリダ州ボカラトン：チャップマン＆ホール/CRC。ISBN 978-1-58488-355-5。
• Vakakis, Alexander F. (2002).非線形システムにおける通常モードと局在化. ドルドレヒト; ボストン: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-7923-7010-9。
• Zabusky, NJ; Kruskal, MD (1965). 「無衝突プラズマにおける「ソリトン」の相互作用と初期状態の再発」。Physical Review Letters . 15 (6): 240– 243. doi :10.1103/PhysRevLett.15.240. ISSN  0031-9007.

ウィキメディア・コモンズには、コルテヴェーグ・ド・フリース方程式に関連するメディアがあります。

• EqWorld: 数学方程式の世界における Korteweg–De Vries 方程式。
• 非線形方程式百科事典 NEQwiki の Korteweg-De Vries 方程式。
• EqWorld: 数学方程式の世界における円筒形 Korteweg–De Vries 方程式。
• EqWorld: 数学方程式の世界における修正 Korteweg–De Vries 方程式。
• 非線形方程式百科事典である NEQwiki の Korteweg-De Vries 方程式を修正しました。
• ワイスタイン、エリック・W.「コルテヴェッグ・ドブリーズ方程式」。マスワールド。
• 狭い運河に対する Korteweg-De Vries 方程式の導出。
• 3つのソリトン KdV方程式の解 – [1]
• 3つのソリトン（不安定）KdV方程式の解 – [2]
• Korteweg–De Vries 型の方程式の数学的側面については、Dispersive PDE Wiki で説明されています。
• Wolfram デモンストレーション プロジェクトSM Blinder による Korteweg-De Vries 方程式のソリトン。
• ソリトンと非線形波動方程式