グランスキー行列

複素解析と幾何関数論において、グルンスキー行列またはグルンスキー作用素は、1939 年にヘルムート グルンスキーによって導入された無限行列です。行列は、単位円上の単一の正則関数、または単位円上の 1 組の正則関数とその補関数のいずれかに対応します。グルンスキー不等式は、一般には縮約演算子、重要な特殊な場合にはユニタリ演算子であるこれらの行列の有界性特性を表します。グルンスキーが示したように、これらの不等式は、正則関数がユニバレントである場合に限り成立します。この不等式は、1947 年に発見されたゴルジンの不等式と同等です。大まかに言えば、グルンスキー不等式は、ユニバレント関数の対数の係数に関する情報を提供します。ミリンによるその後の一般化は、レベデフ・ミリン不等式から始まり、不等式を累乗して一価関数自体の係数の不等式を得ることに成功した。グルンスキー行列とそれに関連する不等式は、もともと、有限個の十分に滑らかなジョルダン曲線で囲まれた領域とその補曲線との間の一価関数のより一般的な設定で定式化された。グルンスキー、ゴルジン、ミリンの結果は、その場合に一般化される。

歴史的には、円板の不等式は、 6 番目の係数までのBieberbach 予想の特殊なケースを証明するために使用されました。Milin の指数不等式は、de Brangesによって最終的な解決に使用されました。これらの方法を使用した詳細な説明は、Hayman (1994) にあります。Grunsky 演算子とそのFredholm 行列式は、複素平面の有界領域のスペクトル特性にも関連しています。演算子は、さらに、共形マッピング、Teichmüller 理論、共形場理論にも応用されています。

f ( z ) が単位円上の正則一価関数で、f (0) = 0、f′ (0) = 1となるように正規化されている場合、関数

${\displaystyle g(z)=f(z^{-1})^{-1}}$

は、| z | > 1上のゼロでない一価関数であり、∞に留数 1 の単純な極を持つ:

${\displaystyle g(z)=z+b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots }$

同じ反転式をgに適用するとfが返され、これら 2 つの関数クラスの間に 1 対 1 の対応が確立されます。

gのGrunsky行列( c nm ₎は次式で定義される。

${\displaystyle \log {\frac {g(z)-g(\zeta )}{z-\zeta }}=-\sum _{m,n>0}c_{nm}z^{-m}\zeta ^{-n}}$

これは対称行列です。その要素はgのGrunsky 係数と呼ばれます。

ご了承ください

${\displaystyle \log {g(z^{-1})-g(\zeta ^{-1}) \over z^{-1}-\zeta ^{-1}}=\log {f(z)-f(\zeta ) \over z-\zeta }-\log {f(z) \over z}-\log {f(\zeta ) \over \zeta },}$

係数はfで直接表現できる。実際、

${\displaystyle \log {f(z)-f(\zeta ) \over z-\zeta }=-\sum _{m,n\geq 0}d_{mn}z^{n}\zeta ^{n},}$

すると、m、n > 0 となる。

${\displaystyle d_{mn}=c_{mn}}$

そしてd _{0 n} = d _{n 0}は次のように与えられる。

${\displaystyle \log {\frac {f(z)}{z}}=\sum _{n>0}d_{0n}z^{n}}$

と

${\displaystyle d_{00}=0.}$

fがグルンスキー行列( c _nm )を持つ単位円板上の正則関数である場合、グルンスキー不等式は次のように表される。

${\displaystyle \left|\sum _{1\leq m,n\leq N}c_{mn}\lambda _{m}\lambda _{n}\right|\leq \sum _{1\leq n\leq N}{\frac {|\lambda _{n}|^{2}}{n}}}$

任意の有限複素数列 λ ₁ , ..., λ _Nに対して。

| z | > 1 における正規化された一価関数の Grunsky 係数

${\displaystyle g(z)=z+b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots }$

は係数b _iの多項式であり、 gに依存する次数nの単項多項式であるFaber 多項式Φ _nに基づいて再帰的に計算できます。

グルンスキー係数の定義関係のz方向の導関数をとり、 zを掛けると次のようになる。

${\displaystyle {\frac {zg'(z)}{g(z)-g(\zeta )}}-{\frac {z}{z-\zeta }}=\sum _{m,n>0}mc_{mn}z^{-m}\zeta ^{-n}.}$

ファーバー多項式は、次の関係式で定義される。

${\displaystyle {\frac {zg'(z)}{g(z)-w}}=\sum _{n\geq 0}\Phi _{n}(w)z^{-n}.}$

この関係をzで割り、zと∞の間で積分すると、

${\displaystyle \log {\frac {g(z)-w}{z}}=-\sum _{n\geq 1}{1 \over n}\Phi _{n}(w)z^{-n}.}$

これはn > 0 の再帰関係を与える。

${\displaystyle \Phi _{n}(w)=(w-b_{0})\Phi _{n-1}(w)-nb_{n}-\sum _{0\leq i\leq n-1}b_{n-i}\Phi _{i}(w)}$

と

${\displaystyle \Phi _{0}(w)\equiv 1.}$

したがって

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}\Phi _{n}(g(z))\zeta ^{-n}=1+\sum _{n\geq 1}\left(z^{n}+\sum _{m\geq 1}c_{nm}z^{-m}\right)\zeta ^{-n},}$

したがって、n ≥ 1の 場合

${\displaystyle \Phi _{n}(g(z))=z^{n}+\sum _{m\geq 1}c_{nm}z^{-m}.}$

後者の特性により、 gの Faber 多項式が一意に決定されます。

g ( z ) を | z | > 1 上の一価関数とし 、

${\displaystyle g(z)=z+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots }$

そして、f ( z )をC上の非定数正則関数とする。

もし

${\displaystyle f(g(z))=\sum _{-\infty }^{\infty }c_{n}z^{n}}$

はz > 1のローラン展開であり、

${\displaystyle \sum _{n>0}n|c_{n}|^{2}\leq \sum _{n>0}n|c_{-n}|^{2}.}$

Ωが滑らかな境界∂Ωを持つ有界開領域であり、hが閉包上の連続関数に拡張されたΩ上の微分可能関数である場合、微分1形式に適用されるストークスの定理により、 ${\displaystyle \omega =h(z)dz,}$

${\displaystyle \int _{\partial \Omega }h(z)\,dz=\int _{\partial \Omega }\omega =\iint _{\Omega }d\omega =\iint _{\Omega }(i\partial _{x}-\partial _{y})h\,dx\,dy=2i\iint _{\Omega }\partial _{\overline {z}}h\,dx\,dy.}$

r > 1の場合、Ω _{r を}g ( z ) （有界領域）における| z |> rの像の補集合とします。すると、上記のh = f′との等式により、 f (Ω _r )の面積は次のように与えられます。

${\displaystyle A(r)=\iint _{\Omega _{r}}|f'(z)|^{2}\,dx\,dy={1 \over 2i}\int _{\partial \Omega _{r}}{\overline {f(z)}}f'(z)\,dz={1 \over 2i}\int _{|w|=r}{\overline {f(g(w)))}}f'(g(w))g'(w)\,dw.}$

したがって

${\displaystyle A(r)=\pi \sum _{n}n|c_{-n}|^{2}r^{2n}.}$

面積は非負なので

${\displaystyle \sum _{n>0}n|c_{n}|^{2}r^{-2n}\leq \sum _{n>0}n|c_{-n}|^{2}r^{2n}.}$

r を1 に減らす と、結果が続きます。

もし

${\displaystyle p(w)=\sum _{n=1}^{N}n^{-1}\lambda _{n}\Phi _{n}(w),}$

それから

${\displaystyle p(g(z))=\left(\sum _{n=1}^{N}n^{-1}\lambda _{n}z^{n}\right)+\left(\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}c_{nm}z^{-m}\right).}$

ミリンの面積定理を適用すると、

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }m\left|\sum _{n=1}^{N}c_{mn}\lambda _{n}\right|^{2}\leq \sum _{n=1}^{N}{1 \over n}|\lambda _{n}|^{2}.}$

(等式は、 gの像の補数がルベーグ測度0 を持つ場合にのみここで成立します。)

だからなおさら

${\displaystyle \sum _{m=1}^{N}m\left|\sum _{n=1}^{N}c_{mn}\lambda _{n}\right|^{2}\leq \sum _{n=1}^{N}{1 \over n}|\lambda _{n}|^{2}.}$

したがって対称行列

${\displaystyle a_{mn}={\sqrt {mn}}c_{mn},}$

をC ^N上の作用素とみなし、その標準内積は次式を満たす。

${\displaystyle \|Ax\|\leq \|x\|.}$

コーシー・シュワルツの不等式により

${\displaystyle |(Ax,y)|\leq \|x\|\cdot \|y\|.}$

と

${\displaystyle x_{n}={\frac {\lambda _{n}}{\sqrt {n}}}={\overline {y_{n}}},}$

これにより、Grunsky の不等式が得られます。

${\displaystyle \left|\sum _{m=1}^{N}\sum _{n=1}^{N}c_{mn}\lambda _{m}\lambda _{n}\right|^{2}\leq \sum _{n=1}^{N}{1 \over n}|\lambda _{n}|^{2},}$

g ( z ) をz > 1 上の正則関数とし、

${\displaystyle g(z)=z+b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots }$

このとき、gが単価となるのは、 gの Grunsky 係数がすべてのNに対して Grunsky 不等式を満たす場合のみです。

実際には、条件はすでに必要であることが示されています。十分性を確認するには、次の点に注意してください。

${\displaystyle \log {g(z)-g(\zeta ) \over z-\zeta }=-\sum _{m,n\geq 1}c_{mn}z^{-m}\zeta ^{-n}}$

| z | と |ζ| が大きい場合、つまり係数c _mnが定義されている場合は意味があります。Grunsky 不等式が満たされている場合は、| c _mn | が一様に制限されていることが簡単にわかり、したがって左辺の展開は | z | > 1 および |ζ| > 1 で収束します。両辺を累乗すると、gが一価であることがわかります。

とを| z | < 1 かつ |ζ| > 1上の単項正則関数とし、それらの像はCで互いに交わらないものとする。これらの関数が次のように正規化されているとする。 ${\displaystyle F(z)}$${\displaystyle g(\zeta )}$

${\displaystyle g(\zeta )=\zeta +a_{0}+b_{1}\zeta ^{-1}+b_{2}\zeta ^{-2}+\cdots }$

そして

${\displaystyle F(z)=af(z)}$

a ≠ 0 かつ

${\displaystyle f(z)=z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+\cdots .}$

この関数のペアのGrunsky行列（c mn _）は、すべての非ゼロのmとnに対して次の式で定義されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\log {g(\zeta )-g(\eta ) \over \zeta -\eta }&=-\sum _{m,n\geq 1}c_{mn}\zeta ^{-m}\eta ^{-n}\\\log {g(\zeta )-f(z) \over \zeta }-\log {g(\zeta ) \over \zeta }&=-\sum _{m,n\geq 1}c_{-m,n}z^{m}\zeta ^{-n}\\\log {f(z)-f(w) \over z-w}-\log {f(z) \over z}-\log {f(w) \over w}&=-\sum _{m,n\geq 1}c_{-m,-n}z^{m}w^{n}\end{aligned}}}$

と

${\displaystyle c_{m,-n}=c_{-n,m},\qquad m,n\geq 1,}$

したがって、( c _mn )は対称行列になります。

1972年にアメリカの数学者ジェームズ・ハメルは、この行列にグルンスキー不等式を拡張し、任意の複素数列λ _±1、...、λ _{± Nに対して}

${\displaystyle \left|\sum _{n,m\neq 0}c_{mn}\lambda _{m}\lambda _{n}\right|\leq \sum _{n\neq 0}{\frac {1}{|n|}}|\lambda _{n}|^{2}.}$

証明は、適切なローラン多項式h ( w )のもとで、 Fのもとで| z |< r <1 、 gのもとで|ζ|> R >1の像の補像の像面積を計算することによって進められます。

とをgとg のファーバー多項式と表し、${\displaystyle \phi _{n}}$${\displaystyle \phi _{-n}}$${\displaystyle f(z^{-1})^{-1}}$

${\displaystyle h(w)=\sum _{n\geq 1}{\frac {\lambda _{n}}{n}}\Phi _{n}(w)+\sum _{n\geq 1}{\frac {\lambda _{-n}}{n}}\Phi _{-n}\left({\frac {a}{w}}\right).}$

それから：

${\displaystyle {\begin{aligned}h(F(z))&=\sum _{n\geq 1}{\frac {\lambda _{-n}}{n}}z^{-n}+\alpha +\sum _{n\geq 1}\alpha _{n}z^{n},&&|z|<1,\alpha _{n}=\sum _{m}c_{-n,m}\lambda _{m}\\h(g(\zeta ))&=\sum _{n\geq 1}{\frac {\lambda _{n}}{n}}\zeta ^{n}+\beta +\sum _{n\geq 1}\beta _{n}\zeta ^{-n},&&|\zeta |>1,\beta _{n}=\sum _{m}c_{nm}\lambda _{m}\end{aligned}}}$

面積は

${\displaystyle \int |h'(z)|^{2}\,dx\,dy={\frac {1}{2i}}\int _{C_{1}}{\overline {h}}(z)h'(z)\,dz-{\frac {1}{2i}}\int _{C_{2}}{\overline {h}}(z)h'(z)\,dz,}$

ここで、C _{1 は}gにおける円 |ζ| = Rの像であり、C _{2 は}Fにおける円 | z | = rの像です。

したがって

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\iint |h'|^{2}\,dx\,dy=\left[\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n}}|\lambda _{-n}|^{2}-\sum _{n\geq 1}|\alpha _{n}|^{2}r^{2n}\right]+\left[\sum _{n\geq 1}{1 \over n}|\lambda _{n}|^{2}-\sum _{n\geq 1}|\beta _{n}|^{2}R^{-2n}\right].}$

面積は正なので、右辺も正でなければなりません。rを1に増やし、Rを1に減らすと、次のようになります。

${\displaystyle \sum _{m\neq 0}|m|\left|\sum _{n\neq 0}c_{mn}\lambda _{n}\right|^{2}\leq \sum _{m\neq 0}{1 \over |m|}|\lambda _{m}|^{2}}$

等式となるのは、像の補集合がルベーグ測度0 を持つ場合のみです。

単一の関数gの場合と同様に、これは必要な不等式を意味します。

マトリックス

${\displaystyle a_{mn}={\sqrt {|mn|}}\cdot c_{mn}}$

単一の関数gまたは一対の関数Fの場合、gがユニタリとなるのは、 gの像の補像またはFとgの像の和がルベーグ測度 0 になるときだけです。したがって、大まかに言えば、関数が 1 つの場合、像は複素平面のスリット領域であり、関数が 2 つの場合、2 つの領域は閉じたジョルダン曲線によって分離されます。

実際、平方和可能列の ヒルベルト空間に作用する無限行列Aは、

${\displaystyle A^{*}A=I,}$

しかし、Jが数列の複素共役を表す場合、

${\displaystyle JAJ=A^{*},\quad JA^{*}J=A}$

Aは対称なので、

${\displaystyle AA^{*}=JA^{*}AJ=I}$

したがって、A はユニタリです。

g ( z ) が | z | > 1 の正規化された一価関数である場合、 z ₁、...、z _{N は}| z _n | > 1の異なる点であり、 α ₁、...、 α _Nは複素数です。1947 年にロシアの数学者ゲンナジー・ミハイロヴィチ・ゴルージン (1906-1953) によって証明されたゴルージン不等式は、次のことを述べています。

${\displaystyle \left|\sum _{m=1}^{N}\sum _{n=1}^{N}\alpha _{m}\alpha _{n}\log {g(z_{m})-g(z_{n}) \over z_{m}-z_{n}}\right|^{2}\leq \sum _{m=1}^{N}\sum _{n=1}^{N}\alpha _{m}{\overline {\alpha _{n}}}\log {1 \over 1-(z_{m}{\overline {z_{n}}})^{-1}}.}$

グルンスキー不等式からこれらを導くには、

${\displaystyle \lambda _{k}=\sum _{n=1}^{N}\alpha _{n}z_{n}^{-k}.}$

k > 0の場合。

逆に、グルンスキー不等式はゴルジン不等式から次のように導かれる。

${\displaystyle \alpha _{m}={1 \over N}\sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}z_{n}^{m}.}$

どこ

${\displaystyle z_{n}=re^{2\pi in \over N}}$

r > 1の場合、∞ に近づきます。

Bergman & Schiffer (1951) は、幾何関数理論における再生核と特異積分演算子を使用して、Grunsky 不等式の別の導出を与えました。より最近の関連するアプローチは、Baranov & Hedenmalm (2008) にあります。

f ( z ) を | z | < 1の正規化された一価関数とし、z ₁ , ..., z _{N を}| z _n | < 1の異なる点とし、α ₁ , ..., α _Nを複素数とする。ベルグマン・シッファー不等式は、

${\displaystyle \left|\sum _{m=1}^{N}\sum _{n=1}^{N}\alpha _{m}\alpha _{n}\left[{\frac {f'(z_{m})f'(z_{n})}{(f(z_{m})-f(z_{n}))^{2}}}-{\frac {1}{(z_{m}-z_{n})^{2}}}\right]\right|\leq \sum _{m=1}^{N}\sum _{n=1}^{N}\alpha _{m}{\overline {\alpha _{n}}}{\frac {1}{(1-z_{m}{\overline {z_{n}}})^{2}}}.}$

これらの不等式をグルンスキー不等式から導くには、

${\displaystyle \lambda _{k}=k\sum _{n=1}^{N}\alpha _{n}z_{n}^{k}.}$

k > 0の場合。

逆に、ベルクマン・シッファー不等式からグルンスキー不等式は次のように導かれる。

${\displaystyle \alpha _{m}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}\lambda _{n}z_{n}^{m}.}$

どこ

${\displaystyle z_{n}=re^{\frac {2\pi in}{N}}}$

r < 1の場合、0 に近づきます。

グルンスキー不等式は、単項関数の多くの不等式を暗示する。1960年にシファーとシャルジンスキーは、この不等式を使って、ビーベルバッハ予想の4番目の係数に対する初歩的な証明を行った。それよりはるかに複雑な証明は、1955年にシファーとガラベディアンによって既になされていた。1968年にペダーセンとオザワは、独立してグルンスキー不等式を使って、6番目の係数に対する予想を証明した。^{[1] [2]}

シファーとシャルジンスキーの証明では、

${\displaystyle f(x)=z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+a_{4}z^{4}+\cdots }$

は| z | < 1の正規化された一価関数であるとき、

${\displaystyle g(z)=f(z^{2})^{-1/2}=z+b_{1}z^{-1}+b_{3}z^{-3}+\cdots }$

は、| z | > 1 の奇数一価関数です。

fの Gronwall の面積定理とgの Grunsky 行列の最初の 2 x 2 マイナーの Grunsky 不等式を組み合わせると、 a ₂の単純関数と自由複素パラメータに関して| a ₄ |の境界が得られます。自由パラメータは、境界がa ₂の係数の半分の関数になるように選択でき、この関数が範囲 [0,1] で 4 以下であることを直接確認できます。

ミリンが示したように、グルンスキー不等式は指数化できる。最も単純なケースは次のように書ける。

${\displaystyle \log {g(z)-g(\zeta ) \over z-\zeta }=-\sum _{n\geq 1}a_{n}(\zeta ^{-1})z^{-n}.}$

n ( w )は| w |<1において正則で_ある。

グルンスキー不等式λ _n = w ⁿは 、

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}n|a_{n}(w)|^{2}\leq -\log(1-|w|^{2}).}$

一方、もし

${\displaystyle \sum _{m\geq 0}b_{m}t^{m}=\exp \sum _{n\geq 1}a_{n}t^{n}}$

を形式的な冪級数として表すと、レベデフ・ミリン不等式（1965）の最初の不等式は^{[3] [4]}

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}|b_{n}|^{2}\leq \exp \sum _{n\geq 1}n|a_{n}|^{2}.}$

同様に、不等式は、g ( z )がg (0) = 0となる多項式である場合、

${\displaystyle {1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }|e^{g}|^{2}\,d\theta \leq e^{A},}$

ここでAはg ( D ) の面積であり、

不等式を証明するには、係数が再帰式によって決定されることに注意する。

${\displaystyle b_{n}={1 \over n}\sum _{m=1}^{n}ma_{m}b_{n-m}}$

コーシー・シュワルツの不等式により

${\displaystyle |b_{n}|^{2}\leq {1 \over n}\sum m^{2}|a_{m}|^{2}|b_{n-m}|^{2}.}$

ここで等式を課すことによって得られる量c _{n は}次のようになります。

${\displaystyle c_{n}={1 \over n}\sum m^{2}|a_{m}|^{2}c_{n-m}}$

満足し、したがって、手順を逆にすると、 ${\displaystyle |b_{n}|^{2}\leq c_{n}}$

${\displaystyle \sum |b_{n}|^{2}\leq \sum c_{n}=\exp \sum _{m\geq 1}m|a_{m}|^{2}.}$

特に、b _n ( w ) を次の恒等式で 定義すると、

${\displaystyle \sum b_{n}(\zeta ^{-1})z^{-n}=\exp \sum a_{m}(\zeta ^{-1})z^{-m}={g(z)-g(\zeta ) \over z-\zeta },}$

| w | < 1 の場合、次の不等式が成立する。

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}|b_{n}(w)|^{2}\leq (1-|w|^{2})^{-1}.}$

Beurling変換（複素平面ではBeurling-Ahlfors変換やヒルベルト変換とも呼ばれる）は、Bergman & Schiffer（1951年）およびBaranov & Hedenmalm（2008年）に従って、Grunsky不等式を証明する最も直接的な方法の1つを提供します。

ベーリング変換は、L ² ( C ) 上でフーリエ変換を乗算する演算として定義されます。したがって、これはユニタリ演算子を定義します。また、主値積分として直接定義することもできます^[5]${\displaystyle z/{\overline {z}}}$

${\displaystyle (Th)(w)=\lim _{\varepsilon \to 0}-{1 \over \pi }\iint _{|z-w|\geq \varepsilon }{h(z) \over (z-w)^{2}}\,dx\,dy.}$

C内の任意の有界開領域 Ω に対して、 Ω のベルクマン空間の共役からΩ のベルクマン空間への有界演算子T _{Ω を定義します。平方積分可能な正則関数が Ω から 0 まで拡張され、} L ² ( C ) 内の関数が生成されます。これにTが適用され、結果は Ω に制限され、正則になります。fが単位円Dから Ω への正則一価写像である場合、Ω のベルクマン空間とその共役はDのベルクマン空間と同一視でき、T _{Ω は}核を持つ特異積分演算子になります。

${\displaystyle K_{f}(z,w)={\frac {f'(z)f'(w)}{(f(z)-f(w))^{2}}}.}$

これは収縮を定義します。一方、ストークスの定理を使用して積分を境界に移し、 べき乗を直接計算することで、T _{D = 0 であることが確認できます。}${\displaystyle {\overline {z}}^{n}}$

カーネルを持つ演算子は

${\displaystyle {f'(z)f'(w) \over (f(z)-f(w))^{2}}-{1 \over (z-w)^{2}}={\partial ^{2} \over \partial z\partial w}\log {f(z)-f(w) \over z-w}=-\sum _{m,n\geq 1}mnc_{mn}z^{m-1}w^{n-1}}$

はDのベルクマン空間の共役な縮約として作用する。したがって、

${\displaystyle p(z)=\lambda _{1}+\lambda _{2}{\overline {z}}+\lambda _{3}{\overline {z}}^{2}+\cdots +\lambda _{N}{\overline {z}}^{N-1},}$

それから

${\displaystyle \sum _{m=1}^{N}\left|\sum _{n=1}^{N}c_{mn}\lambda _{n}\right|^{2}=\|(T_{f}-T_{z})p\|^{2}=\|T_{f}p\|^{2}\leq \|p\|^{2}=\sum _{n=1}^{N}{1 \over n}|\lambda _{n}|^{2}.}$

Ω が滑らかな境界を持つC内の有界領域である場合、演算子T _{Ω は}ベルグマン空間H = A ^{2 (Ω) 上の有界反線型}収縮演算子とみなすことができます。これは次の式で与えられます。

${\displaystyle (T_{\Omega }u)(z)=\lim _{\varepsilon \to 0}{1 \over \pi }\iint _{|z-w|\geq \varepsilon }{{\overline {u(z)}} \over (z-w)^{2}}\,\,dx\,dy}$

ヒルベルト空間H = A ² (Ω)のuに対して。T _{Ω は}Ω (またはf ) のグルンスキー作用素と呼ばれる。DをΩ に写像する単価関数fを用いたD上の実現と、 T _D = 0という事実は、それが核の制限によって与えられることを示している 。

${\displaystyle {\frac {f'(z)f'(w)}{(f(z)-f(w))^{2}}}-{\frac {1}{(z-w)^{2}}},}$

したがってヒルベルト・シュミット演算子です。

反線型演算子T = T _Ωは自己随伴性関係を満たす。

${\displaystyle (Tu,v)=(Tv,u)}$

Hのu、vについて。

したがって、A = T ^2はH上のコンパクトな自己随伴線型作用素で あり、

${\displaystyle (Au,u)=(Tu,Tu)=\|Tu\|^{2}\geq 0,}$

したがって、A は正の演算子です。コンパクトな自己随伴演算子のスペクトル定理により、Aの固有ベクトルからなるHの正規直交基底u _nがあります。

${\displaystyle Au_{n}=\mu _{n}u_{n},}$

ここで、μ _{n は}Aの正値により非負となる。したがって

${\displaystyle \mu _{n}=\lambda _{n}^{2}}$

ただし、λ _n ≥ 0です。T はAと可換なので、その固有空間は不変です。正値関係は、 Tがゼロ固有空間に自明に作用することを示しています。他の非ゼロ固有空間はすべて有限次元で、互いに直交しています。したがって、各固有空間で正規直交基底を選択できるため、次のようになります。

${\displaystyle Tu_{n}=\lambda _{n}u_{n}.}$

（Tの反線形性によります。） ${\displaystyle T(iu_{n})=-\lambda _{n}iu_{n}}$

ゼロでないλ _n (またはそれらの逆数) は、 Ω のフレドホルム固有値と呼ばれます。

${\displaystyle 0\leq \lambda _{n}\leq \|T\|\leq 1.}$

Ωが円板ではない有界領域である場合、アールフォースは

${\displaystyle \|T_{\Omega }\|<1.}$

領域Ωのフレドホルム行列式は[6] [7]で定義さ^れる。

${\displaystyle \Delta _{\Omega }=\det(I-T_{\Omega }^{2})=\prod (1-\lambda _{n}^{2}).}$

A = T ^2はトレースクラス演算子であるため、これは意味をなすことに注意してください。

シファーとホーリー（1962）は、もしfが0に固定されれば、^{[8] [9]}${\displaystyle 0\in \Omega }$

${\displaystyle \Delta _{\Omega }=-{\frac {1}{12\pi }}\left[\|\partial _{z}\log f'\|_{D}^{2}+\|\partial _{z}\log g'\|_{D^{c}}^{2}-2\left\|\partial _{z}\log {\frac {f(z)}{z}}\right\|_{D}^{2}-2\left\|\partial _{z}\log {\frac {g(z)}{z}}\right\|_{D^{c}}^{2}\right].}$

ここでノルムはDとその補集合D ^cのベルクマン空間にあり、g はD ^cから ∞ を固定したΩ ^cへの単価写像です。

同様の式が、一価関数のペアの場合にも適用されます (以下を参照)。

Ω をC内の滑らかな境界C = ∂Ω を持つ有界単連結領域とします。したがって、単位円Dから Ω への単価正則写像fが存在し、境界S ¹とC の間の滑らかな写像に拡張されます。

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