ジュリア集合

複素力学では、ジュリア集合とファトゥ集合は、関数から定義される2 つの相補集合(ジュリアの「ひも」とファトゥの「ダスト」)です。非公式には、関数のファトゥ集合は、関数を繰り返し反復した場合にすべての近傍値が同​​様に動作するという特性を持つ値で構成され、ジュリア集合は、任意の小さな摂動が反復関数値のシーケンスに劇的な変化を引き起こす可能性がある値で構成されます。したがって、ファトゥ集合上の関数の動作は「規則的」ですが、ジュリア集合上のその動作は「カオス的」です。

関数  fのジュリア集合は一般的に^[a]  と表記され、ファトゥ集合は[a]と表記されます。これらの集合は、20世紀初頭に 複素力学の研究を始めたフランスの数学者ガストン・ジュリア^[1]とピエール・ファトゥ^{[2]にちなんで名付けられました。}${\displaystyle \operatorname {J} (f),}$${\displaystyle \operatorname {F} (f).}$

をリーマン球面からそれ自身への非定数有理型関数とします。このような関数は、非定数複素有理関数、つまり であり、ここでと は複素多項式です。pとq には共通根 がなく、少なくとも 1 つが次数1 より大きいと仮定します。すると、および によって不変のままになる開集合が有限個存在し、次のようになります。 ${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(z)=p(z)/q(z)}$${\displaystyle p(z)}$${\displaystyle q(z)}$ ${\displaystyle F_{1},...,F_{r}}$${\displaystyle f(z)}$

1. 集合の和集合は平面上で稠密であり、${\displaystyle F_{i}}$
2. ${\displaystyle f(z)}$各セット上で規則的かつ均等に動作します。${\displaystyle F_{i}}$

最後の文は、 の点によって生成される反復シーケンスの終端が、まったく同じセット（つまり有限サイクル）であるか、または同心円状に配置された円形または環状のセットの有限サイクルであるかのいずれかを意味します。最初のケースではサイクルは を引き付け、2 番目のケースでは中立です。 ${\displaystyle F_{i}}$

これらの集合は の Fatou 領域であり、それらの和集合は のFatou 集合です。各 Fatou 領域には の臨界点、つまり を満たす(有限) 点z が少なくとも 1 つ含まれます。または、分子の次数が分母の次数より少なくとも 2 大きい場合、または、この条件を満たす 何らかのcと有理関数に対して が成り立ちます。${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle \operatorname {F} (f)}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle f'(z)=0}$${\displaystyle f(z)=\infty }$${\displaystyle p(z)}$${\displaystyle q(z)}$${\displaystyle f(z)=1/g(z)+c}$${\displaystyle g(z)}$

の補集合は のジュリア集合です。すべての臨界点が前周期的である場合、つまり、それらは周期的ではないが最終的には周期サイクルに乗る場合、 は球面全体です。それ以外の場合、 はどこにも稠密でない集合（内部点がない）であり、かつ無数集合（実数と同じ濃度）です。 と同様に、は によって不変のままにされ、この集合上で反復は反発的であり、つまり、zの近傍（ 内）内のすべてのwに対して となります。これは、 がジュリア集合上でカオス的に動作することを意味します。反復のシーケンスが有限であるジュリア集合の点もありますが、そのような点は可算な数しかありません（そしてそれらはジュリア集合の無限小部分を構成します）。この集合の外部の点によって生成されるシーケンスはカオス的に動作し、決定論的カオスと呼ばれる現象が発生します。 ${\displaystyle \operatorname {F} (f)}$${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$${\displaystyle \operatorname {F} (f)}$${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle |f(z)-f(w)|>|z-w|}$${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$${\displaystyle f(z)}$

有理写像として知られる反復有理関数のファトゥ集合とジュリア集合に関する研究は盛んに行われている。例えば、有理写像のファトゥ集合には0、1、2、または無限個の成分があることが知られている。^{[3]有理写像のファトゥ集合の各成分は}、4つの異なるクラスのいずれかに分類できる。^[4]

• ${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$は、 fに関して完全に不変である、少なくとも 3 つの点を含む最小の閉集合です。
• ${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$反発する周期点の集合の閉包です。
• 最大 2 つの点を除くすべての点について、ジュリア集合は完全な逆方向軌道の極限点の集合です(これは、ジュリア集合をプロットするための簡単なアルゴリズムを示唆しています。以下を参照してください)。${\displaystyle \;z\in X\;,}$${\displaystyle \bigcup _{n}f^{-n}(z).}$
• f が整関数である場合、 は反復によって無限大に収束する点の集合の境界です。${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$
• fが多項式の場合、 は満たされたジュリア集合の境界、つまりfの反復による軌道が制限されたままになる点です。${\displaystyle \operatorname {J} (f)}$

fのジュリア集合とファトゥ集合は、どちらも正則関数fの反復に対して完全に不変である: ^[5]

${\displaystyle f^{-1}(\operatorname {J} (f))=f(\operatorname {J} (f))=\operatorname {J} (f),}$

${\displaystyle f^{-1}(\operatorname {F} (f))=f(\operatorname {F} (f))=\operatorname {F} (f).}$

ジュリア集合は単位円であり、これに対する反復は角度の倍増によって与えられます（引数が の有理分数でない点に対してはカオス的な演算です）。ファトゥ領域には円の内部と外部の 2 つがあり、それぞれ 0 と ∞ に向かって反復します。 ${\displaystyle f(z)=z^{2}}$${\displaystyle 2\pi }$

ジュリア集合は、-2 と 2 の間の線分です。ファトゥ領域は1 つあります。線分上にない点は、∞ に向かって反復します。(領域のシフトとスケーリングを除けば、この反復は単位間隔上での反復と同等であり、これはカオス システムの例としてよく使用されます。) ${\displaystyle g(z)=z^{2}-2}$${\displaystyle x\to 4(x-{\tfrac {1}{2}})^{2}}$

関数fとg は の形をとります。ここでcは複素数です。このような反復では、ジュリア集合は一般に単純な曲線ではなくフラクタルであり、cの値によっては驚くべき形になることがあります。下の図を参照してください。 ${\displaystyle z^{2}+c}$

いくつかの関数f ( z ) については、ジュリア集合は単純な曲線ではなくフラクタルであると事前に言えます。これは、有理関数の反復処理で次の結果が得られるためです。

これは、ジュリア集合の各点が各ファトゥ領域の集積点であることを意味します。したがって、ファトゥ領域が 2 つ以上ある場合、ジュリア集合の各点には 2 つ以上の異なる開集合の点が無限に近い必要があります。これは、ジュリア集合が単純な曲線ではないことを意味します。この現象は、たとえば、f ( z ) が方程式を解くためのニュートン反復である場合に発生します。 ${\displaystyle \;P(z):=z^{n}-1=0~:~n>2\;}$

${\displaystyle f(z)=z-{\frac {P(z)}{P'(z)}}={\frac {\;1+(n-1)z^{n}\;}{nz^{n-1}}}~.}$

右の画像はn = 3の場合を示しています。

非常に人気のある複素力学系は、有理写像の特別な場合で ある複素2次多項式の族によって与えられる。このような2次多項式は次のように表現できる。

${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c~,}$

ここでc は複素パラメータである。を十分大きくして（例えばc がマンデルブロ集合に含まれる場合、 となるので、単に とすることができる）すると、この系の充填されたジュリア集合は複素平面 の部分集合となり、次式で与えられる。 ${\displaystyle R>0}$${\displaystyle R^{2}-R\geq |c|.}$${\displaystyle |c|\leq 2,}$${\displaystyle R=2~.}$

${\displaystyle K(f_{c})=\left\{z\in \mathbb {C} :\forall n\in \mathbb {N} ,|f_{c}^{n}(z)|\leq R\right\}~,}$

ここで、 はのn番目の反復です。この関数のJulia 集合はの境界です。 ${\displaystyle f_{c}^{n}(z)}$${\displaystyle f_{c}(z).}$${\displaystyle J(f_{c})}$${\displaystyle K(f_{c})}$

• 
  Juliaは0から${\displaystyle z^{2}+0.7885\,e^{ia},}$${\displaystyle 2\pi }$
• 左のジュリアセットのビデオ
• 
  f _c、c = 1 − φの充填されたジュリア集合、ただしφは黄金比
• 
  f _cのジュリア集合、c = ( φ − 2) + ( φ − 1) i = −0.4 + 0.6 i
• 
  f _cのジュリア集合、c = 0.285 + 0 i
• 
  f _cのジュリア集合、c = 0.285 + 0.01 i
• 
  f _cのジュリア集合、c = 0.45 + 0.1428 i
• 
  f _cのジュリア集合、c = −0.70176 − 0.3842 i
• 
  f _cのジュリア集合、c = −0.835 − 0.2321 i
• 
  f _cのジュリア集合、c = −0.8 + 0.156 i
• 
  f _cのジュリア集合、v c = −0.7269 + 0.1889 i
• 
  f _c、c = 0.8 iのジュリア集合
• 
  f _cのジュリア集合、c = 0.35 + 0.35 i
• 
  f _cのジュリア集合、c = 0.4 + 0.4 i
• 
  100 × 100 のグリッド内に配置されたジュリア集合のコレクション。各画像の中心は、集合の値と同じ複素平面上の位置に対応します。このように配置すると、全体の画像はマンデルブロ集合を描いた写真モザイクのように見えます。

2次多項式のパラメータ平面、つまり可能なc値の平面は、有名なマンデルブロ集合を生み出します。実際、マンデルブロ集合は、連結されているすべてのcの集合として定義されます。マンデルブロ集合の外側のパラメータの場合、ジュリア集合はカントール空間です。この場合、ファトゥダストと呼ばれることもあります。 ${\displaystyle J(f_{c})}$

多くの場合、cのジュリア集合は、 cの十分に小さい近傍ではマンデルブロ集合のように見えます。これは、いわゆるミシュレヴィッツパラメータ、つまり臨界点が前周期的であるパラメータcに特に当てはまります。たとえば、

• c = i 、つまり前足の短い前足指では、ジュリア集合は枝分かれした稲妻のように見えます。
• c = −2、つまり長いとがった尾の先端では、ジュリア集合は直線部分になります。

言い換えれば、ジュリア集合はミシュレヴィッツ点の周りで局所的に相似である。^[6]${\displaystyle J(f_{c})}$

ジュリア集合とファトゥ集合の定義は、その像がその定義域を含む特定の写像の場合に簡単に適用できます。最も顕著なのは超越有理型関数とアダム・エプスタインの有限型写像です。

ジュリア集合は、複数の複素変数のダイナミクスの研究でも一般的に定義されます。

以下の疑似コード実装では、各フラクタルの関数がハードコードされています。より動的で再利用可能なコードを可能にするために、 複素数演算を実装することを検討してください。

${\displaystyle f(z)=z^{2}+c}$

R =脱出半径# R**2 - R >= sqrt(cx**2 + cy**2) となる R > 0 を選択     

画面上の各ピクセル( x 、y )に対して、次の操作を行います。{ zx =ピクセルのスケールされたx座標。# (スケールは -R から R の間) # zx は z の実数部を表します。zy =ピクセルのスケールされたy座標。# (スケールは -R から R の間) # zy は z の虚数部を表します。           

           
       
           
       

    iteration = 0 ; max_iteration = 1000 ; while ( zx * zx + zy * zy < R ** 2 AND iteration < max_iteration ) { xtemp = zx * zx - zy * zy ; zy = 2 * zx * zy + cy ; zx = xtemp + cx ; iteration = iteration + 1 ; } if ( iteration == max_iteration ) return black ; else return iteration ; }  
      
  
                    
    
                
                 
            
    
            
    
  
       
         
    
         

${\displaystyle f(z)=z^{n}+c}$

R =脱出半径# R > 0 を選択し、R**n - R >= sqrt(cx**2 + cy**2) となる    

画面上の各ピクセル( x , y )に対して、次の操作を行います。{ zx =ピクセルのスケールされたx座標。# (スケールは -R と R の間) zy =ピクセルのスケールされたy座標。# (スケールは -R と R の間) iteration = 0 ; max_iteration = 1000 ; while ( zx * zx + zy * zy < R ** 2 AND iteration < max_iteration ) { xtmp = ( zx * zx + zy * zy ) ^ ( n / 2 ) * cos ( n * atan2 ( zy , zx )) + cx ; zy = ( zx * zx + zy * zy ) ^ ( n / 2 ) * sin ( n * atan2 ( zy , zx )) + cy ; zx = xtmp ; iteration = iteration + 1 ; } if ( iteration == max_iteration )の場合はblackを返し、そうでない場合はiterationを返します。}        

           
           
  
      
      
  
                    
    
                           
	                       
	      
    
            
     
       
         
    
         

もう一つの推奨されるオプションは、反復に再正規化式を使用して反復間のカラーバンドを減らすことです。^[7]

このような式は次のように表される。

${\displaystyle mu=k+1-{\frac {\log {\log {|z_{k}|}}}{\log {n}}}}$

${\displaystyle \forall f_{c,n}(z)=z^{n}+{\text{lower power terms}}+c}$

ここで、は脱出反復であり、および となるようなものによって制限され、 は脱出前の最後の反復の大きさです。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle K}$${\displaystyle 0\leq k<K}$${\displaystyle K\in \mathbb {N} }$${\displaystyle |z_{k}|}$

これは次のように非常に簡単に実装できます。

# 最後の例の最後の 4 行のコードを次のコード行に置き換えるだけです。

if ( iteration == max_iteration )の場合はblackを返します。else abs_z = zx * zx + zy * zyです。iteration + 1 - log ( log ( abs_z )) / log ( n )を返します。  
     
    
            
         

以下のように定義されたジュリア集合の違いを示します。 ${\displaystyle f_{c,2}(z)}$${\displaystyle c=-0.835-0.321i}$

のジュリア集合は単位円であり、外側のファトゥ領域では、ポテンシャル関数φ ( z ) はφ ( z ) = log| z |で定義されます。この関数 の等ポテンシャル線は同心円です。${\displaystyle f(z)=z^{2}}$ ${\displaystyle |f(z)|=|z|^{2}}$

${\displaystyle \varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {\log |z_{k}|}{2^{k}}},}$

ここで、 はzによって生成される反復のシーケンスです。より一般的な反復については、ジュリア集合が連結されている場合（つまり、c が（通常の）マンデルブロ集合に属している場合）、外部ファトゥ領域と単位円の外部の間に双正則写像ψ が存在し、となることが証明されています。^[8]これは、この対応によって定義される外部ファトゥ領域上のポテンシャル関数が次のように与えられることを意味します。 ${\displaystyle z_{k}}$${\displaystyle f(z)=z^{2}+c}$${\displaystyle |\psi (f(z))|=|\psi (z)|^{2}}$

${\displaystyle \varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {\log |z_{k}|}{2^{k}}}.}$

この式は、ジュリア集合が連結でない場合にも意味を持ち、したがって、すべてのcに対して、この式によって ∞ を含む Fatou 領域上のポテンシャル関数を定義できます。∞ が臨界点かつ不動点である、つまり分子の次数mが分母の次数nより少なくとも 2 大きいような一般有理関数f ( z ) に対して、 ∞ を含む Fatou 領域上の ポテンシャル関数を次のように定義します。

${\displaystyle \varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {\log |z_{k}|}{d^{k}}},}$

ここでd = m − nは有理関数の次数である。^[9]

Nが非常に大きな数（例えば10 ¹⁰⁰ ）で、kが最初の反復回数である場合、 ${\displaystyle |z_{k}|>N}$

${\displaystyle {\frac {\log |z_{k}|}{d^{k}}}={\frac {\log(N)}{d^{\nu (z)}}},}$

ある実数 に対して、これは実反復回数とみなされるべきであり、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle \nu (z)}$

${\displaystyle \nu (z)=k-{\frac {\log(\log |z_{k}|/\log(N))}{\log(d)}},}$

最後の数字は [0, 1) の範囲内にあります。

r次数の有限吸引サイクルへの反復では、 がサイクルの点である場合、 （r倍の合成）となり、数 ${\displaystyle z^{*}}$${\displaystyle f(f(...f(z^{*})))=z^{*}}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{\left|(d(f(f(\cdots f(z))))/dz)_{z=z^{*}}\right|}}\qquad (>1)}$

はサイクルの引力である。wが非常に近い点であり、w ′がwをr回反復すると、 ${\displaystyle z^{*}}$

${\displaystyle \alpha =\lim _{k\to \infty }{\frac {|w-z^{*}|}{|w'-z^{*}|}}.}$

したがって、その数はkとはほとんど無関係です。Fatou 領域上のポテンシャル関数を次のように定義します。 ${\displaystyle |z_{kr}-z^{*}|\alpha ^{k}}$

${\displaystyle \varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{(|z_{kr}-z^{*}|\alpha ^{k})}}.}$

εが非常に小さい数で、kが最初の反復回数である場合、 ${\displaystyle |z_{k}-z^{*}|<\epsilon }$

${\displaystyle \varphi (z)={\frac {1}{(\varepsilon \alpha ^{\nu (z)})}}}$

ある実数 に対して、これは実反復回数とみなされるべきであり、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle \nu (z)}$

${\displaystyle \nu (z)=k-{\frac {\log(\varepsilon /|z_{k}-z^{*}|)}{\log(\alpha )}}.}$

吸引力が∞の場合、つまりサイクルが超吸引力である場合、つまりサイクルの点の1つが臨界点である場合、αを次のように 置き換える必要があります。

${\displaystyle \alpha =\lim _{k\to \infty }{\frac {\log |w'-z^{*}|}{\log |w-z^{*}|}},}$

ここでw ′はr回繰り返され、 φ ( z )の式は次のようになります。

${\displaystyle \varphi (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {\log(1/|z_{kr}-z^{*}|)}{\alpha ^{k}}}.}$

そして、実際の反復回数は次のように与えられます。

${\displaystyle \nu (z)=k-{\frac {\log(\log |z_{k}-z^{*}|/\log(\varepsilon ))}{\log(\alpha )}}.}$

色付けには、色の循環スケール（たとえば数学的に構築されたもの）と、0 からH −1（たとえばH = 500）までの番号が付けられたH色が含まれている必要があります。実数に、画像の色の密度を決定する固定の実数を掛け、この数のHを法とする整数部分を取ります。 ${\displaystyle \nu (z)}$

ポテンシャル関数の定義と色付けの方法は、サイクルが引き付けていること、つまり中立ではないことを前提としています。サイクルが中立である場合、Fatou ドメインを自然な方法で色付けすることはできません。反復の終端は回転運動であるため、たとえば、反復によって固定されたサイクルからの最小距離で色付けすることができます。

各 Fatou 領域 (中立ではない) には、互いに直交する 2 つの線系があります。等電位線(ポテンシャル関数または実際の反復回数の場合) とフィールド線です。

ファトゥ領域を反復回数（前のセクションで定義した実際の反復回数ではなく）に応じて色付けすると、反復の帯は等電位線の経路を示します。反復が ∞ に向かう場合（通常の反復 の外側のファトゥ領域の場合のように）、反復シーケンスの最後のポイントがx軸より上か下かに応じて色を変更することによって、フィールドラインの経路を簡単に表示できます（最初の図）。ただし、この場合（より正確には、ファトゥ領域が超吸引性である場合）、少なくともここで説明する方法では、フィールドラインをコヒーレントに描画することはできません。この場合、フィールドラインは外部光線とも呼ばれます。 ${\displaystyle \nu (z)}$${\displaystyle z^{2}+c}$

z を吸引 Fatou 領域の点とします。zを多数回反復すると、反復シーケンスの終点は有限サイクルCとなり、 Fatou 領域は (定義により) 反復シーケンスがCに収束する点の集合です。磁力線はCの点と、C の点に反復する (無限の数の) 点から発生します。磁力線はジュリア集合の点上で非カオス的な点 (つまり有限サイクルを生成する点) で終わります。 r をサイクル C の位数 (その点の数) とし、を C 内の点とします。( r倍合成)が得られ、複素数 α を次のように定義します。 ${\displaystyle z^{*}}$${\displaystyle f(f(\dots f(z^{*})))=z^{*}}$

${\displaystyle \alpha =(d(f(f(\dots f(z))))/dz)_{z=z^{*}}.}$

Cの点が である場合、α はr個の数の積です。実数 1/|α| はサイクルの吸引力であり、サイクルが中立でも超吸引力でもないという仮定は、 1 < ⁠を意味します。${\displaystyle z_{i},i=1,\dots ,r(z_{1}=z^{*})}$${\displaystyle f'(z_{i})}$1/| α |⁠ < ∞。点はの不動点であり、この点の近くでは、マップは（磁力線に関連して） α の引数 β を持つ回転の特性（つまり、）を持ちます。 ${\displaystyle z^{*}}$${\displaystyle f(f(\dots f(z)))}$${\displaystyle f(f(\dots f(z)))}$${\displaystyle \alpha =|\alpha |e^{\beta i}}$

ファトゥ領域を着色するために、小さな数 ε を選択し、のときに反復のシーケンスを停止するように設定し、点z を数k （または滑らかな着色を好む場合は実際の反復数）に従って着色します。角度θによって与えられた方向を から選択すると、この方向に から発する磁力線は、数の引数ψが次の条件を満たす 点zで構成されます。${\displaystyle z_{k}(k=0,1,2,\dots ,z_{0}=z)}$${\displaystyle |z_{k}-z^{*}|<\epsilon }$${\displaystyle z^{*}}$${\displaystyle z^{*}}$${\displaystyle z_{k}-z^{*}}$

${\displaystyle \psi -k\beta =\theta \mod \pi .\,}$

反復バンドを磁力線の方向（サイクルから離れる方向）に通過させると、反復数kは 1 増加し、数 ψ は β 増加するため、その数は磁力線に沿って一定になります。 ${\displaystyle \psi -k\beta \mod \pi }$

ファトゥ領域の磁力線の色付けは、磁力線のペアの間の空間に色を付けることを意味します。つまり、から発する規則的に並んだ方向をいくつか選び、これらの方向のそれぞれで、この方向の周りの 2 つの方向を選びます。ペアの 2 つの磁力線がジュリア集合の同じ点で終わらないことがあるので、色付けされた磁力線は、ジュリア集合に向かう途中で (無限に) 分岐することができます。磁力線の中心線までの距離に基づいて色付けすることができ、この色付けを通常の色付けと混ぜることもできます。このような図は非常に装飾的です (2 番目の図)。 ${\displaystyle z^{*}}$

色付きのフィールド ライン (2 つのフィールド ライン間の領域) は反復バンドによって分割され、そのような部分は単位正方形と 1 対 1 で対応できます。1 つの座標は境界フィールド ラインの 1 つからの距離 (から計算) であり、もう 1 つの座標は境界反復バンドの内側からの距離 (から計算) です (この数値は実反復数の非整数部分です)。したがって、フィールド ラインに画像を配置できます (3 番目の画像)。

方法:

• ジュリア集合の距離推定法 (DEM/J)
• 逆反復法 (IIM)

上で述べたように、ジュリア集合は、（本質的に）任意の点の逆像の集合の極限点の集合として見つけることができます。したがって、次のようにして、与えられた関数のジュリア集合をプロットすることができます。反発周期点など、ジュリア集合内にあることがわかっている任意の点zから始めて、 fの高反復の下でzのすべての逆像を計算します。 ${\displaystyle f^{n}}$

残念ながら、反復される逆像の数は指数関数的に増加するため、これは計算上実行可能ではありません。ただし、反復関数システムの「ランダム ゲーム」方法と同様の方法で、この方法を調整できます。つまり、各ステップで、fの逆像の 1 つをランダムに選択します。

例えば、2次多項式f _cの場合、逆反復は次のように記述されます。

${\displaystyle z_{n-1}={\sqrt {z_{n}-c}}.}$

各ステップで、2 つの平方根のうち 1 つがランダムに選択されます。

Julia セットの特定の部分には、逆 Julia アルゴリズムでアクセスするのが非常に難しいことに注意してください。このため、より良い画像を生成するには、IIM/J (MIIM/J と呼ばれます) を変更するか、他の方法を使用する必要があります。

• ⁠ ⁠のジュリアセットの画像${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$
• 
  ⁠ ⁠${\displaystyle c=-0.74543+0.11301*i}$
• 
  ⁠ ⁠${\displaystyle c=-0.75+0.11*i}$
• 
  ⁠ ⁠${\displaystyle c=-0.1+0.651*i}$
• 
  距離推定によって描かれたジュリア集合の反復は、次の形式になります。${\displaystyle 1-z^{2}+z^{5}/(2+4z)+c}$
• 
  距離推定を用いたジュリア集合の3次元レンダリング

ジュリア集合は無限に薄いため、ピクセルから逆方向に反復して効果的に描画することはできません。無限に多くの開始点を調べるのは非現実的であるため、断片化して表示されます。反復回数はジュリア集合の近くで激しく変化するため、部分的な解決策としては、最も近い色の輪郭から集合のアウトラインを暗示することですが、集合はぼやけて見える傾向があります。

ジュリア集合を白黒で描くより良い方法は、集合からのピクセルの距離 (DEM) を推定し、集合の中心に近いすべてのピクセルを色付けすることです。距離推定の式は、ポテンシャル関数φ ( z ) の式から導き出されます。 φ ( z )の等ポテンシャル線が近い場合、その数は大きくなり、逆に、関数の等ポテンシャル線はほぼ規則的に並ぶはずです。この式で求められた値 (定数倍まで) は、z の真の距離に向かって収束し、ジュリア集合に向かって収束することが証明されています。^[9]${\displaystyle |\varphi '(z)|}$${\displaystyle \delta (z)=\varphi (z)/|\varphi '(z)|}$

f ( z ) は有理数、つまり であると仮定します。ここでp ( z ) とq ( z ) はそれぞれm次とn次複素多項式であり、上記の式のφ ( z )の導関数を求めなければなりません。 のみが変化するので、 zに関する の導関数を計算する必要があります。 しかし、( k倍の合成) であるため、 は数 の積であり、この数列は(次の反復 の計算の前に)から始めてによって再帰的に計算できます。 ${\displaystyle f(z)=p(z)/q(z)}$${\displaystyle z_{k}}$${\displaystyle z'_{k}}$${\displaystyle z_{k}}$${\displaystyle z_{k}=f(f(\cdots f(z)))}$${\displaystyle z'_{k}}$${\displaystyle f'(z_{k})}$${\displaystyle z'_{k+1}=f'(z_{k})z'_{k}}$${\displaystyle z'_{0}=1}$${\displaystyle z_{k+1}=f(z_{k})}$

∞に向かう反復（より正確には、m ≥ n + 2のとき、つまり∞が超吸引固定点であるとき）では、

${\displaystyle |\varphi '(z)|=\lim _{k\to \infty }{\frac {|z'_{k}|}{|z_{k}|d^{k}}},}$

( d = m − n ) であり、したがって次のようになる。

${\displaystyle \delta (z)=\varphi (z)/|\varphi '(z)|=\lim _{k\to \infty }\log |z_{k}||z_{k}|/|z'_{k}|.\,}$

点⁠ ⁠${\displaystyle z^{*}}$を含み、位数rを持つ有限吸引サイクル（超吸引ではない）への反復については、

${\displaystyle |\varphi '(z)|=\lim _{k\to \infty }|z'_{kr}|/(|z_{kr}-z^{*}|^{2}\alpha ^{k}),\,}$

そして結果として:

${\displaystyle \delta (z)=\varphi (z)/|\varphi '(z)|=\lim _{k\to \infty }|z_{kr}-z^{*}|/|z'_{kr}|.\,}$

超吸引サイクルの場合、式は次のようになります。

${\displaystyle \delta (z)=\lim _{k\to \infty }\log |z_{kr}-z^{*}|^{2}/|z'_{kr}|.\,}$

この数値は、反復が停止したときに計算されます。距離の推定は、サイクルの吸引力とは無関係であることに注意してください。つまり、これは「次数無限大」の超越関数 (例: sin( z ) および tan( z )) に意味を持ちます。

境界を描画するだけでなく、距離関数を 3 次元として導入して、立体的なフラクタル風景を作成することもできます。

ウィキメディア・コモンズには、ジュリア集合に関連するメディアがあります。

• ドゥアディウサギ
• 制限設定
• 安定集合と不安定集合
• 放浪領域定理はない
• カオス理論

• カールソン、レナート、ガメリン、セオドア W. (1993)。複雑ダイナミクス。シュプリンガー。
• ドゥアディ、エイドリアン。ハバード、ジョン H. (1984)。 「ダイナミック・デ・ポリノーム・コンプレックスのエチュード」。オルセー数学の出版物。2 ;   「[前掲]」。オルセー数学の出版物。４． 1985年。
• Milnor, JW (2006) [1990]. 1つの複素変数のダイナミクス. Annals of Mathematics Studies. 第160巻（第3版）. プリンストン大学出版局;
  最初に「Stony Brook IMS プレプリント」として登場しました。2006 年 4 月 24 日にオリジナルからアーカイブされました。Milnor, John W. (1990). 「1つの複素変数のダイナミクス: 入門講義」として入手可能。arXiv : math.DS /9201272。
• Bogomolny、Alexander。「マンデルブロ集合とジュリア集合のインデックス」。cut -the-knot。代数学カリキュラム。
• デミドフ、エフゲニー (2003)。「マンデルブロ集合とジュリア集合の解剖学」
• ベアドン、アラン F. (1991)。有理関数の反復。シュプリンガー。ISBN 0-387-95151-2。

Wikibooksにはフラクタルに関する本があります

• 「ジュリア集合」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• ワイスタイン、エリック・W.「ジュリア・セット」。マスワールド。
• バーク、ポール。「ジュリア集合フラクタル (2D)」(個人サイト)。
• ソーヤー、ジェイミー (2007 年 4 月 6 日)。「ジュリア セット」(ブログ)。
• McGoodwin, Michael. 「ジュリア ジュエル: ジュリア セットの探究」(個人サイト)。
• プリングル、ルーシー。「ミステリーサークル ジュリアセット」(個人サイト)。
• Greig, Josh. 「インタラクティブ Julia Set アプレット」。2012 年 3 月 26 日のオリジナルからアーカイブ。
• Joyce, David E. 「Julia and Mandelbrot set explorer」（学術個人サイト）。クラーク大学。
• 「ジュリア集合を生成する簡単なプログラム」。liazardie.com。2011-03-17にオリジナルからアーカイブ。– Windows、370 KB
• 「アプレットのコレクション」。SourceForge。– アプレットの 1 つは、反復関数システムを介して Julia セットをレンダリングできます。
• 「Julia と HTML5 の出会い」。Google Labs。2011 年 2 月 18 日にオリジナルからアーカイブ。ブラウザ用の HTML5 フラクタル ジェネレーター
• 「Julia」。r- project.org。GNU R パッケージ。2014 年 11 月 25 日。指定された領域と解像度で Julia または Mandelbrot 集合を生成します。
• 「ジュリア集合」。2017年6月16日時点のオリジナルよりアーカイブ。2011年8月24日閲覧。– ジュリア集合の視覚的な説明。
• 「FractalTS」。github.io。– マンデルブロ、燃える船、および対応するジュリア集合ジェネレーター。
• 「ジュリア集合画像、オンラインレンダリング」。finengin.net 。 2019年6月22日時点のオリジナルよりアーカイブ。2017年1月24日閲覧。
• 「ジュリア集合とマンデルブロ集合を理解する」。- 視覚的な説明。