ハミルトンの原理

ハミルトンの原理は、ニュートンの運動法則を効果的に置き換える公準と見なすことができるが、^{[ 2 ]}ニュートンの法則から導き出すこともできる。^{[ 3 ] : 44}ダランベールの原理から始めると、

$${\displaystyle \sum _{i}(\mathbf {F} _{i}-m_{i}\mathbf {a} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0.}$$

どこ${\displaystyle i}$質量の指数であり、$\displaystyle \mathbf {F} _{i}}$は加えられた力（拘束力を除く）であり、${\displaystyle {\textbf {a}}_{i}}$質量の加速度であり、${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}}$仮想変位は${\displaystyle i}$制約条件と一致する第 1 質量。上記の式はすべての時間に対して成り立つ。${\displaystyle t}$したがって、に関する定積分${\displaystyle t}$0であることも必要です。

$${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{i}(\mathbf {F} _{i}-m_{i}{\ddot {\mathbf {r} }}_{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}dt=0.}$$

${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}}$和と積分はすべて分配法則を適用できます。

$${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}dt-\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{i}m_{i}{\ddot {\mathbf {r} }}_{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}dt=0}$$

第２項に着目すると、積の法則を用いて次の関係式を導き出すことができる。

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(m_{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i})=m_{i}{\ddot {\mathbf {r} }}_{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+m_{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}\cdot {\frac {d}{dt}}(\delta \mathbf {r} _{i})}$$

変化${\displaystyle \delta }$そして時間微分${\displaystyle {\frac {d}{dt}}}$通勤（つまり${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\delta \mathbf {r} =\delta {\dot {\mathbf {r} }}}$）、したがって、これを整理して加速度項を分離することができます。

$${\displaystyle m_{i}{\ddot {\mathbf {r} }}_{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}={\frac {d}{dt}}(m_{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i})-m_{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}\cdot \delta {\dot {\mathbf {r} }}_{i}}$$

これを積分式に代入すると、次の式が得られます。

$${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{i}m_{i}{\ddot {\mathbf {r} }}_{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}\,dt=\sum _{i}\left[m_{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}-\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{i}m_{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}\cdot \delta {\dot {\mathbf {r} }}_{i}\,dt}$$

ハミルトンの原理では、変分が両端でゼロになるように定義します。${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}(t_{1})=\delta \mathbf {r} _{i}(t_{2})=0}$これにより、右辺の最初の項が完全に消えます。また${\displaystyle \delta ({\dot {\mathbf {r} }}^{2})=2{\dot {\mathbf {r} }}\cdot \delta {\dot {\mathbf {r} }}}$残りの項は次のとおりです。

$${\displaystyle -\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta \left(\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}^{2}\right)dt=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta T\,dt}$$

どこ${\displaystyle T}$は全運動エネルギーです。加えられた力の項を見ると、力が保存力であれば、位置エネルギーから導き出すことができます。${\displaystyle V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\dots )}$仮想変位中にこれらの力が行う仕事は次のとおりです。

$${\displaystyle \sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=-\sum _{i}\nabla _{i}V\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=-\delta V}$$

すべてを積分式に代入すると次のようになる。

$${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}(-\delta V-(-\delta T))\,dt=0}$$$${\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}(T-V)\,dt=0}$$

ここでラグランジアン${\displaystyle L=T-V}$これは、電磁場が存在しない非相対論的な質量系に対するハミルトンの原理である。^{[ 4 ]}

真の軌跡q ( t )が作用汎関数の停留点であることを要求します。${\displaystyle {\mathcal {S}}}$これは、 q ( t )に関する一連の微分方程式（オイラー・ラグランジュ方程式）に相当し、以下のように導出できます。

q ( t )は、指定された 2 つの時刻t ₁とt _{2における、指定された 2 つの状態}q ₁ = q ( t ₁ )とq ₂ = q ( t ₂ )の間のシステムの真の進化を表し、ε ( t )は軌道の端点でゼロとなる小さな摂動とする。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{1})={\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 0}$$

摂動ε ( t )の一次近似では、作用汎関数の変化は${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}}$だろう $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta {\mathcal {S}}&=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left[L(\mathbf {q} +{\boldsymbol {\varepsilon }},{\dot {\mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}})-L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})\right]dt\\&=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt\end{aligned}}}$$ ここで、我々はラグランジアンL を摂動ε ( t )の一次まで展開した。

最後の項に 部分積分を適用すると、$${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\left[{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt}$$

境界条件${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{1})={\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 0}$最初の項を消滅させる $${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt}$$

ハミルトンの原理によれば、この一次変化は${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}}$はすべての可能な摂動ε ( t )に対してゼロであり、すなわち真の経路は作用汎関数の停留点である。${\displaystyle {\mathcal {S}}}$（最小値、最大値、または鞍点のいずれか）。この要件は、以下の条件を満たす場合に限り満たされます。

これらの式は、変分問題に対するオイラー・ラグランジュ方程式と呼ばれる。

簡単な例を挙げると、オイラー・ラグランジュ方程式を介した作用原理の適用を理解するのに役立ちます。ユークリッド空間内の自由粒子（質量m、速度v）は直線運動をします。オイラー・ラグランジュ方程式を用いると、これは極座標で次のように表すことができます。ポテンシャルがない場合、ラグランジアンは単純に運動エネルギーに等しくなります。 $${\displaystyle L={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)}$$ 直交座標 ( x , y ) において、ドットは曲線パラメータ (通常は時間t )に関する微分を表します。したがって、オイラー・ラグランジュ方程式を適用すると、 $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial x}}=0\qquad \Rightarrow \qquad m{\ddot {x}}=0}$$

yについても同様である。したがって、オイラー・ラグランジュの定式化を用いてニュートンの法則を導出することができる。

極座標( r , φ )では、運動エネルギー、したがってラグランジアンは次のようになる。 $${\displaystyle L={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}\right).}$$

オイラー・ラグランジュ方程式の 動径成分rとφはそれぞれ次のようになる。$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial r}}=0\qquad \Rightarrow \qquad {\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}=0}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial \varphi }}=0\qquad \Rightarrow \qquad {\ddot {\varphi }}+{\frac {2}{r}}{\dot {r}}{\dot {\varphi }}=0.}$$

rも時間に依存することを覚えておくと、全時間微分を計算するには積の法則が必要になります。${\textstyle {\frac {d}{dt}}mr^{2}{\dot {\varphi }}}$。

これら2つの方程式の解は次のように与えられる。 $${\displaystyle r={\sqrt {(at+b)^{2}+c^{2}}}}$$$${\displaystyle \varphi =\tan ^{-1}\left({\frac {at+b}{c}}\right)+d}$$初期条件によって決定される定数a、b、c、d のセットに対して、解は極座標で表された直線になります。ここで、 aは速度、cは原点への最短距離、dは運動の角度です。

作用原理を拡張することで、電磁場や重力などの場の運動方程式を導出することができる。

アインシュタイン方程式は、変分原理によって制約されたアインシュタイン・ヒルベルト作用を利用する。

重力場における物体の軌跡（すなわち、時空における自由落下、いわゆる測地線）は、作用の原理を用いて求めることができる。

量子力学では、系は作用が定常的な単一の経路をたどるのではなく、系の挙動は考えられるすべての経路とその作用の値に依存します。様々な経路に対応する作用を用いて経路積分を計算し、それによって様々な結果の確率振幅が得られます。

作用原理は古典力学においてはニュートンの法則と同等であるが、より一般化に適しており、現代物理学において重要な役割を果たしている。実際、この原理は物理科学における偉大な一般化の一つである。特に、量子力学においてその重要性が十分に認識され、最もよく理解されている。リチャード・ファインマンによる量子力学の経路積分定式化は、経路積分を用いた定常作用原理に基づいている。マクスウェル方程式は、定常作用の条件として導出することができる。