グランディシリーズ

数学において、無限級数 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯は、

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}}$

は、1703 年にこの級数について印象的な解説を行ったイタリアの数学者、哲学者、司祭のグイド・グランディにちなんで、グランディ級数と呼ばれることもあります。これは発散級数であり、級数の部分和の列は収束しません。

しかし、発散するにもかかわらず、これを操作して数学的に興味深い結果を数多く生み出すことができます。たとえば、数学では、発散する級数にも数値を割り当てるために多くの合計法が使用されています。たとえば、この級数の チェザロ合計とラマヌジャン合計はどちらも 1/2 です。

級数の合計を求める明白な方法の1つ

${\displaystyle 1-1+1-1+1-1+1-1+\ldots }$

これを伸縮級数のように扱い、減算をその場で実行します。

${\displaystyle (1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+\ldots =0+0+0+0+\ldots =0.}$

一方、同様の括弧の手順は、一見矛盾した結果につながる。

${\displaystyle 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\ldots =1+0+0+0+\ldots =1.}$

したがって、グランディ級数にさまざまな方法で括弧を適用することで、「値」として 0 または 1 を取得できます。これは条件付き収束の一般的な問題に非常に似ており、このアイデアのバリエーションであるアイレンベルグ-マズール詐欺は、結び目理論と代数学で使用されることがあります。これら 2 つの「値」の平均を取ることで、級数が 1/2 に収束することを正当化できます。

グランディ級数を発散幾何級数として扱い、収束幾何級数を評価するのと同じ代数的手法を使用して 3 番目の値を取得します。

$${\displaystyle {\begin{aligned}S&=1-1+1-1+\ldots ,{\text{ so}}\\1-S&=1-(1-1+1-1+\ldots )=1-1+1-1+\ldots =S\\1-S&=S\\1&=2S,\end{aligned}}}$$

となる。を（）から計算し、その結果を から引いて を解くと、同じ結論が得られる。^[1]${\displaystyle S=1/2}$${\textstyle -S}$${\textstyle -S=(1-S)-1}$${\displaystyle S}$${\displaystyle 2S=1}$

上記の操作では、級数の和が厳密に何を意味するのか、また、上記の代数的手法を発散する幾何級数にどのように適用できるのかは考慮されていません。それでも、級数を自由に括弧で囲めることが重要であり、それを使って算術演算を実行できることがさらに重要である限り、2 つの結論に達することができます。

• 1 − 1 + 1 − 1 + ...という数列には和がない。^{[1] [2]}
• ...しかしその合計は1/2になるはずです。^[2]

実際、これらの両方の主張は、19世紀に生まれた明確に定義された数学的概念を使用した場合にのみ、正確かつ正式に証明できます。17世紀後半にヨーロッパで微積分が導入された後、近代的な厳密さが出現する前に、これらの答えの間の緊張が、数学者間の「終わりのない」そして「激しい」論争を引き起こしました。^[3]

⁠ ⁠区間内の任意の数について、等比級数の無限大への和は次のように評価できる。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle (-1,1)}$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\sum _{n=0}^{N}r^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }r^{n}= {\frac {1}{1-r}}.}$

任意の に対して、 ${\displaystyle \varepsilon \in (0,2)}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1+\varepsilon )^{n}={\frac {1}{1-(-1+\varepsilon )}}={\frac {1}{2-\varepsilon }},}$

そして級数評価の極限は ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}\lim _{N\to \infty }\sum _{n=0}^{N}(-1+\varepsilon )^{n}={\frac {1}{2}}.}$

しかし、前述のように、極限を切り替えて得られる級数は、

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\lim _{\varepsilon \to 0}\sum _{n=0}^{N}(-1+\varepsilon )^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}}$

発散します。

複素解析の観点から言えば、⁠1/2したがって、 ⁠ は、複素単位円| z | < 1上でのみ定義される級数 ⁠ ⁠ の解析接続のz = −1における値であることがわかります。 ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{N}z^{n}}$

現代数学では、無限級数の和は、もし存在するならば、その部分和の列の極限として定義されます。グランディ級数の部分和の列は1、0、1、0、... であり、明らかにどの数にも近づきません (ただし、0 と 1 の 2 つの累積点があります)。したがって、グランディ級数は発散します。

級数が絶対収束しない限り、個々の項の順序を変更するなど、一見無害に見える多くの操作を級数に対して実行することは有効ではないことが示されています。そうでない場合、これらの操作は合計の結果を変える可能性があります。^[4]さらに、グランディ級数の項は、0または1だけでなく、2つ以上の連続する整数の任意の間隔で累積点を持つように並べ替えることができます。たとえば、級数

${\displaystyle 1+1+1+1+1-1-1+1+1-1-1+1+1-1-1+1+1-\cdots }$

(最初の 5 つの +1 項の後、項は +1 項と -1 項のペアで交互になります。+1 と -1 の両方が無限であるため、ヒルベルトのグランドホテルのパラドックスにより、任意の有限個の 1 または -1 を先頭に追加できます) は、グランディ級数の順列であり、並べ替えられた級数の各値は、元の級数で最大 4 つ離れた位置にある値に対応します。その累積点は 3、4、5 です。

1987年頃、アンナ・シェルピンスカは、ワルシャワの 高等学校に通う17歳の予備数学の学生たちにグランディの級数を紹介した。彼女は、人文科学の学生たちの数学的経験は数学や物理学を学ぶ同級生のそれよりも重要ではないだろうという予想から、彼らが示す認識論的障害は、高等学校の学生たちにまだ存在するかもしれない障害をよりよく表しているだろうという予想のもと、人文科学の学生たちに焦点を当てた。

シェルピンスカは当初、グランディ級数に値を割り当てることに学生たちが躊躇するだろうと予想していたが、その時点で1 − 1 + 1 − 1 + ··· = ⁠ であると主張して学生たちに衝撃を与えることができた。1/2⁠ は等比級数の公式の結果として生じる。理想的には、推論の誤りを探し、さまざまな公比の公式を調べることによって、生徒たちは「2種類の級数があることに気づき、暗黙の収束の概念が生まれる」はずである。 ^{[5]しかし、生徒たちは}1 − 1 + 1 − 1 + ··· = ⁠と言われてもショックを受けなかった1/2⁠あるいは1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ = −1です。Sierpińska は、ライプニッツとグランディが次のように考えていたことを考えると、先験的に学生たちの反応はそれほど驚くべきことではないと述べています。⁠1/2⁠もっともらしい結果である;

「しかし、後から考えれば、学生たちがショックを受けなかった理由の説明は多少異なるかもしれない。彼らは、結局のところ『数学は完全に抽象的で現実からかけ離れている』し、『数学的変換を使えば、あらゆる種類のナンセンスを証明できる』ので、この不条理を冷静に受け入れたのだ、と後に少年の一人が語った。」^[5]

学生たちは結局、収束の問題から逃れることはできなかった。シェルピンスカは翌日、この問題を小数展開と結びつけることで、学生たちをこの問題に引き込むことに成功した。0.999 ... = 1 が学生たちを驚かせるや否や、彼女の残りの教材は「彼らの耳を通り過ぎていった」。^[5]

2000年頃にイタリアのトレヴィーゾで行われた別の研究では、リセオ・サイエンティフィコの3年生と4年生（16歳から18歳）に次のような質問をするカードが配られました。

「1703 年、数学者グイド・グランディは加算を研究しました: 1 − 1 + 1 − 1 + ... (加数は無限にありますが、常に +1 と –1 です)。これについてどう思いますか?」

学生たちは、無限集合の概念については説明を受けていましたが、無限級数についての経験はありませんでした。学生たちには、本や計算機を使わずに 10 分間の時間が与えられました。88 の回答は次のように分類されました。

（26）結果は0

（18）結果は0か1のいずれかになる。

（５）結果は存在しない

（４）結果は、1/2⁠

（３）結果は１

（２）結果は無限である

（30）無回答

研究者のジョルジョ・バーニは、学生数名にインタビューして彼らの推論を調べた。そのうち16名がグランディとリカッティと同様の論理で0という答えを正当化した。他の学生は次のように正当化した。1/2⁠ は0と1の平均である。バグニは、彼らの推論はライプニッツの推論に似ているものの、18世紀の数学にとって非常に重要だった確率論的根拠が欠けていると指摘している。彼は、文化的背景は異なるものの、彼らの回答は歴史的発展と個人の発展のつながりと一致していると結論付けている。^[6]

ジョエル・レーマンは、異なる和の概念を区別するプロセスを、概念的なクレバス、つまり 18 世紀の数学を悩ませた発散に関する混乱に橋を架けることに例えています。

「級数は一般的に歴史なしで、応用とは別に提示されるため、学生は「これらは何なのか？」だけでなく「なぜこれをやっているのか？」とも疑問に思うはずです。収束の判定にばかり気を取られ、合計の判定には気を取られないため、多くの学生、そして教師にとっても、全体のプロセスが不自然で無意味に思えてしまいます。」^[7]

その結果、多くの学生はオイラーに似た態度を身につけます。

「...自然に（つまり自然から）生じる問題には解決策があるので、物事は最終的に解決するという仮定は、存在の証明を必要とせずに実験的に正当化されます。すべてがうまくいっていると仮定し、到達した解決策が機能する場合、おそらくあなたは正しかった、または少なくとも十分に正しかった。...では、宿題の問題にしか現れない詳細になぜ悩むのでしょうか？」^[8]

レーマンは、この反論に対して、ジャン＝シャルル・カレがオイラーのグランディ級数の扱いに対して提起したのと同じ例を挙げることを推奨している。オイラーは、和を等比級数のx = 1における評価とみなし、和を次のように与えた。 ${\displaystyle 1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots =1/(1+x)}$1/2⁠。しかし、Callet は、Grandi 級数を別の級数のx = 1での評価と見なすこともできると指摘し、その合計は⁠ ⁠となる${\displaystyle 1-x^{2}+x^{3}-x^{5}+x^{6}-\cdots ={\tfrac {1+x}{1+x+x^{2}}}}$。2/3⁠ . レーマンは、直感的な評価でこのような矛盾した結果を見ると、厳密な定義と細部への注意の必要性がわかるかもしれないと主張している。^[8]

1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + ... (無限大まで)という数列も発散しますが、いくつかの方法を使って合計すると⁠1/4これは、ほとんどの加算法がグランディ級数に割り当てる値の二乗であり、グランディ級数の 2 つのコピーの Cauchy 積として見ることができるため合理的です。

• 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯
• 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
• 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯
• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯
• 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯
• ラマヌジャンの和
• チェザロ総括
• トムソンのランプ

• 1 引く 1 プラス 1 引く 1 – Numberphile、Grandi のシリーズ