半連続性

定理 — 閉値を持つ集合値関数に対して、が で上半連続であれば、の任意のシーケンスおよびとなる任意のシーケンスに対して${\displaystyle \Gamma :A\rightrightarrows B}$${\displaystyle \Gamma :A\to B}$${\displaystyle a\in A,}$${\displaystyle a_{\bullet }=\left(a_{m}\right)_{m=1}^{\infty }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \left(b_{m}\right)_{m=1}^{\infty}}$${\displaystyle b_{m}\in \Gamma \left(a_{m}\right),}$

もし、そして${\displaystyle \lim _{m\to \infty }a_{m}=a}$${\displaystyle \lim _{m\to \infty }b_{m}=b}$${\displaystyle b\in \Gamma (a).}$

がコンパクトであれば、その逆も真です。 ${\displaystyle B}$

定理 — が 閉領域（つまり、 の定義域が閉じている）と閉値（つまり、 がすべての に対して閉じている）を持つ上半連続集合値関数である場合、 は閉じています。 ${\displaystyle \Gamma :A\rightrightarrows B}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \Gamma (a)}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle \operatorname {Gr} (\Gamma )}$

がコンパクトであれば、その逆も真である。^[1]${\displaystyle B}$

定理 — が で下半連続であるためには、および でとなる の任意の シーケンスに対しての部分シーケンスが存在し、 およびでとなるシーケンスが存在する必要がある。${\displaystyle \Gamma :A\rightrightarrows B}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle a_{\bullet }=\left(a_{m}\right)_{m=1}^{\infty }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a_{\bullet }\to a}$${\displaystyle A}$${\displaystyle b\in \Gamma (a),}$${\displaystyle \left(a_{m_{k}}\right)_{k=1}^{\infty}}$${\displaystyle a_{\bullet}}$${\displaystyle b_{\bullet }=\left(b_{k}\right)_{k=1}^{\infty }}$${\displaystyle b_{\bullet }\to b}$${\displaystyle b_{k}\in \Gamma \left(a_{m_{k}}\right)}$${\displaystyle k.}$

開グラフ定理 — が凸値と開いた上部セクションを持つ集合値関数である場合、が下半連続である場合に限り、が開グラフを持ちます。^[2]${\displaystyle \Gamma :A\to P\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle A\times \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \ガンマ}$

定理 —  集合値写像が下半連続[上半連続]となるのは、超空間P(B)に下半連続[上半連続]のヴィエトリス位相が与えられている場合に限ります。 ${\displaystyle \Gamma :A\to B}$${\displaystyle \Gamma :A\to P(B)}$