ハイパーコーン

幾何学において、超円錐（または球面円錐）は、4次元ユークリッド空間内の次の式で表される 図形である。

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-w^{2}=0.}$

これは二次曲面であり、3 次元の円錐面の 4 次元相当である3次元多様体の 1 つです。w軸に垂直な超平面との交差が球面であるため、「球状円錐」とも呼ばれます。4 次元直角超円錐は、時間とともに拡大する球体で、単一の点源から拡大が始まり、拡大する球の中心は固定されたままであると考えられます。斜角超円錐は、時間とともに拡大する球体で、これも点源から拡大が始まりますが、拡大する球の中心は均一な速度で動きます。

直球面超円錐は関数

${\displaystyle {\vec {\sigma }}(\phi ,\theta ,t)=(ts\cos \theta \cos \phi ,ts\cos \theta \sin \phi ,ts\sin \theta ,t) }$

頂点は原点にあり、膨張速度はs です。

半径r、高さhの直球面超円錐は、次の関数で表すことができます。

${\displaystyle {\vec {\sigma}}(\phi ,\theta ,t)=\left(t\cos \phi \sin \theta ,t\sin \phi \sin \theta ,t\cos \theta ,{\frac {h}{r}}t\right)}$

斜球面超円錐は次のような関数で記述できる。

${\displaystyle {\vec {\sigma }}(\phi ,\theta ,t)=(v_{x}t+ts\cos \theta \cos \phi ,v_{y}t+ts\cos \theta \ sin \phi ,v_{z}t+ts\sin \theta ,t)}$

ここで、 は膨張する球の中心の 3 速度です。このような円錐の例としては、移動する参照フレームの視点から見た膨張する音波が挙げられます。たとえば、ジェット機自体の参照フレームから見たジェット機の音波などです。 ${\displaystyle (v_{x},v_{y},v_{z})}$

上記の 3D サーフェスは、 4D ハイパーボリューム(つまり 4 円錐) を囲んでいることに注意してください。

球面円錐は、原点で交わる2 つの無限のナップで構成され、3 次元円錐面のナップに類似しています。上部のナップは、正のw座標を持つ半分に対応し、下部のナップは、負のw座標を持つ半分に対応します。

もしそれが、ある非ゼロのrに対して超平面w  = 0 とw  =  r の間に制限されるなら、それは(0,0,0, r ) を中心とする半径rの3 次元球によって閉じられ、有限の 4 次元体積を囲む。この体積は、次の式で与えられる。1/3⁠ π r ^{4であり、}立体円錐の 4 次元版です。球体は 4 次元円錐のナップの底部にある「蓋」と考えることができ、原点は円錐の「頂点」になります。

この図形は、さまざまな方法で 3 次元空間に投影できます。 xyz 超平面に投影すると、その画像は球になります。xyw、xzw、またはyzw超平面に投影すると、その画像は立体円錐になります。 斜超平面に投影すると、その画像は楕円体または楕円体底を持つ立体円錐 (アイスクリーム コーンに似ています) になります。 これらの画像は、立体円錐を 2 次元に投影したときに考えられる画像の類似物です。

（半）超円錐は、3D 円錐の構築に似た方法で構築できます。3D 円錐は、徐々に小さくなる円盤を積み重ねて、先端に向かって細くなるようにしたものと考えることができます。あるいは、3D 円錐は、直立した二等辺三角形が底辺の周りを回転するときに広がる体積と考えることもできます。

4D ハイパーコーンも同様に構築できます。つまり、4 番目の方向に徐々に小さくなるボールを積み重ねて、先端に向かって細くなるまで積み重ねるか、または 4 番目の方向に直立した四面体が、その上にある 3D ハイパープレーンの底面の周りを自由に回転するときに広がるハイパーボリュームを取得します。

4次元のピラミッドと円錐の超体積は

${\displaystyle H={\frac {1}{4}}Vh}$

ここで、Vは底部の体積、hは高さ（底部の中心と頂点の間の距離）です。底部の体積が の球面円錐の場合、超体積は ${\textstyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$

${\displaystyle H={\frac {1}{4}}Vh={\frac {1}{4}}\left({\frac {4}{3}}\pi r^{3}\right)h={\frac {1}{3}}\pi r^{3}h}$

直球面円錐の側面体積は、球面底の半径、円錐の斜高（球の 2D 表面と頂点の間の距離）です。球面底の表面体積は、ど​​の球の場合も同じです。したがって、直球面円錐の全表面体積は、次のように表すことができます。 ${\textstyle LSV={\frac {4}{3}}\pi r^{2}l}$${\displaystyle r}$${\displaystyle l}$${\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$

• 半径と高さ

${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}+{\frac {4}{3}}\pi r^{2}{\sqrt {r^{2}+h^ {2}}}}$

（底面の体積と側面の 3D 表面の体積の合計。この項は斜高と呼ばれます） ${\displaystyle {\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{2}\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)}$

ここでは半径、 は高さです。${\displaystyle r}$${\displaystyle h}$

• 半径と斜高

${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}+{\frac {4}{3}}\pi r^{2}l}$

${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{2}\left(r+l\right)}$

ここでは半径、 は斜面の高さです。${\displaystyle r}$${\displaystyle l}$

• 表面積、半径、斜高

${\displaystyle {\frac {1}{3}}Ar+{\frac {1}{3}}Al}$

${\displaystyle {\frac {1}{3}}A\left(r+l\right)}$

ここで、は底面積、は半径、は斜面の高さです。${\displaystyle A}$${\displaystyle r}$${\displaystyle l}$

球状円錐の方程式のw座標を距離ct（tは座標時間、cは光速（定数））として解釈すると、それは特殊相対性理論における光円錐の形状になります。この場合、方程式は通常次のように記述されます。

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-(ct)^{2}=0,}$

これは光の球面波面の方程式でもある。 ^[1]上側のナップは未来の光円錐であり、下側のナップは過去の光円錐である。^[2]

• 3球体
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