整数の環

数学において、代数的数体の整数環は、に含まれるすべての代数的整数の環です。^[1]代数的整数は、整数係数を持つ単数多項式の根です。^[2]この環は、多くの場合、またはと表記されます。任意の整数はに属し、の整元であるため、環は常にの部分環です。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{0}}$${\displaystyle O_{K}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle O_{K}}$

整数環は、整数の最も単純な環です。^[a]つまり、は有理数体です。^[3] そして実際、代数的整数論では、の元は、このため「有理整数」と呼ばれることがよくあります。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} =O_{\mathbb {Q} }}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

次に単純な例は、実部と虚部が整数である複素数で構成されるガウス整数 環です。これは、実部と虚部が有理数である複素数で構成されるガウス有理数の数体における整数環です。有理整数と同様に、はユークリッド領域です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$

代数体の整数環は、その体における唯一の最大順序である。それは常にデデキント域である。^[4]

整数環O _{K は}有限生成 Z加群である。実際、これは自由 Z加群であり、したがって整数基底、つまりQベクトル空間Kの基底 b ₁ , ..., b _n ∈ O _Kを持ち、 O _Kの各要素 x は次のように一意に表現できる。  

${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i},}$

ここで、 a _i ∈ Zである。^[5]自由Z加群としてのO _Kの 階数nは、 Q上のKの 次数に等しい。

代数体K / Qの整数環の整閉包を計算するのに便利なツールは判別式です。K が Q 上の n 次で、Q 上の K の基底を形成する場合、と設定します。すると、はによって張られるZ加群のサブ加群になります。^{[6] pg. 33}実際、dが平方でない場合、 はの整基底を形成します。^{[6] pg. 35}${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle d=\Delta _{K/\mathbb {Q} }(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle \alpha _{1}/d,\ldots ,\alpha _{n}/d}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

pが素数、ζ がp乗根、K = Q ( ζ  )が対応する円分体である場合、 O _K = Z [ ζ ]の積分基底は(1,  ζ ,  ζ ² , ...,  ζ ^{p −2} )で与えられる。^[7]

が平方整数で、が対応する二次体である場合、 は二次整数の環であり、その積分基底は、d ≡ 1 ( mod 4)の場合には(1, (1 + √ d ) /2)で与えられ、 d ≡ 2, 3 (mod 4)の場合には(1,  √ d )で与えられます。^[8]これは、である任意の元の最小多項式を計算することで見つけることができます。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}\,)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle a+b{\sqrt {d}}\in \mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$${\displaystyle a,b\in \mathbf {Q} }$

整数環では、すべての元は既約元への因数分解を持つが、環は一意に因数分解できるという性質を持つ必要はない。例えば、整数環Z [ √ −5 ]では、元6は本質的に異なる2つの既約元への因数分解を持つ: ^{[4] [9]}

${\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}}).}$

整数環は常にデデキント域であるため、イデアルを素イデアルに因数分解することも一意に可能である。^[10]

整数環O _Kの単位元は、ディリクレの単位元定理により有限生成アーベル群となる。捩れ部分群はKの単位根から構成される。捩れのない生成元の集合は基本単位集合と呼ばれる。^[11]

非アルキメデス的局所体 Fの整数環は、絶対値が1 未満であるFのすべての元の集合として定義されます。これは、強い三角不等式により環になります。^[12] F が代数体の完備化である 場合、その整数環は後者の整数環の完備化です。代数体の整数環は、すべての非アルキメデス的完備化において整数である元として特徴付けられます。^[3]

たとえば、p進整数 Z _{p は}、 p進数 Q _p の整数の環です。

• 最小多項式（場の理論）
• 積分閉包– 積分閉包を計算するための手法を提供する