シャメル方程式

シャメル方程式（S 方程式）は、時間で 1 次、空間で 3 次となる非線形偏微分方程式です。コルテヴェク・ド・フリース方程式（KdV）と同様に、^[1]非線形分散媒体を伝播する局所的なコヒーレント波構造の発達を記述します。この方程式は、2 成分プラズマ中をイオン音響速度で移動する孤立静電波構造の電位の谷間に電子が閉じ込められる効果を記述するために、1973 年にハンス・シャメル^[2]によって初めて導出されました。現在では、次のようなさまざまな局所パルスダイナミクスに適用されています。

• 衝突のないプラズマ（例えば宇宙プラズマ）における電子とイオンのホールまたは位相空間渦、^[3]
• 物理的に補強された非線形円筒シェルにおける軸対称パルス伝播、^[4]
• 非線形伝送線路^[5]や光ファイバーやレーザー物理学における「ソリトン」伝播^[6]

シャメル方程式は^[2]

${\displaystyle \phi _{t}+(1+b{\sqrt {\phi }})\phi _{x}+\phi _{xxx}=0,}$

ここで、は を表します。イオン音響孤立波の場合、パラメータ は静電ポテンシャル の谷間に捕捉された電子の影響を反映します。これは で与えられます。ここで、捕捉パラメータ は捕捉された電子の状態を反映し、平らな頂点を持つ静止捕捉電子分布、つまりディップまたは窪みを表します。これは で、 は波の振幅です。すべての量は正規化されます。つまり、位置エネルギーは電子の熱エネルギー、速度はイオンの音速、時間はイオンプラズマの逆周波数、空間は電子のデバイ長で正規化されます。KdV の場合、方程式は に置き換えられ、非線形性が双線形になることに注意してください (後述)。 ${\displaystyle \phi_{(t,x)}}$${\displaystyle \partial _{(t,x)}\phi }$${\displaystyle b}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle b={\frac {1-\beta }{\sqrt {\pi }}}}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \beta =0}$${\displaystyle \beta <0}$${\displaystyle 0\leq \phi \leq \psi \ll 1}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle b{\sqrt {\phi }}}$${\displaystyle \phi}$

定常孤立波解は、共動フレームでは次のように表されます。 ${\displaystyle \phi (x-v_{0}t)}$

${\displaystyle \phi (x)=\psi \operatorname {sech} ^{4}\left({\sqrt {\frac {b{\sqrt {\psi }}}{30}}}x\right)}$

${\displaystyle v_{0}=1+{\frac {8}{15}}b{\sqrt {\psi }}.}$

構造の速度は超音速で、 は正でなければならないため、これはイオン音響の場合、低下した捕捉電子分布 に対応する。^{[2] [7]}${\displaystyle v_{0}>1}$${\displaystyle b}$${\displaystyle 0<b}$${\displaystyle \beta <1}$

この解の証明は、を対応する擬似ポテンシャルとして、古典力学との類似性を利用しています。これから積分すると が得られ、これは擬似エネルギーを表します。また、シャメル方程式から が 得られます。明らかな要求、つまりポテンシャル最大値 では の傾きが消えることから、 が得られます。これは非線形分散関係(NDR) です。2 番目の式で与えられる位相速度がこれによって決まるからです。 の標準形は、 をNDR で 置き換えることで得られます。次のようになります。
${\displaystyle \phi _{xx}=:-{\mathcal {V}}'(\phi )}$${\displaystyle {\mathcal {V}}(\phi )}$${\displaystyle {\frac {\phi _{x}^{2}}{2}}+{\mathcal {V(\phi )}}=0}$${\displaystyle -{\mathcal {V}}(\phi )={\frac {(v_{0}-1)}{2}}\phi ^{2}-{\frac {4b}{15}} \phi ^{5/2}}$${\displaystyle \phi =\psi }$${\displaystyle \phi_{x}}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle {\mathcal {V}}(\psi )=0}$${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}(\phi )}$${\displaystyle v_{0}}$

${\displaystyle -{\mathcal {V}}(\phi )={\frac {4}{15}}b\phi ^{2}({\sqrt {\psi }}-{\sqrt {\phi } }).}$

擬似エネルギー法則に従う この式を で使用すると、積分により次の式が得られます。${\displaystyle x(\phi )=\int _{\phi }^{\psi }{\frac {d\xi }{\sqrt {-2{\mathcal {V}}(\xi )}}}}$

${\displaystyle x(\phi )={\sqrt {\frac {30}{b{\sqrt {\psi }}}}}\tanh ^{-1}\left({\sqrt {1-{\sqrt {\frac {\phi }{\psi }}}}}\right).}$

これは最初の式で与えられた の逆関数です。 の分母の積分が存在し、既知の数学関数で表現できることに注目してください。したがって は数学的に公開された関数です。しかし、構造は数学的に公開されていないことが多く、つまり既知の関数で表現できません (たとえば、セクション 対数シャメル方程式を参照)。これは通常、駆動された間欠プラズマ乱流など、複数のトラッピング シナリオが関係している場合に発生します。^[8]${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle x(\phi )}$${\displaystyle \phi (x)}$

KdV方程式とは対照的に、シャメル方程式は積分不可能な発展方程式の例である。シャメル方程式は有限個の（多項式）運動定数しか持たず^[9]、パンルヴェテストに合格しない。^{[4] [10]}いわゆるラックス対（L、P）が存在しないため^[11]、逆散乱変換によって積分不可能である。^[12]

拡張された電子密度の式の次の次数を考慮すると、 が得られ 、そこから擬似ポテンシャル - が得られます。対応する発展方程式は次のようになります。 ${\displaystyle n_{e}=1+\phi -{\frac {4b}{3}}\phi ^{3/2}+{\frac {1}{2}}\phi ^{2}+\ cdot }$${\displaystyle {\mathcal {V}}(\phi )={\frac {8b}{15}}\phi ^{2}({\sqrt {\psi }}-{\sqrt {\phi }})+{\frac {1}{3}}\phi ^{2}(\psi -\phi )}$

${\displaystyle \phi _{t}+(1+b{\sqrt {\phi }}+\phi )\phi _{x}+\phi _{xxx}=0,}$

これは Schamel-Korteweg-de Vries 方程式です。

その孤立波解は次のようになる^[7]

${\displaystyle \phi (x)=\psi \operatorname {sech} ^{4}(y)\left[1+{\frac {1}{1+Q}}\tanh ^{2}(y)\right]^{-2}}$

およびです。Q に応じて、2 つの極限孤立波解が存在します。 に対して 、シャメル孤立波 が 見つかります。${\displaystyle y={\frac {x}{2}}{\sqrt {\frac {\psi (1+Q)}{12}}}}$${\displaystyle Q={\frac {8b}{5{\sqrt {\psi }}}}}$${\displaystyle 1\ll Q}$${\displaystyle \phi (x)=\psi \operatorname {sech} ^{4}({\sqrt {\frac {b{\sqrt {\psi }}}{30}}}x)}$

から、通常のイオン音響ソリトンを表すが得られます。後者は流体のようなものであり、 に対して達成されるか、または等温電子状態方程式を表します。トラッピング効果がない ( b  = 0) ということは、トラッピングがないことを意味するわけではないことに注意してください。この記述は、文献、特に教科書では、通常誤って表現されています。 がゼロでない限り、電子分布関数の速度空間には 常にゼロでないトラッピング幅があります。${\displaystyle 1\gg Q}$${\displaystyle \phi (x)=\psi \operatorname {sech} ^{2}({\sqrt {\frac {\psi }{12}}}x)}$${\displaystyle b=0}$${\displaystyle \beta =1}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle 2{\sqrt {2\phi }}}$

S方程式のもう一つの一般化は、イオン音波の場合に第2のトラッピングチャネルを許容することによって得られる。追加の非摂動的なトラッピングシナリオを考慮することにより、Schamel ^[8]は次のことを示しました 。

${\displaystyle \qquad \qquad \phi _{t}+(1+b{\sqrt {\phi }}-D\ln \phi )\phi _{x}+\phi _{xxx}=0}$、

一般化は対数 S 方程式と呼ばれます。平方根の非線形性がない場合、はガウス形の穴の解によって解かれます。であり、 は超音速位相速度 を持ちます。対応する擬似ポテンシャルは によって与えられます。これから、 は前述のガウスの逆関数であることがわかります。 を保ったまま、b がゼロでない場合、を得るための積分は、解析的に、つまり既知の数学関数によって解くことはできなくなります。孤立波構造は依然として存在しますが、公開された形式では到達できません。 ${\displaystyle b=0}$${\displaystyle \phi (x)=\psi e^{Dx^{2}/4}}$${\displaystyle D<0}$
${\displaystyle v_{0}=1+D(\ln \psi -3/2)>1}$${\displaystyle -{\mathcal {V}}(\phi )=D{\frac {\phi ^{2}}{2}}\ln {\frac {\phi }{\psi }}}$${\displaystyle x(\phi )=2{\sqrt {-D\ln {\frac {\psi }{\phi }}}}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle x(\phi )}$

静電トラッピングには、カオス的な粒子軌道によって引き起こされる共鳴時の確率過程が関与しているという事実から、S方程式のbを確率量として考えるようになりました。これにより、ウィック型の確率S方程式が得られます。^{[13] [14]}

さらに一般化するには、第1時間微分をリース分数微分に置き換えて、時間分数S方程式を得る。^{[15] [16]}これは、例えばバイキング衛星で観測された広帯域静電ノイズなどに応用されている。^[16]

シャメル方程式と非線形シュレーディンガー方程式は、マーデルング流体の文脈で結び付けられる。^[17]その結果、シャメル・シュレーディンガー方程式が得られる。^[6]

${\displaystyle i\phi _{t}+|\phi |^{1/2}\phi +\phi _{xx}=0}$

光ファイバー^[18]やレーザー物理学^{[19]にも応用されている。}

• www.hans-schamel.de : 詳しい情報はHans Schamelによる