制御性グラミアン

制御理論では、 のようなシステム が制御可能かどうかを調べる必要がある場合があります 。ここで、、、はそれぞれ、入力、状態変数、出力を持つシステムの 、、行列です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\boldsymbol {x}}}(t)&={\boldsymbol {Ax}}(t)+{\boldsymbol {Bu}}(t)\\{\boldsymbol {y}}(t)&={\boldsymbol {Cx}}(t)+{\boldsymbol {Du}}(t)\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle n\times p}$${\displaystyle q\times n}$${\displaystyle q\times p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle q}$

このような目標を達成できる多くの方法の 1 つは、制御可能性グラミアンを使用することです。

線形時間不変 (LTI) システムとは、パラメータ、、が時間に対して不変であるシステムです。 ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$

LTI システムが制御可能かどうかは、ペアを見るだけでわかります。次に、次のステートメントは同等であると言えます。 ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})}$

1. ペアは制御可能です。${\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})}$
2. 行列は任意の に対して非特異です。${\displaystyle n\times n}$$${\displaystyle {\boldsymbol {W_{c}}}(t)=\int _{0}^{t}e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {BB^{T}}}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }d\tau =\int _{0}^{t}e^{{\boldsymbol {A}}(t-\tau )}{\boldsymbol {BB^{T}}}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}(t-\tau )}d\tau }$$${\displaystyle t>0}$
3. 制御可能性行列のランクは n です。${\displaystyle n\times np}$$${\displaystyle {\mathcal {C}}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {B}}&{\boldsymbol {AB}}&{\boldsymbol {A}}^{2}{\boldsymbol {B}}&\cdots &{\boldsymbol {A}}^{n-1}{\boldsymbol {B}}\end{bmatrix}}}$$
4. 行列は、のすべての固有値において完全な行ランクを持ちます。${\displaystyle n\times (n+p)}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\boldsymbol {A}}-\lambda {\boldsymbol {I}}&{\boldsymbol {B}}\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$

さらに、 のすべての固有値が負の実部を持ち（は安定）、リアプノフ方程式の唯一の解が 正定値である場合、システムは制御可能である。この解は制御性グラミアンと呼ばれ、次のように表される。 ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {W}}_{c}+{\boldsymbol {W}}_{c}{\boldsymbol {A}}^{T}=-{\boldsymbol {BB}}^{T}}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {W_{c}}}=\int _{0}^{\infty }e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {BB}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }d\tau }$$

次のセクションでは、制御可能性グラミアンについて詳しく見ていきます。

制御性グラミアンは、次式で与えられる リアプノフ方程式の解として求められる。$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {W}}_{c}+{\boldsymbol {W}}_{c}{\boldsymbol {A}}^{T}=-{\boldsymbol {BB}}^{T}}$$

実際、 を 解決策として取ると、次のことがわかります。 $${\displaystyle {\boldsymbol {W_{c}}}=\int _{0}^{\infty }e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {BB}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }d\tau }$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {W}}_{c}+{\boldsymbol {W}}_{c}{\boldsymbol {A}}^{T}&=\int _{0}^{\infty }{\boldsymbol {A}}e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {BB}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }d\tau +\int _{0}^{\infty }e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {BB^{T}}}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }{\boldsymbol {A}}^{T}d\tau \\[1ex]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {d}{d\tau }}\left(e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {B}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }\right)d\tau \\[1ex]&=\left.e^{{\boldsymbol {A}}t}{\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {B}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}\right|_{t=0}^{\infty }\\[1ex]&={\boldsymbol {0}}-{\boldsymbol {BB}}^{T}\\[1ex]&={\boldsymbol {-BB}}^{T}\end{aligned}}}$$

ここで、 が安定であるという事実を使用しました（そのすべての固有値は負の実部を持ちます）。これは、 が解析中のリャプノフ方程式の解であることを示しています。 ${\displaystyle e^{{\boldsymbol {A}}t}=0}$${\displaystyle t=\infty}$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c}}$

は対称行列であることがわかります。したがって、 も対称行列です。 ${\displaystyle {\boldsymbol {BB^{T}}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c}}$

が安定している（すべての固有値の実部が負である）場合、 が一意であることを示すために、 という事実を再度使用できます。 それを証明するには、 と の 2 つの異なる解があり、それらが および で与えられると仮定します 。 そうすると、次の式が得られます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {W}}_{c}+{\boldsymbol {W}}_{c}{\boldsymbol {A}}^{T}=-{\boldsymbol {BB}}^{T}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c1}}$${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c2}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2})+({\boldsymbol {W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2}){\boldsymbol {A}}^{T}={\boldsymbol {0}}}$$

左にを、右に を掛けると、次のようになります。 ${\displaystyle e^{{\boldsymbol {A}}t}}$${\displaystyle e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}}$$${\displaystyle e^{{\boldsymbol {A}}t}\left[{\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2})+{\boldsymbol {(W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2}){\boldsymbol {A}}^{T}\right]e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}={\frac {d}{dt}}\left[e^{{\boldsymbol {A}}t}\left({\boldsymbol {W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2}\right)e^{{\boldsymbol {A^{T}}}t}\right]={\boldsymbol {0}}}$$

からまでを積分すると、 という事実が次のように表されます。 ${\displaystyle 0}$${\displaystyle \infty }$$${\displaystyle \left[e^{{\boldsymbol {A}}t}\left({\boldsymbol {W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2}\right)e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}\right]_{t=0}^{\infty }={\boldsymbol {0}}}$$${\displaystyle e^{{\boldsymbol {A}}t}\rightarrow 0}$${\displaystyle t\to \infty }$$${\displaystyle {\boldsymbol {0}}-({\boldsymbol {W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2})={\boldsymbol {0}}}$$

つまり、一意である必要があります。 ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c}}$

また、任意のt に対して が正であることがわかります ( が常にゼロではない非退化の場合を想定)。これにより、正定値行列が作成されます。 $${\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{T}{\boldsymbol {W}}_{c}{\boldsymbol {x}}=\int _{0}^{\infty }{\boldsymbol {x}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}t}{\boldsymbol {BB}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}{\boldsymbol {x}}\,dt=\int _{0}^{\infty }\left\Vert {\boldsymbol {B}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}{\boldsymbol {x}}\right\Vert _{2}^{2}dt}$$${\displaystyle \left\Vert {\boldsymbol {B}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}{\boldsymbol {x}}\right\Vert }$${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c}}$

制御可能なシステムのその他の特性については、Chen (1999、p. 145) に記載されています。また、「ペアは制御可能である」という他の同等のステートメントの証明については、「LTI システムにおける制御可能性」のセクションで説明されています。 ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})}$

離散時間システムの場合 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {x}}[k+1]&={\boldsymbol {Ax}}[k]+{\boldsymbol {Bu}}[k]\\{\boldsymbol {y}}[k]&={\boldsymbol {Cx}}[k]+{\boldsymbol {Du}}[k]\end{aligned}}}$$

「ペアは制御可能である」というステートメントに同値性があることを確認できます(同値性は連続時間の場合とほぼ同じです)。 ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})}$

我々が興味を持っているのは、「ペアが制御可能」であり、 のすべての固有値の大きさが より小さい（は安定）場合、 の唯一の解は 正定値であり、次のように与えられるという同値 性である。${\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})}$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$$${\displaystyle W_{dc}-{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {W}}_{dc}{\boldsymbol {A}}^{T}={\boldsymbol {BB}}^{T}}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{dc}=\sum _{m=0}^{\infty }{\boldsymbol {A}}^{m}{\boldsymbol {BB}}^{T}\left({\boldsymbol {A}}^{T}\right)^{m}}$$

これは離散制御性グラミアンと呼ばれます。離散時間と連続時間の場合の対応は簡単にわかります。つまり、 が正定値であり、 のすべての固有値の大きさが 未満であることが確認できれば、システムは制御可能です。その他の特性と証明については、Chen (1999、p. 169) を参照してください。 ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{dc}}$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})}$

線形時間変化 (LTV) システムは次の形式になります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\boldsymbol {x}}}(t)&={\boldsymbol {A}}(t){\boldsymbol {x}}(t)+{\boldsymbol {B}}(t){\boldsymbol {u}}(t)\\{\boldsymbol {y}}(t)&={\boldsymbol {C}}(t){\boldsymbol {x}}(t)\end{aligned}}}$$

つまり、行列 、、には、時間とともに変化する要素があります。ここでも、連続時間の場合や離散時間の場合と同様に、ペアによって与えられたシステムが制御可能かどうかを調べることに関心があるかもしれません。これは、前述の場合と非常によく似た方法で行うことができます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}(t),{\boldsymbol {B}}(t))}$

システムが時刻 において制御可能であるのは、の状態遷移行列で あるによって与えられる、制御可能グラミアンとも呼ばれる行列が 非特異となるような有限が存在する場合のみです。 ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}(t),{\boldsymbol {B}}(t))}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle t_{1}>t_{0}}$${\displaystyle n\times n}$$${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c}(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\boldsymbol {\Phi }}(t_{1},\tau ){\boldsymbol {B}}(\tau ){\boldsymbol {B}}^{T}(\tau ){\boldsymbol {\Phi }}^{T}(t_{1},\tau )d\tau ,}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(t,\tau )}$${\displaystyle {\boldsymbol {\dot {x}}}={\boldsymbol {A}}(t){\boldsymbol {x}}}$

ここでも、システムが制御可能なシステムであるかどうかを判断する同様の方法があります。

制御性グラミアンには次の特性があります。 これは、の定義と、次の状態遷移行列の特性から 簡単にわかります。${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c}(t_{0},t_{1})}$$${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c}(t_{0},t_{1})={\boldsymbol {W}}_{c}(t,t_{1})+{\boldsymbol {\Phi }}(t_{1},t){\boldsymbol {W}}_{c}(t_{0},t){\boldsymbol {\Phi }}^{T}(t_{1},t)}$$${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c}(t_{0},t_{1})}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(t_{1},\tau )={\boldsymbol {\Phi }}(t_{1},t){\boldsymbol {\Phi }}(t,\tau )}$$

制御可能性グラミアンの詳細については、Chen (1999、p. 176) を参照してください。

• 制御性
• 可観測性グラミアン
• グラミアン行列
• 最小エネルギー制御
• ハンケル特異値

• チェン・チ・ツォン（1999年）『線形システム理論と設計』第3版。ニューヨーク、ニューヨーク：オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-511777-8。

• 制御性グラミアンを計算するMathematica関数