結合（トポロジー）

数学の一分野である位相幾何学において、2つの位相空間とを結合したものは、またはで表されることが多く、2つの空間の互いに交わらない和をとり、 内のすべての点を内のすべての点に結ぶ線分を付すことによって形成される位相空間である。空間とそれ自身との結合はで表される。結合は、文脈によって若干異なる方法で定義される。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\ast B}$${\displaystyle A\star B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{\star 2}:=A\star A}$

およびがユークリッド空間の部分集合である 場合、次式が成り立つ: ^{[1] : 1}${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle A\star B\ :=\ \{t\cdot a+(1-t)\cdot b~|~a\in A,b\in B,t\in [0,1]\}}$、

つまり、 内の点と 内の点の間のすべての線分の集合です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

一部の著者^{[2] : 5}は定義を結合可能な部分集合に制限しています。つまり、A の点と B の点を結ぶ 2 つの異なる線分は、多くても共通の端点で交わります (つまり、それらの内部で交差しません)。2 つの部分集合はすべて「結合可能」にすることができます。たとえば、が でがである場合、と はで結合可能です。上の図は、と が線分である m=n=1 の例を示しています 。${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle A\times \{0^{m}\}\times \{0\}}$${\displaystyle \{0^{n}\}\times B\times \{1\}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+m+1}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

• 2 つの単体の結合は単体です。n次元単体とm次元単体の結合は ( m + n +1) 次元単体 です。特殊なケースとしては、次のものがあります。
  • 2 つの離れている点を結ぶと、区間 ( m = n =0) になります。
  • 点と区間の結合は三角形 (m=0, n=1) です。
  • 2 つの線分の結合は、右上の図に示すように、実線四面体または二面体と同相です( m = n =1)。
  • 点と( n -1)次元単体との結合はn次元単体である。
• 点と多角形(または任意の多面体)の結合は角錐であり、点と正方形の結合は四角錐です。点と立方体の結合は立方角錐です。
• 点と円の結合は円錐であり、点と球の結合は超円錐です。

およびが任意の位相空間である場合、次のようになります。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle A\star B\ :=\ A\sqcup _{p_{0}}(A\times B\times [0,1])\sqcup _{p_{1}}B,}$

円筒は元の空間に接続され、円筒の面の自然な投影に沿っています。 ${\displaystyle A\times B\times [0,1]}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle {A\times B\times \{0\}}\xrightarrow {p_{0}} A,}$

${\displaystyle {A\times B\times \{1\}}\xrightarrow {p_{1}} B.}$

通常、およびは空でないと暗黙的に想定されます。その場合、定義は少し異なる表現になることがよくあります。円筒の面を空間およびに接続する代わりに、これらの面は接続投影によって示唆される方法で単純に折りたたまれます。つまり、商空間を形成します。${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\times B\times [0,1]}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle p_{1},p_{2}}$

${\displaystyle A\star B\ :=\ (A\times B\times [0,1])/\sim ,}$

ここで同値関係は 次のように生成される。 ${\displaystyle \sim}$

${\displaystyle (a,b_{1},0)\sim (a,b_{2},0)\quad {\mbox{すべての }}a\in A{\mbox{ および }}b_{1},b_{2}\in B に対して}$

${\displaystyle (a_{1},b,1)\sim (a_{2},b,1)\quad {\mbox{すべての }}a_{1},a_{2}\in A{\mbox{ および }}b\in B に対して}$

端点では、これはおよびに縮小されます。 ${\displaystyle A\times B\times \{0\}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A\times B\times \{1\}}$${\displaystyle B}$

およびがユークリッド空間の有界部分集合であり、 および（ただし の互いに素な部分空間で、それらのアフィン包の次元が であるもの（たとえば 内の交差しない非平行線））である 場合、位相的定義は幾何学的定義に簡約され、つまり「幾何学的結合」は「位相的結合」に同相である：^{[3] ： 75、Prop.4.2.4}${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle A\subseteq U}$${\displaystyle B\subseteq V}$${\displaystyle U,V}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle dimU+dimV+1}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle {\big (}(A\times B\times [0,1])/\sim {\big )}\simeq \{t\cdot a+(1-t)\cdot b~|~a\in A,b\in B,t\in [0,1]\}}$

とが任意の抽象単体複体である場合、それらの結合は次のように定義される抽象単体複体である: ^{[3] : 74, 定義4.2.1}${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

• 頂点集合は、との互いに素な和集合です。${\displaystyle V(A\star B)}$${\displaystyle V(A)}$${\displaystyle V(B)}$
• の単体はすべて、の単体と の単体の互いに素な和集合です(と が互いに素である特別なケースでは 、結合は単に です)。${\displaystyle A\star B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\star B:=\{a\sqcup b:a\in A,b\in B\}}$${\displaystyle V(A)}$${\displaystyle V(B)}$${\displaystyle \{a\cup b:a\in A,b\in B\}}$

• および、つまり 1 つの点を持つ 2 つの集合であるとします。すると となり、これは線分を表します。A と B の頂点集合は互いに素であることに注意してください。そうでなければ、互いに素にする必要があります。たとえば、ここで a ₁と a _{2 は}、V(A) の単一要素の 2 つのコピーです。位相的には、結果は 、つまり線分と同じです。${\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\}\}}$${\displaystyle B=\{\emptyset ,\{b\}\}}$${\displaystyle A\star B=\{\emptyset ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}}$${\displaystyle A^{\star 2}=A\star A=\{\emptyset ,\{a_{1}\},\{a_{2}\},\{a_{1},a_{2}\}\}}$${\displaystyle A\star B}$
• および と仮定します。すると となり、三角形を表します。${\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\}\}}$${\displaystyle B=\{\emptyset ,\{b\},\{c\},\{b,c\}\}}$${\displaystyle A\star B=P(\{a,b,c\})}$
• および、つまり 2 つの離散点を持つ 2 つの集合があるとします。 は面 を持つ複素数であり、「正方形」を表します。${\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\},\{b\}\}}$${\displaystyle B=\{\emptyset ,\{c\},\{d\}\}}$${\displaystyle A\star B}$${\displaystyle \{a,c\},\{b,c\},\{a,d\},\{b,d\}}$

組合せ論的定義は、次の意味で位相的定義と同等である: ^{[3] : 77、演習3 任意の}2つの抽象単体複体およびに対して、はに同相であり、ここで は複体 の任意の幾何学的実現を表す。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle ||A\star B||}$${\displaystyle ||A||\star ||B||}$${\displaystyle ||X||}$${\displaystyle X}$

2つの写像とが与えられたとき、それらの結合は、結合内の各点の表現に基づいて定義される。ただし、ある: ^{[3] : 77}${\displaystyle f:A_{1}\to A_{2}}$${\displaystyle g:B_{1}\to B_{2}}$${\displaystyle f\star g:A_{1}\star B_{1}\to A_{2}\star B_{2}}$${\displaystyle A_{1}\star B_{1}}$${\displaystyle t\cdot a+(1-t)\cdot b}$${\displaystyle a\in A_{1},b\in B_{1}}$

${\displaystyle f\star g~(t\cdot a+(1-t)\cdot b)~~=~~t\cdot f(a)+(1-t)\cdot g(b)}$

位相空間 の円錐はと単一点の 結合です。${\displaystyle X}$${\displaystyle CX}$${\displaystyle X}$

位相空間 の懸垂はと(0 次元球面、または2 点を持つ 離散空間)の結合です。${\displaystyle X}$${\displaystyle SX}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S^{0}}$

2 つの空間の結合は同相写像を除いて 可換である。 つまり、${\displaystyle A\star B\cong B\star A}$

上記で定義した結合演算が任意の位相空間に対して同相写像まで結合的であるというのは正しくありません。しかし、局所コンパクト ハウスドルフ空間の場合、次の 式 が成り立ちます。したがって、ある空間とそれ自身とのk回結合( k回) を定義できます。${\displaystyle A,B,C}$${\displaystyle (A\star B)\star C\cong A\star (B\star C).}$${\displaystyle A^{*k}:=A*\cdots *A}$

と同じ基底集合を使用するが異なる位相を持つ異なる結合演算を定義することも可能であり、この演算はすべての位相空間に対して結合的である。局所コンパクトハウスドルフ空間との場合、結合と結合は一致する。^[4]${\displaystyle A\;{\hat {\star }}\;B}$${\displaystyle A\star B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\star B}$${\displaystyle A\;{\hat {\star }}\;B}$

と がホモトピー同値であれば、ともホモトピー同値である。^{[3] : 77, 演習2}${\displaystyle A}$${\displaystyle A'}$${\displaystyle A\star B}$${\displaystyle A'\star B}$

基底点CW複体 とが与えられた場合、「簡約結合」 ${\displaystyle (A,a_{0})}$${\displaystyle (B,b_{0})}$

${\displaystyle {\frac {A\star B}{A\star \{b_{0}\}\cup \{a_{0}\}\star B}}}$

は縮小サスペンションと同相である

${\displaystyle \Sigma (A\wedge B)}$

スマッシュ積の である。したがって、は収縮可能であるため、ホモトピー同値が存在する。${\displaystyle {A\star \{b_{0}\}\cup \{a_{0}\}\star B}}$

${\displaystyle A\star B\simeq \Sigma (A\wedge B).}$

この同値性により同型性が確立されます。 ${\displaystyle {\widetilde {H}}_{n}(A\star B)\cong H_{n-1}(A\wedge B)\ {\bigl (}=H_{n-1}(A\times B/A\vee B){\bigr )}}$

二つの三角形状空間 が与えられたとき、それらの接続のホモトピー的連結性（）は、少なくともその部分の連結性の和である：^{[3] : 81, Prop.4.4.3}${\displaystyle A,B}$${\displaystyle \eta _{\pi }}$

• ${\displaystyle \eta _{\pi }(A*B)\geq \eta _{\pi }(A)+\eta _{\pi }(B)}$。

例として、 が2 つの分離した点の集合であるとします。 点の間には 1 次元の穴があるため です。 結合部は正方形で、これは 2 次元の穴がある円に同相であるため です。 この正方形と の 3 番目のコピーとの結合部は八面体で、これは に同相で、その穴は 3 次元です。 一般に、のn個のコピーの結合部は、およびに同相です。 ${\displaystyle A=B=S^{0}}$${\displaystyle \eta _{\pi }(A)=\eta _{\pi }(B)=1}$${\displaystyle A*B}$${\displaystyle \eta _{\pi }(A*B)=2}$${\displaystyle S^{0}}$${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S^{0}}$${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle \eta _{\pi }(S^{n-1})=n}$

抽象複体Aの削除された結合は 、Aの互いに素な面のすべての互いに素な和集合を含む抽象複体である: ^{[3] :112}

${\displaystyle A_{\Delta }^{*2}:=\{a_{1}\sqcup a_{2}:a_{1},a_{2}\in A,a_{1}\cap a_{2}=\emptyset \}}$

• (単一の点)と仮定します。すると、 は 2 つの互いに交わらない点を持つ離散空間になります ( = 区間であることを思い出してください)。${\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\}\}}$${\displaystyle A_{\Delta }^{*2}:=\{\emptyset ,\{a_{1}\},\{a_{2}\}\}}$${\displaystyle A^{\star 2}=\{\emptyset ,\{a_{1}\},\{a_{2}\},\{a_{1},a_{2}\}\}}$
• (2 つの点)を想定します。すると、ファセット (2 つの互いに交わらない辺) を持つ複合体になります。${\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\},\{b\}\}}$${\displaystyle A_{\Delta }^{*2}}$${\displaystyle \{a_{1},b_{2}\},\{a_{2},b_{1}\}}$
• (辺)を想定します。次に、面(正方形)を持つ複合体があります。これは立体四面体を表すことを思い出してください。${\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}}$${\displaystyle A_{\Delta }^{*2}}$${\displaystyle \{a_{1},b_{1}\},\{a_{1},b_{2}\},\{a_{2},b_{1}\},\{a_{2},b_{2}\}}$${\displaystyle A^{\star 2}}$
• A が( n -1) 次元単体 (頂点数n )を表すとします。この場合、結合は( 2n- 1) 次元単体 (頂点数 2 n ) です。つまり、 x ₁ +...+x 2n =1 となるような非負座標を持つすべての点 (x 1 ,..., _{x 2n} )_の集合です。削除された結合は、この単体のサブセットと見なすことができます。つまり、その単体内のすべての点 (x ₁ ,...,x _2n ) の集合であり、非ゼロ座標はx ₁ ,...,x _n内のk個の座標と、 x _n+1 ,...,x _2n内の相補 nk 個の座標のみです。${\displaystyle A^{\star 2}}$${\displaystyle A_{\Delta }^{*2}}$

削除された結合操作は結合と可換である。つまり、任意の2つの抽象複合体AとBについて: ^{[3] : Lem.5.5.2}

${\displaystyle (A*B)_{\Delta }^{*2}=(A_{\Delta }^{*2})*(B_{\Delta }^{*2})}$

証明。左側の複体の各単体は の形をとり 、、およびは互いに素です。互いに素な和集合の性質により、後者の条件は と等価です。は互いに素であり、 は互いに素です。 ${\displaystyle (a_{1}\sqcup b_{1})\sqcup (a_{2}\sqcup b_{2})}$${\displaystyle a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B}$${\displaystyle (a_{1}\sqcup b_{1}),(a_{2}\sqcup b_{2})}$${\displaystyle a_{1},a_{2}}$${\displaystyle b_{1},b_{2}}$

右側の複体の各単体は の形をしており 、、 および は 互いに素であり、は互いに素です。したがって、両辺の単体の集合はまったく同じです。 □ ${\displaystyle (a_{1}\sqcup a_{2})\sqcup (b_{1}\sqcup b_{2})}$${\displaystyle a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B}$${\displaystyle a_{1},a_{2}}$${\displaystyle b_{1},b_{2}}$

特に、n次元単体とそれ自身との削除された結合はn次元交差多面体であり、これはn次元球面と同相である。^{[3] : Cor.5.5.3}${\displaystyle \Delta ^{n}}$${\displaystyle S^{n}}$

単体複体 A の n 重 k ワイズ削除結合は次のように定義され ます。

${\displaystyle A_{\Delta (k)}^{*n}:=\{a_{1}\sqcup a_{2}\sqcup \cdots \sqcup a_{n}:a_{1},\cdots ,a_{n}{\text{ are k-wise disjoint faces of }}A\}}$ここで、「k ごとに互いに素」とは、kのすべての部分集合に空の共通部分があることを意味します。

特に、n倍nワイズ削除結合には、交差が空であるn面のすべての非結合和が含まれ、 n倍 2 ワイズ削除結合はより小さく、ペアワイズ非結合であるn面の非結合和のみが含まれます。 2 倍 2 ワイズ削除結合は、上で定義した単純な削除結合です。

m個の点を持つ離散空間の n重2方向削除結合は、( m , n )-チェス盤複体と呼ばれます。

• サスペンション解除

• ハッチャー、アレン、「代数的位相幾何学」、ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、2002年、xii+544 pp. ISBN 0-521-79160-XおよびISBN 0-521-79540-0  
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• Brown、Ronald、トポロジーと群論、セクション 5.7 結合。