例 マトリックス
P = [ 1 2 2 7 1 5 6 2 3 3 4 5 3 3 6 7 ] {\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}1&2&2&7\\1&5&6&2\\3&3&4&5\\3&3&6&7\end{bmatrix}}}
は、4つのブロックに分割して視覚化できます。
P = [ 1 2 2 7 1 5 6 2 3 3 4 5 3 3 6 7 ] 。 {\displaystyle \mathbf {P} =\left[{\begin{array}{cc|cc}1&2&2&7\\1&5&6&2\\\hline 3&3&4&5\\3&3&6&7\end{array}}\right].}
水平線と垂直線には特別な数学的意味はないが、[ 6 ] [ 7 ] [ 6 ] [ 7 ] P {\displaystyle P}
P 11 = [ 1 2 1 5 ] 、 P 12 = [ 2 7 6 2 ] 、 P 21 = [ 3 3 3 3 ] 、 P 22 = [ 4 5 6 7 ] 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{11}&={\begin{bmatrix}1&2\\1&5\end{bmatrix}},&\mathbf {P} _{12}&={\begin{bmatrix}2&7\\6&2\end{bmatrix}},\\[1ex]\mathbf {P} _{21}&={\begin{bmatrix}3&3\\3&3\end{bmatrix}},&\mathbf {P} _{22}&={\begin{bmatrix}4&5\\6&7\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}
分割された行列は次のように記述できます[ 8 ]
P = [ P 11 P 12 P 21 P 22 ] 。 {\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}\mathbf {P} _{11}&\mathbf {P} _{12}\\\mathbf {P} _{21}&\mathbf {P} _{22}\end{bmatrix}}.}
させてA ∈ C m × n \displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}} A {\displaystyle A} A {\displaystyle A}
A = [ A 11 A 12 ⋯ A 1 q A 21 A 22 ⋯ A 2 q ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A p 1 A p 2 ⋯ A p q ] 、 {\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1q}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{p1}&A_{p2}&\cdots &A_{pq}\end{bmatrix}},}
どこA 私 j ∈ C m 私 × n j {\displaystyle A_{ij}\in \mathbb {C} ^{m_{i}\times n_{j}}} ∑ 私 = 1 p m 私 = m {\textstyle \sum _{i=1}^{p}m_{i}=m} ∑ j = 1 q n j = n {\textstyle \sum _{j=1}^{q}n_{j}=n} 9 ] A 私 j {\displaystyle A_{ij}} ブロック と呼ばれます。[ 9 ]
この定義によれば、任意の列内のブロックはすべて同じ数の列を持たなければならない。[ 9 ] [ 9 ]
共通パーティション 多くの場合、[ 9 ]
A = [ A 11 A 12 A 21 A 22 ] 、 {\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{bmatrix}},}
特に、A 11 {\displaystyle A_{11}} [ 9 ]
A = [ 1 11 1 12 T 1 21 A 22 ] 。 {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}^{T}\\a_{21}&A_{22}\end{bmatrix}}.}
ブロック行列演算
転置 させて
A = [ A 11 A 12 ⋯ A 1 q A 21 A 22 ⋯ A 2 q ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A p 1 A p 2 ⋯ A p q ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1q}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{p1}&A_{p2}&\cdots &A_{pq}\end{bmatrix}}}
どこA 私 j ∈ C k 私 × ℓ j \displaystyle A_{ij}\in \mathbb {C} ^{k_{i}\times \ell _{j}}} A {\displaystyle A} § 加算 と§ 乗算 で再利用されます。）その転置は[ 9 ] [ 10 ]です。
A T = [ A 11 T A 21 T ⋯ A p 1 T A 12 T A 22 T ⋯ A p 2 T ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A 1 q T A 2 q T ⋯ A p q T ] 、 {\displaystyle A^{T}={\begin{bmatrix}A_{11}^{T}&A_{21}^{T}&\cdots &A_{p1}^{T}\\A_{12}^{T}&A_{22}^{T}&\cdots &A_{p2}^{T}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1q}^{T}&A_{2q}^{T}&\cdots &A_{pq}^{T}\end{bmatrix}},}
また、転置を共役転置に置き換えた場合も同じ式が成り立つ。[ 9 ]
反転 行列を4つのブロックに分割した場合、ブロックごとに次のように逆行列を求める ことができます。
P = [ A B C D ] − 1 = [ A − 1 + A − 1 B （ D − C A − 1 B ） − 1 C A − 1 − A − 1 B （ D − C A − 1 B ） − 1 − （ D − C A − 1 B ） − 1 C A − 1 （ D − C A − 1 B ） − 1 ] 、 {\displaystyle {\begin{aligned}P&={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}\\[1ex]&={\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}B\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}B\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}\\-\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1}&\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}\end{bmatrix}},\end{aligned}}}
ここで、AとDは任意のサイズの正方形ブロックであり、BとCは分割のためにそれらに適合する 。 さらに、 P : P / A = D − CA −1 B における A と A の シュール 集合 は 可逆でなければならない。[ 15 ]
同様に、ブロックを並べ替えることで：[ 16 ]
P = [ A B C D ] − 1 = [ （ A − B D − 1 C ） − 1 − （ A − B D − 1 C ） − 1 B D − 1 − D − 1 C （ A − B D − 1 C ） − 1 D − 1 + D − 1 C （ A − B D − 1 C ） − 1 B D − 1 ] 。 {\displaystyle {\begin{aligned}P&={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}\\[1ex]&={\begin{bmatrix}\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&-\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\\-D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&D^{-1}+D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}
ここで、Dと P におけるD の Schur 補集合: P / D = A − BD −1 C は
A とDが 両方とも可逆である場合、次のようになります。
[ A B C D ] − 1 = [ （ A − B D − 1 C ） − 1 0 0 （ D − C A − 1 B ） − 1 ] [ 私 − B D − 1 − C A − 1 私 ] 。 {\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&0\\0&\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&-BD^{-1}\\-CA^{-1}&I\end{bmatrix}}.}
ワインスタイン・アロンシャイン恒等式 により、ブロック対角行列の2つの行列のうち一方が可逆であるのは、もう一方も可逆である場合に限る。ブロック行列の逆行列計算は、高速行列乗算アルゴリズム の効率性から得られる結果をもたらし、これにより逆行列計算を時間で実行できる。O （ n ω ） {\displaystyle O({n^{\omega }})} 2.37 ≤ ω < 3 {\displaystyle ~2.37\leq \omega <3} [ 17 ] 、第11節、413-414頁 。
完全な逆行列から部分行列の逆行列を計算する ブロック反転公式における行列とその逆行列の対称性により、行列P とその逆行列P −1 が等角的に分割されている場合：
P = [ A B C D ] 、 P − 1 = [ E F G H ] {\displaystyle P={\begin{bmatrix}{A}&{B}\\{C}&{D}\end{bmatrix}},\quad P^{-1}={\begin{bmatrix}{E}&{F}\\{G}&{H}\end{bmatrix}}}
すると、任意の主小行列の逆行列は、 P −1 の対応するブロックから計算できます。
A − 1 = E − F H − 1 G {\displaystyle {A}^{-1}={E}-{FH}^{-1}{G}} D − 1 = H − G E − 1 F {\displaystyle {D}^{-1}={H}-{GE}^{-1}{F}}
この関係は、E −1 = A − BD −1 C (シューア補元) であることを認識し、P とP −1 の役割を逆にして同じブロック反転公式を適用することから導かれる。[ 18 ] [ 19 ]
特殊なタイプのブロック行列
直接和とブロック対角行列
直接合計 任意の行列A (サイズm × n ) とB (サイズp × q ) に対して、A とB の直和は A ⊕ B と表記され、[ 10 ]のように定義されます。
A ⊕ B = [ 1 11 ⋯ 1 1 n 0 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 m 1 ⋯ 1 m n 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 b 11 ⋯ b 1 q ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 0 b p 1 ⋯ b p q ] 。 {\displaystyle {A}\oplus {B}={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}.}
例えば、
[ 1 3 2 2 3 1 ] ⊕ [ 1 6 0 1 ] = [ 1 3 2 0 0 2 3 1 0 0 0 0 0 1 6 0 0 0 0 1 ] 。 {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{bmatrix}}\oplus {\begin{bmatrix}1&6\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.}
この操作は、任意の次元の配列にも自然に一般化できます（ただし、A とBの 次元数が同じであることが条件です）。
2つの行列ベクトル空間の 直和 に含まれる任意の要素は、2つの行列の直和として表現できることに注意してください。
ブロック対角行列 ブロック対角行列 とは、主対角ブロックが正方行列であり、非対角ブロックがすべて零行列であるような正方行列であるブロック行列のことである。 [ 16 ] A は次の形式をとる。
A = [ A 1 0 ⋯ 0 0 A 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ A n ] {\displaystyle {A}={\begin{bmatrix}A_{1}&0&\cdots &0\\0&A_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{n}\end{bmatrix}}}
ここで、A k は、すべてのk = 1, ..., n に対して正方行列です。言い換えれば、行列Aは A 1 , ..., A n 直和 です。[ 16 ] また、 A 1 ⊕ A 2 ⊕ ... ⊕ A n [ 10 ] A 1 , A 2 , ..., A n [ 10 ] 対角行列 に使用される形式と同じです)。任意の正方行列は、1 つのブロックのみを持つブロック対角行列として簡単に考えることができます。
行列式 とトレース については、以下の性質が成り立つ。
検出 A = 検出 A 1 × ⋯ × 検出 A n 、 {\displaystyle {\begin{aligned}\det {A}&=\det {A}_{1}\times \cdots \times \det {A}_{n},\end{aligned}}} [ 23 ] [ 24 ] tr A = tr A 1 + ⋯ + tr A n 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} {A}&=\operatorname {tr} {A}_{1}+\cdots +\operatorname {tr} {A}_{n}.\end{aligned}}} [ 16 ] [ 24 ] ブロック対角行列は、その主対角ブロックのそれぞれが可逆である場合に限り 可逆であり、この場合、その逆行列は[ 25 ]で与えられる別のブロック対角行列である。 [ A 1 0 ⋯ 0 0 A 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ A n ] − 1 = [ A 1 − 1 0 ⋯ 0 0 A 2 − 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ A n − 1 ] 。 {\displaystyle {\begin{bmatrix}{A}_{1}&{0}&\cdots &{0}\\{0}&{A}_{2}&\cdots &{0}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{0}&{0}&\cdots &{A}_{n}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}{A}_{1}^{-1}&{0}&\cdots &{0}\\{0}&{A}_{2}^{-1}&\cdots &{0}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{0}&{0}&\cdots &{A}_{n}^{-1}\end{bmatrix}}.}
固有値[ 26 ] と 固有ベクトル A {\displaystyle {A}} A k {\displaystyle {A}_{k}} [ 24 ]
ブロック三重対角行列 ブロック三重対角行列は、ブロック対角行列と同様に 正方行列 である特殊なブロック行列です。下対角、主対角 、上対角に正方行列（ブロック）を持ち、その他のブロックはすべてゼロ行列です。本質的には三重対角行列 ですが、スカラーの代わりに部分行列があります。ブロック三重対角行列A {\displaystyle A}
A = [ B 1 C 1 ⋯ 0 A 2 B 2 C 2 ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ A k B k C k ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ A n − 1 B n − 1 C n − 1 0 ⋯ A n B n ] {\displaystyle {A}={\begin{bmatrix}B_{1}&C_{1}&&&\cdots &&0\\A_{2}&B_{2}&C_{2}&&&&\\&\ddots &\ddots &\ddots &&&\vdots \\&&A_{k}&B_{k}&C_{k}&&\\\vdots &&&\ddots &\ddots &\ddots &\\&&&&A_{n-1}&B_{n-1}&C_{n-1}\\0&&\cdots &&&A_{n}&B_{n}\end{bmatrix}}}
どこA k {\displaystyle {A}_{k}} B k {\displaystyle {B}_{k}} C k {\displaystyle {C}_{k}} [ 27 ] [ 28 ]
ブロック三重対角行列は、工学問題の数値解法（例えば、計算流体力学 ）でよく見られます。LU分解 のための最適化された数値解法が利用可能であり[ 29 ] 三重対角行列 を含む方程式系の効率的な解法に使用されるトーマスアルゴリズムは 、行列演算を使用してブロック三重対角行列にも適用できます（ブロックLU分解 も参照）。
ブロック三角行列 1n × n {\displaystyle n\times n} A {\displaystyle A} 上ブロック三角形 （またはブロック上三角形 [ 30 ] n 1 、 … 、 n k {\displaystyle n_{1},\ldots ,n_{k}} n = n 1 + n 2 + … + n k {\displaystyle n=n_{1}+n_{2}+\ldots +n_{k}} A = [ A 11 A 12 ⋯ A 1 k 0 A 22 ⋯ A 2 k ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ A k k ] 、 {\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1k}\\0&A_{22}&\cdots &A_{2k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{kk}\end{bmatrix}},} A 私 j {\displaystyle A_{ij}} n 私 × n j {\displaystyle n_{i}\times n_{j}} 私 、 j = 1 、 … 、 k {\displaystyle i,j=1,\ldots ,k} 26 ] [ 30 ]同様 に A {\displaystyle A} 下部ブロック が三角形の場合 A = [ A 11 0 ⋯ 0 A 21 A 22 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A k 1 A k 2 ⋯ A k k ] 、 {\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&0&\cdots &0\\A_{21}&A_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{k1}&A_{k2}&\cdots &A_{kk}\end{bmatrix}},} A 私 j {\displaystyle A_{ij}} n 私 × n j {\displaystyle n_{i}\times n_{j}} 私 、 j = 1 、 … 、 k {\displaystyle i,j=1,\ldots ,k} 26 ]
ブロック・トープレッツ行列 ブロック・トープレッツ行列は、もう一つの特殊なブロック行列であり、 トープレッツ行列 と同様に、行列の対角線に沿って繰り返されるブロックを含んでいます。
行列A {\displaystyle A} ブロック トープレッツ の場合A （ 私 、 j ） = A （ k 、 l ） {\displaystyle A_{(i,j)}=A_{(k,l)}} k − 私 = l − j {\displaystyle k-i=l-j}
A = [ A 1 A 2 A 3 ⋯ A 4 A 1 A 2 ⋯ A 5 A 4 A 1 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ] 、 {\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&A_{3}&\cdots \\A_{4}&A_{1}&A_{2}&\cdots \\A_{5}&A_{4}&A_{1}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}},}
どこA 私 ∈ F n 私 × m 私 {\displaystyle A_{i}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times m_{i}}} 26 ]
ブロックハンケル行列 行列A {\displaystyle A} ハンケル A （ 私 、 j ） = A （ k 、 l ） {\displaystyle A_{(i,j)}=A_{(k,l)}} 私 + j = k + l {\displaystyle i+j=k+l}
A = [ A 1 A 2 A 3 ⋯ A 2 A 3 A 4 ⋯ A 3 A 4 A 5 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ] 、 {\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&A_{3}&\cdots \\A_{2}&A_{3}&A_{4}&\cdots \\A_{3}&A_{4}&A_{5}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}},}
どこA 私 ∈ F n 私 × m 私 {\displaystyle A_{i}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times m_{i}}} 26 ]
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}a_{11}&a_{12}&a_{13}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&b_{2}\\\hline c_{1}&c_{2}&c_{3}&d\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baf9177be256a1e10129aaf8ab43c0bb505edcf4)
![{\displaystyle \mathbf {P} =\left[{\begin{array}{cc|cc}1&2&2&7\\1&5&6&2\\\hline 3&3&4&5\\3&3&6&7\end{array}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e1eb6b3f7794b26543da63b488d648509eef9f5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} _{11}&={\begin{bmatrix}1&2\\1&5\end{bmatrix}},&\mathbf {P} _{12}&={\begin{bmatrix}2&7\\6&2\end{bmatrix}},\\[1ex]\mathbf {P} _{21}&={\begin{bmatrix}3&3\\3&3\end{bmatrix}},&\mathbf {P} _{22}&={\begin{bmatrix}4&5\\6&7\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/579c50846543ba0f4aa02d9da49361582f4402d1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}P&={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}\\[1ex]&={\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}B\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}B\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}\\-\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1}&\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}\end{bmatrix}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/150c90ee97b06239a673eb8379ef8c2ea1cc6e85)
![{\displaystyle {\begin{aligned}P&={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}\\[1ex]&={\begin{bmatrix}\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&-\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\\-D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&D^{-1}+D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f86f6841c0645147f164a1e82d02fe56be470b8b)
