岩沢代数

数学において、原有限群Gの岩澤代数Λ( G )は、 Gの位相を考慮したp進係数を持つGの群環の変形である。より正確には、 Λ( G ) は、 H がGの開正規部分群  を通るときの群環Z _p ( G / H )の逆極限である。可換岩澤代数は、岩澤理論におけるZ _p拡大 の研究において岩澤(1959) によって導入され、コンパクトなp進解析群の非可換岩澤代数はラザード (1965) によって導入された。

原有限群 G がp進整数の環Z _pの加法群に同型である 特別な場合において、岩沢代数 Λ( G ) はZ _p上の 1 変数の形式冪級数 Z _p [[ T ]]の環に同型である。同型性は 1 + T をGの位相生成子と同一視することによって与えられる 。この環は 2 次元完全ノイザン正則局所環であり、特に一意の因数分解領域である。

完全な局所環上の形式的冪級数に対するワイエルシュトラスの準備定理から、この環の素イデアルは次のようになること がわかります。

• 高さ 0: ゼロ理想。
• 高さ 1: イデアル ( p )、および既約な区別された多項式(先頭の係数が 1 で、他のすべての係数がpで割り切れる多項式)によって生成されるイデアル。
• 高さ2: 最大イデアル( p , T )。

有限生成モジュールのランクは、モジュールZ _p [[ T ]] がその中に出現する回数です。これは明確に定義されており、有限生成モジュールの短い正確なシーケンスに対して加算されます。有限生成モジュールのランクが 0 になるのは、モジュールがねじれモジュールである場合のみであり、ねじれモジュールは、サポートの次元が最大 1 の場合にのみ発生します。

岩澤理論に現れるこの代数上の加群の多くは、有限生成捩れ加群である。そのような加群の構造は次のように記述できる。加群の準同型とは、核と余核が両方とも有限群である準同型、つまりサポートが空か高さ 2 の素イデアルである加群である。任意の有限生成捩れ加群に対して、Z _p [[ T ]]/( f ⁿ ) の形式の加群の有限和に対する準同型が存在する。ここでf は高さ 1 の素イデアルの生成元である。さらに、任意の加群Z _p [[ T ]]/( f ) が加群に現れる 回数は明確に定義されており、合成級数とは無関係である。したがって、捩れ加群には特性冪級数、つまり冪級数f ⁿの積で与えられる形式冪級数があり、これは単位の乗算まで一意に定義される。特性冪級数によって生成されるイデアルは、岩澤加群の特性イデアルと呼ばれる。より一般的には、特性イデアルの任意の生成元は特性冪級数と呼ばれます。

有限生成捩れ加群のμ不変量は、加群Z _p [[ T ]]/( p ) がその中に出現する回数である。この不変量は有限生成捩れ加群の短完全列に対しては加法的である（ただし有限生成加群の短完全列に対しては加法的ではない）。この不変量は有限生成捩れ加群が部分環Z _p上の加群として有限生成である場合にのみ消滅する。λ不変量は出現する区別された多項式の次数の合計である。言い換えれば、加群が擬同型である場合

${\displaystyle \bigoplus _{i}\mathbf {Z} _{p}[\![T]\!]/(p^{\mu _{i}})\oplus \bigoplus _{j}\mathbf {Z} _{p}[\![T]\!]/(f_{j}^{m_{j}})}$

ここで、f _{j は}区別された多項式であり、

${\displaystyle \mu =\sum _{i}\mu _{i}}$

そして

${\displaystyle \lambda =\sum _{j}m_{j}\deg(f_{j}).}$

特性べき級数に関して、μ-不変量は係数の( p進)値の最小値であり、λ-不変量はその最小値が最初に現れるTのべき乗である。

有限生成モジュールの階数、μ 不変量、λ 不変量がすべて 0 の場合、モジュールは有限です (逆も同様)。言い換えると、その基礎となるアーベル群は有限アーベルp群です。これらは、サポートの次元が最大で 0 である有限生成モジュールです。このようなモジュールはアルティンであり、明確に定義された長さを持ち、短い正確なシーケンスに対して有限かつ加法的です。

ν _{n を}^{1+γ+γ 2} +...+γ ^{p n –1}の元と書きます。ここで γ は Γ の位相生成子です。岩沢 (1959) は、Xが岩沢代数上の有限生成捩れ加群で、 X /ν _n X がp ^{e _{n の}}位数を持つ場合、

${\displaystyle e_{n}=\mu p^{n}+\lambda n+c}$

n が十分に大きい場合、 μ 、 λ 、c はXのみに依存し、nには依存しません。岩澤の元々の議論はアドホックであり、セール (1958) は、岩澤の結果は、岩澤代数などの整閉ネーター環上の加群の構造に関する標準的な結果から演繹できることを指摘しました。

特に、これはe _{n が}p ^{n +1}の位数単位根によって生成される円分体の理想類群の位数を割り切るpの最大のべきである場合に適用されます。フェレロ・ワシントン定理によれば、この場合 μ=0 となります。

より一般的な岩澤代数は次のような形をとる。

${\displaystyle \Lambda (G):=\varprojlim _{H}\mathbf {Z} _{p}[G/H]}$

ここで、Gはコンパクトなp進リー群である。上のケースは に対応する。擬同型までの 上の加群の分類は、^{[1]の場合に可能である。}${\displaystyle G=\mathbf {Z} _{p}}$${\displaystyle \Lambda (G)}$${\displaystyle G=\mathbf {Z} _{p}^{n}.}$

非可換Gの場合、-加群はいわゆる擬似ヌル加群に分類される。^[2]${\displaystyle \Lambda (G)}$

• Ardakov, K.; Brown, KA (2006)、「岩澤代数の環理論的性質：概観」、Documenta Mathematica : 7–33、arXiv : math/0511345、Bibcode :2005math.....11345A、ISSN  1431-0635、MR  2290583
• 岩沢健吉 (1959)、「代数体のΓ拡大について」、アメリカ数学会誌、65 (4): 183–226、doi : 10.1090/S0002-9904-1959-10317-7、ISSN  0002-9904、MR  0124316
• ラザール、ミシェル (1965)、「グループ分析 p-adiques」、Publications Mathématiques de l'IHÉS、26 (26): 389–603、ISSN  1618-1913、MR  0209286
• Neukirch, ユルゲン;シュミット、アレクサンダー。 Wingberg, Kay (2000)、「第 5 章」、数体のコホモロジー、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、vol. 323 (第 1 版)、ベルリン: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-66671-4、MR  1737196、Zbl  0948.11001
• Serre、Jean-Pierre (1958)、「Classes des corps cyclotomices (d'après K.いわさわ) Exp.174」、Séminaire Bourbaki、Vol. 5、パリ:フランス数学協会、83–93 ページ、MR  1603459