カーディナルユーティリティ

効用関数は、財やサービスの好みや好感度の強さが、何らかの客観的な基準を用いて正確に決定される場合に測定可能であるとみなされます。たとえば、リンゴを食べるとオレンジを食べるのとちょうど半分の喜びが得られるとします。これは、直接測定に用いられるテストが、外部の観察者が結果を正確に再現できるような客観的な基準に基づいている場合に限り、測定可能な効用となります。^{[ 25 ]}これを実現する仮説的な方法の1つは、エッジワースが提案した、誤差​​の法則に従って発散する人々の経験する喜びの度合いを記録できる装置である快楽計を使用することです。^{[ 10 ]}

1930年代以前は、経済学者は効用関数の測定可能性を誤って基数と呼んでいた。ヒックス・アレンの定式化に従う経済学者は基数について異なる意味を使用しており、2つの基数効用関数は、正のアフィン変換を除いて選好順序を一意に保持する場合に同じであるとみなされる。^{[ 26 ] [ 27 ]} 1940年代末頃には、一部の経済学者は、フォン・ノイマン・モルゲンシュテルンの期待効用の公理化によって測定可能性が復活したと急いで主張した。^{[ 16 ]}

基数性と測定可能性の混同は、アーメン・アルチアン^{[ 28 ]}、ウィリアム・バウモル^{[ 29 ]}、ジョン・チップマン^{[ 30 ]}の研究まで解決されなかった。バウモルの論文のタイトル「順序である基数的効用」は、当時の文献の意味論的な混乱を的確に表現していた。

自然科学における測定尺度の構築に現れる同じ問題を考察することは有益である。 ^{[ 31 ]}温度の場合、その測定には単位の選択とゼロ点の選択という2 つの自由度がある。異なる温度尺度は、その強度を異なる方法でマッピングする。摂氏スケールでは、ゼロ点は水が凍る点として選択され、同様に、基数効用理論では、ゼロ点の選択は正確に 0 効用をもたらす財またはサービスに対応すると考える誘惑に駆られるだろう。しかし、これは必ずしも真実ではない。ゼロ点が任意に別の点に移動されたり、尺度の選択が変更されたり、尺度とゼロ点の両方が変更されたりしても、数学的指標は基数のままである。すべての測定可能な実体は基数関数にマッピングされるが、すべての基数関数が測定可能な実体のマッピングの結果であるわけではない。この例の要点は、（温度の場合と同様に）効用関数の2つの値の組み合わせについて、たとえ効用が全く異なる数値に変換されたとしても、それが線形変換である限り、何らかの予測が可能であることを証明することである。 

フォン・ノイマンとモルゲンシュテルンは、物理量の測定可能性の問題は動的なものであると述べた。例えば、温度はもともと単調変換を除いて数値に過ぎなかったが、理想気体温度計の発展により、絶対零度と絶対単位が欠落した変換が可能になった。その後の熱力学の発展では絶対零度が固定され、熱力学における変換体系は定数による乗算のみで構成されるようになった。フォン・ノイマンとモルゲンシュテルン（1944年、 23ページ）によれば、「実用性という点では、状況は（温度と）類似しているように思われる」。

アルキアンの次の言葉は、効用関数の真の性質を決定的に明確にするのに役立った。

様々な対象に一連の数値（尺度）を割り当て、割り当てられた数値（尺度）が最も大きい対象が選ばれると予測できるだろうか？もしできるなら、この尺度を「効用」と名付け、選択は効用を最大化するように行われると主張できるだろう。「あなたは効用を最大化している」という主張に至るのは容易であり、これは割り当てられた数値の大きさに応じて選択が予測可能であることを示しているに過ぎない。分析上の便宜のために、個人は何らかの制約の下で何かを最大化しようとすると仮定するのが一般的である。彼が最大化しようとするもの、あるいは「もの」の数値尺度は「効用」と呼ばれる。効用が何らかの輝きや温かさ、あるいは幸福であるかどうかはここでは関係ない。重要なのは、人が実現しようと努力できる対象や条件に数値を割り当てることができるということだけだ。そして、個人はそれらの数値の何らかの関数を最大化しようとしていると言う。残念ながら、「効用」という用語は今や非常に多くの意味合いを持つようになってしまったため、現状では効用はこれ以上の意味を持たないということを理解するのは難しい。  

1955年、パトリック・サップスとミュリエル・ウィネは、基数効用関数による選好の表現可能性の問題を解決し、この効用指標が機能するために必要な公理と基本特性のセットを導き出した。^{[ 32 ]}

あるエージェントが、AとBのどちらを優先するか、またBとCのどちらを優先するかを尋ねられたとします。例えば、AとBのどちらを優先するかという度合いが、 BとCのどちらを優先するかという度合いを上回ると答えられる場合、この情報は、 U _A > U _B > U _CおよびU _A − U _B > U _B − U _Cという2つの不等式を満たす任意の3つの数値で要約できます。

AとBが金額である場合、エージェントは、修正後の金額B ′に対するAの選好度がCに対するB′の選好度と等しくなるまで、Bで表される金額を変化させることができます。そのようなB ′が見つかった場合、この最後の操作の結果は、U _A > U B _′ > U CおよびU _A − U _{B ′} = U _{B ′} − U _Cの関係を満たす任意の3つの数値で表されます_。これらの関係を満たす任意の2つの3つの数値は、線形変換によって関連付けられる必要があります。これらは、尺度と起源のみが異なる効用指数を表します。この場合、「基数性」とは、これらの特定の質問に対して一貫した答えを与えることができるという意味に過ぎません。この実験では、効用の測定可能性は必要ありません。_{イツァーク}・ギルボアは、測定可能性が内省だけでは決して達成できない理由について、的確な説明をしています。

書類や服の山を抱えていて、いくつか落としたことに気づかなかった経験があるかもしれません。持ち運んでいた総重量の減少は、おそらく気づかないほど小さいものだったのでしょう。2つの物体の重量が近すぎると、その違いに気づかないことがあります。この問題は、私たちの五感すべてにおける知覚に共通しています。例えば、2本の棒の長さが同じかどうかを尋ねられたとしても、その長さの違いは小さすぎて気づかないでしょう。音（音量、音程）、光、温度など、他の感覚についても同様です。

この見解によれば、 AとBの違いがどうしても分からない状況は、好みの一貫性によるものではなく、感覚の誤認識によるものであり、無関心につながる。さらに、人間の感覚は一定の刺激レベルに順応し、その基準値からの変化を認識する。^{[ 34 ]}

功利主義学派の福祉経済学者の間では、満足（場合によっては快楽）を福祉の単位とするのが一般的な傾向であった。福祉経済学の機能が、社会哲学者や政治家が福祉判断を下す際に役立つデータを提供することであるならば、この傾向はおそらく快楽主義的な倫理につながるだろう。^{[ 35 ]}

この枠組みでは、行為（財の生産やサービスの提供を含む）は、人々の主観的な富への貢献度によって評価されます。言い換えれば、「最大多数の最大幸福」を判断する方法を提供します。ある人の効用を75ユーティル減少させ、他の2人の効用をそれぞれ50ユーティル増加させる行為は、全体の効用を25ユーティル増加させ、したがってプラスの貢献となります。一方、最初の人が125ユーティルの損失を被り、他の2人にそれぞれ50ユーティルずつ与える行為は、25ユーティルの純損失をもたらします。

効用関数のクラスが基数である場合、効用差の個人内比較は許可されます。さらに、効用の比較が個人間で意味を持つ場合、効用関数のクラスを生成するために使用される線形変換は、人々の間で制限されなければなりません。例として、基数単位の比較可能性があります。この情報環境では、許容される変換は増加アフィン関数であり、さらに、スケーリング係数はすべての人に対して同じでなければなりません。この情報仮定により、効用差の個人間比較は可能になりますが、アフィン変換の切片が人によって異なる可能性があるため、効用レベルを個人間で比較することはできません。^{[ 36 ]}

• 基数効用理論によれば、ある財の限界効用の符号は、特定の選好構造を表すすべての数値表現において同じである。
• 限界効用の大きさは、同じ特定の選好構造を表すすべての基数効用指標で同じとは限らない。
• 基数効用関数の微分可能な効用関数の2階微分の符号は、特定の選好構造のあらゆる数値表現において同じである。通常、この符号は負であるため、基数効用理論には限界効用逓減の法則が成立する余地がある。
• 微分可能な効用関数の2階微分値は、同じ特定の選好構造を表すすべての基数効用指標に対して同じではない。

この種の指標は、リスク下での選択を伴います。この場合、A、B、Cは結果に関連付けられた宝くじです。確実性の下での基数効用理論では、選好から定量化された効用への移行の可能性はほぼ自明でしたが、ここでは数学的期待値の操作を実行できるように、選好を実数の集合にマッピングできることが極めて重要です。マッピングが完了すると、追加の仮定を導入することで、公平な賭けに関する人々の一貫した行動が得られます。しかし、公平な賭けは、定義上、期待値がゼロのギャンブルを他のギャンブルと比較した結果です。効用を定量化しないとリスクに対する態度をモデル化することは不可能ですが、この理論は確実性の下での選好の強さを測定するものとして解釈されるべきではありません。^{[ 37 ]}

ある特定の結果が3つの自然状態に関連付けられており、x _3がx ₂よりも好まれ、x 2がx ₁よりも好まれると仮定します。この結果の集合Xは、通貨単位に応じて1つの正の比例係数を除いて一意である、制御された偶然ゲームにおける計算可能な賞金であると想定できます。

L ₁とL _{2 を}、それぞれx ₁、x ₂、x ₃の確率がp ₁、p ₂、p ₃である 2 つのくじとする。

${\displaystyle L_{1}=(0.6,0,0.4),}$

${\displaystyle L_{2}=(0,1,0)\ .}$

ある人物がリスクに対して以下のような選好構造を持っていると仮定します。

${\displaystyle L_{1}\succ L_{2},}$

これは、L _{1 が}L ₂よりも好ましいことを意味します。L ₁のp ₁とp ₃の値を変更することで、最終的には、 L 1 とL ₂のどちらでも構わないと判断できる適切な値 ( L _1' ) がいくつか見つかるでしょう。例えば、

${\displaystyle L_{1}'=(0.5,0,0.5).}$

期待効用理論によれば、

${\displaystyle EU(L_{1}')=EU(L_{2})}$

など

${\displaystyle (0.5)\times u(x_{1})+(0.5)\times u(x_{3})=1\times u(x_{2}).}$

^{Majumdar [ 38 ]}のこの例では、効用指数のゼロ値を固定してx ₁の効用を0 とし、尺度を選択してx ₂の効用を1 に等しくすると、

${\displaystyle (0.5)\times u(x_{3})=1.}$

${\displaystyle u(x_{3})=2.}$

複数の期間を持つ効用モデルでは、人々が効用の将来価値を割り引くため、効用関数が適切に機能するためには基数を用いる必要がある。ポール・サミュエルソンによれば、将来の効用の割引合計を最大化するということは、人が効用の違いを順位付けできることを意味する。^{[ 39 ]}