ヒルベルトの第12の問題

ヒルベルトの第 12 の問題は、有理数のアーベル拡大に関するクロネッカー・ウェーバーの定理を任意の基数体に拡張することです。これは 23 のヒルベルトの問題の 1 つであり、円分体とその部分体と同様に、さらなる数体の族全体を生成する単位根の類似体を求めています。レオポルド・クロネッカーは、複素乗算の問題を彼のliebster Jugendtraum (若い頃の最も大切な夢) と表現したため、この問題はクロネッカーの Jugendtraumとしても知られています。

複素乗法の古典理論は、現在ではクロネッカーのユーゲントの夢としてよく知られていますが、任意の虚二次体の場合に、問題の体に関連した特定の周期格子で選ばれたモジュラー関数と楕円関数を使用することでこれを行います。志村五郎はこれをCM 体に拡張しました。全実体の特殊なケースでは、サミット・ダスグプタとマヘシュ・カクデが、ブルーマー・シュタルク予想を使用して全実体の最大アーベル拡大の構成を提供しました。

ヒルベルトの第 12 の問題の一般的なケースはまだ未解決です。

代数的数論の基本的な問題は、代数的数の体を表すことです。ガロアの研究により、体の拡大は特定の群、つまりガロア群によって制御されることが明確になりました。最も単純な状況は、すでによく理解されている範囲の境界にありますが、問題の群がアーベルである場合です。2次多項式の根を接合することによって得られるすべての2次拡大はアーベルであり、その研究はガウスによって開始されました。有理数体Qの別のタイプのアーベル拡大は、 n次の1の根を接合することによって与えられ、円分体になります。ガウスは既に、実際にはすべての2次体がより大きな円分体に含まれていることを示していました。クロネッカー-ウェーバーの定理は、Qの任意の有限アーベル拡大が円分体に含まれていることを示しています。クロネッカー（およびヒルベルト）の問いは、より一般的な代数的数体Kの状況に関係しています。つまり、 Kのすべてのアーベル拡大を構成するために必要な代数的数は何でしょうか？ この問いに対する完全な答えは、 K が虚数二次体またはその一般化であるCM 体である場合にのみ完全に解明されています。

ヒルベルトの第 12 の問題に関する当初の記述は、かなり誤解を招くものです。彼は、虚数二次体のアーベル拡大が楕円モジュラー関数の特殊な値によって生成されることを暗示しているようですが、これは正しくありません。(ヒルベルトが何を言っていたかを正確に判断することは困難ですが、1 つの問題は、彼が「楕円関数」という用語を、楕円関数 ℘ と楕円モジュラー関数jの両方の意味で使用していた可能性があることです。) まず、単位根も使用する必要がありますが、ヒルベルトは暗黙のうちにこれらを含めることを意図していた可能性があります。さらに深刻なことに、楕円モジュラー関数の値はヒルベルト類体を生成しますが、より一般的なアーベル拡大には、楕円関数の値も使用する必要があります。たとえば、アーベル拡大は、特異モジュライと単位根では生成されません。 ${\displaystyle \mathbf {Q} (i,{\sqrt[{4}]{1+2i}})/\mathbf {Q} (i)}$

クロネッカー・ウェーバーの定理を述べる特に魅力的な方法の 1 つは、指数関数の特殊値 exp(2 π i / n )を付加することによってQの最大アーベル拡大が得られる、というものです。同様に、複素乗法の理論は、虚数二次無理数をτとするQ ( τ )の最大アーベル拡大は、モジュラー関数jと楕円関数 ℘ の特殊値 ℘( τ , z ) とj ( τ ) 、およびτが虚数二次体にあり、z が対応する楕円曲線上のねじれ点を表す1 の根を付加することによって得られることを示しています。ヒルベルトの第 12 の問題の 1 つの解釈は、指数関数、楕円関数、またはモジュラー関数の適切な類似物を提供することを求めており、その特殊値は一般数体Kの最大アーベル拡大K ^abを生成します。この形式では、問題は未解決のままです。体K ^abの記述は、 20 世紀前半にヒルベルト 自身、エミール・アルティン、その他によって発展した類体理論で得られました。 ^{[注 1]しかし、類体理論における}K ^abの構成には、最初にクンマー理論を使用してより大きな非アーベル拡大を構成し、次にアーベル拡大に削減することが含まれるため、アーベル拡大のより直接的な構成を求めるヒルベルトの問題を実際には解決していません。

1960 年頃からの発展は確かに貢献している。それ以前には、ヘッケ (1912) が学位論文でヒルベルト モジュラー形式を使用して実二次体のアーベル拡大を研究した。アーベル多様体の複素乗算は、志村と谷山の研究によって開拓された分野である。これにより、 CM 体のアーベル拡大が一般に生じる。どのような拡大が見つかるかという問題は、ガロア表現などのそのような多様体のテイト モジュールの問題である。これはℓ 進コホモロジーの最もアクセスしやすいケースであるため、これらの表現は詳細に研究されてきた。

ロバート・ラングランズは1973 年に、ユーゲントの夢の現代版は志村多様体のハッセ・ヴェイユゼータ関数を扱うべきだと主張した。彼はこの主題をはるかに先へ進める壮大な計画を構想していたが、30 年以上経った今でも、ヒルベルトが提起した問題に対するその重要性については深刻な疑問が残っている。

これとは別に発展したのが、スタークの予想（アーベル階数1の場合）であり、これは対照的に、数体のアーベル拡大を生成し、アルティンL関数の主係数を記述する特定の単位を見つけるという問題に直接対処した。2021年に、ダスグプタとカクデは、ブルマー・スターク単位の積分グロス・スターク予想を証明することにより、全実体の最大アーベル拡大を見つけるためのp進解を発表した。 ^{[1] [2]}

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• シャッパッハー、ノルバート (1998)。 「ヒルベルトの第 12 の問題の歴史について: 間違いの喜劇」。第 20 世紀の数学史資料 (ニース、1996 年)。セミン。会議Vol. 3. パリ:フランス数学協会。 243–273ページ。ISBN 978-2-85629-065-1MR 1640262。Zbl 1044.01530  。 ​
• Vlǎduţ, SG (1991)。クロネッカーの青春の夢とモジュラー関数。現代数学の発展に関する研究。第2巻。ニューヨーク：ゴードン・アンド・ブリーチ・サイエンス・パブリッシャーズ。ISBN 2-88124-754-7.ZBL0731.11001  。​