可観測性グラミアン

制御理論では、次のようなシステムが

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\dot {\boldsymbol {x}}}(t){\boldsymbol {=Ax}}(t)+{\boldsymbol {Bu}}(t)\\{\boldsymbol {y}}(t)={\boldsymbol {Cx}}(t)+{\boldsymbol {Du}}(t)\end{array}}}$

は観測可能であり、、、はそれぞれ、、、行列です。 ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle n\times p}$${\displaystyle q\times n}$${\displaystyle q\times p}$

このような目標を達成できる多くの方法の 1 つは、観測可能性グラミアンを使用することです。

線形時間不変 (LTI) システムとは、パラメータ、、が時間に対して不変であるシステムです。 ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$

LTI システムが観測可能かどうかは、ペアを見るだけで判断できます。次に、次のステートメントは同等であると言えます。 ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {C}})}$

1. ペアは観測可能です。 ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {C}})}$

2.マトリックス ${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle {\boldsymbol {W_{o}}}(t)=\int _{0}^{t}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }{\boldsymbol {C}}^{T}{\boldsymbol {C}}e^{{\boldsymbol {A}}\tau }d\tau }$

は任意の に対して非特異です。 ${\displaystyle t>0}$

3.可観測性マトリックス ${\displaystyle nq\times n}$

${\displaystyle \left[{\begin{array}{c}{\boldsymbol {C}}\\{\boldsymbol {CA}}\\{\boldsymbol {CA}}^{2}\\\vdots \\{\boldsymbol {CA}}^{n-1}\end{array}}\right]}$

ランクnです。

4.マトリックス ${\displaystyle (n+q)\times n}$

${\displaystyle \left[{\begin{array}{c}{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {-\lambda }}{\boldsymbol {I}}\\{\boldsymbol {C}}\end{array}}\right]}$

のすべての固有値において完全な列ランクを持ちます。 ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$

さらに、 のすべての固有値が負の実部を持ち（は安定）、 の唯一の解が ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {A^{T}}}{\boldsymbol {W}}_{o}+{\boldsymbol {W}}_{o}{\boldsymbol {A}}=-{\boldsymbol {C^{T}C}}}$

が正定値であれば、システムは観測可能である。この解は観測グラミアンと呼ばれ、次のように表される。

${\displaystyle {\boldsymbol {W_{o}}}=\int _{0}^{\infty }e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }{\boldsymbol {C^{T}C}}e^{{\boldsymbol {A}}\tau }d\tau }$

次のセクションでは、Observability Gramian について詳しく見ていきます。

観測可能性グラミアンは、次式で与えられる リアプノフ方程式の解として求められる。

${\displaystyle {\boldsymbol {A^{T}}}{\boldsymbol {W}}_{o}+{\boldsymbol {W}}_{o}{\boldsymbol {A}}=-{\boldsymbol {C^{T}C}}}$

実際、

${\displaystyle {\boldsymbol {W_{o}}}=\int _{0}^{\infty }e^{{\boldsymbol {A^{T}}}\tau }{\boldsymbol {C^{T}C}}e^{{\boldsymbol {A}}\tau }d\tau }$

解決策として、次のことが分かります。

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}{\boldsymbol {A^{T}}}{\boldsymbol {W}}_{o}+{\boldsymbol {W}}_{o}{\boldsymbol {A}}&=&\int _{0}^{\infty }{\boldsymbol {A^{T}}}e^{{\boldsymbol {A^{T}}}\tau }{\boldsymbol {C^{T}C}}e^{{\boldsymbol {A}}\tau }d\tau &+&\int _{0}^{\infty }e^{{\boldsymbol {A^{T}}}\tau }{\boldsymbol {C^{T}C}}e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {A}}d\tau \\&=&\int _{0}^{\infty }{\frac {d}{d\tau }}(e^{{\boldsymbol {A^{T}}}\tau }{\boldsymbol {C}}^{T}{\boldsymbol {C}}e^{{\boldsymbol {A}}\tau })d\tau &=&e^{{\boldsymbol {A^{T}}}t}{\boldsymbol {C}}^{T}{\boldsymbol {C}}e^{{\boldsymbol {A}}t}|_{t=0}^{\infty }\\&=&{\boldsymbol {0}}-{\boldsymbol {C^{T}C}}\\&=&{\boldsymbol {-C^{T}C}}\end{array}}}$

ここで、 が安定であるという事実を使用しました（そのすべての固有値は負の実部を持ちます）。これは、 が解析中のリャプノフ方程式の解であることを示しています。 ${\displaystyle e^{{\boldsymbol {A}}t}=0}$${\displaystyle t=\infty }$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{o}}$

は対称行列であることがわかります。したがって、 も対称行列です。 ${\displaystyle {\boldsymbol {C^{T}C}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{o}}$

が安定している（すべての固有値の実部が負である）という事実を再び利用して、が一意であることを示すことができる。これを証明するために、 ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{o}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {A^{T}}}{\boldsymbol {W}}_{o}+{\boldsymbol {W}}_{o}{\boldsymbol {A}}=-{\boldsymbol {C^{T}C}}}$

これらはおよびによって与えられます。すると次の式が得られます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{o1}}$${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{o2}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {A^{T}}}{\boldsymbol {(W}}_{o1}-{\boldsymbol {W}}_{o2})+{\boldsymbol {(W}}_{o1}-{\boldsymbol {W}}_{o2}){\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {0}}}$

左にを、右に を掛けると、次のようになります。 ${\displaystyle e^{{\boldsymbol {A^{T}}}t}}$${\displaystyle e^{{\boldsymbol {A}}t}}$

${\displaystyle e^{{\boldsymbol {A^{T}}}t}[{\boldsymbol {A^{T}}}{\boldsymbol {(W}}_{o1}-{\boldsymbol {W}}_{o2})+{\boldsymbol {(W}}_{o1}-{\boldsymbol {W}}_{o2}){\boldsymbol {A}}]e^{{\boldsymbol {A}}t}={\frac {d}{dt}}[e^{{\boldsymbol {A^{T}}}t}[({\boldsymbol {W}}_{o1}-{\boldsymbol {W}}_{o2})e^{{\boldsymbol {A}}t}]={\boldsymbol {0}}}$

からへの積分: ${\displaystyle 0}$${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle [e^{{\boldsymbol {A^{T}}}t}[({\boldsymbol {W}}_{o1}-{\boldsymbol {W}}_{o2})e^{{\boldsymbol {A}}t}]|_{t=0}^{\infty }={\boldsymbol {0}}}$

という事実を用いて： ${\displaystyle e^{{\boldsymbol {A}}t}\rightarrow 0}$${\displaystyle t\rightarrow \infty }$

${\displaystyle {\boldsymbol {0}}-({\boldsymbol {W}}_{o1}-{\boldsymbol {W}}_{o2})={\boldsymbol {0}}}$

つまり、一意である必要があります。 ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{o}}$

また、

${\displaystyle {\boldsymbol {x^{T}W_{o}x}}=\int _{0}^{\infty }{\boldsymbol {x}}^{T}e^{{\boldsymbol {A^{T}}}t}{\boldsymbol {C^{T}C}}e^{{\boldsymbol {A}}t}{\boldsymbol {x}}dt=\int _{0}^{\infty }\left\Vert {\boldsymbol {Ce^{{\boldsymbol {A}}t}{\boldsymbol {x}}}}\right\Vert _{2}^{2}dt}$

は任意のに対して正であり（ が常にゼロではない非退化の場合を想定）、正定値行列になります。 ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$${\displaystyle {\displaystyle {\boldsymbol {Ce^{{\boldsymbol {A}}t}{\boldsymbol {x}}}}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{o}}$

^{観測可能なシステムのその他の特性については、 [1] を}参照してください。また、「ペアは観測可能である」という他の同等のステートメントの証明は、「LTI システムにおける観測可能性」のセクションで説明されています。 ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {C}})}$

離散時間システムの場合

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\boldsymbol {x}}[k+1]{\boldsymbol {=Ax}}[k]+{\boldsymbol {Bu}}[k]\\{\boldsymbol {y}}[k]={\boldsymbol {Cx}}[k]+{\boldsymbol {Du}}[k]\end{array}}}$

「ペアは観測可能である」というステートメントに同等性があることを確認できます (同等性は連続時間の場合とほぼ同じです)。 ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {C}})}$

我々が興味を持っているのは、「ペアが観測可能」であり、 のすべての固有値がより小さい値（は安定）である場合、 の唯一の解は ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {C}})}$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {A^{T}}}{\boldsymbol {W}}_{do}{\boldsymbol {A}}-W_{do}=-{\boldsymbol {C^{T}C}}}$

は正定値であり、次のように与えられる。

${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{do}=\sum _{m=0}^{\infty }({\boldsymbol {A}}^{T})^{m}{\boldsymbol {C}}^{T}{\boldsymbol {C}}{\boldsymbol {A}}^{m}}$

これは離散観測グラミアンと呼ばれます。離散時間と連続時間の場合の対応は簡単にわかります。つまり、 が正定値であり、 のすべての固有値の大きさが 未満であることが確認できれば、システムは観測可能です。その他の特性と証明は^[2]にあります。${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{dc}}$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})}$

線形時間変化 (LTV) システムは次の形式になります。

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\dot {\boldsymbol {x}}}(t){\boldsymbol {=A}}(t){\boldsymbol {x}}(t)+{\boldsymbol {B}}(t){\boldsymbol {u}}(t)\\{\boldsymbol {y}}(t)={\boldsymbol {C}}(t){\boldsymbol {x}}(t)\end{array}}}$

つまり、行列 、、には、時間とともに変化する要素があります。ここでも、連続時間の場合や離散時間の場合と同様に、ペアによって与えられたシステムが観測可能かどうかを調べることに関心があるかもしれません。これは、前述の場合と非常によく似た方法で行うことができます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}(t),{\boldsymbol {C}}(t))}$

システムが時間において観測可能であるのは、観測グラミアンとも呼ばれる行列が 次のように与えられる有限が存在する場合のみである。${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}(t),{\boldsymbol {C}}(t))}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle t_{1}>t_{0}}$${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{o}(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{^{t_{1}}}{\boldsymbol {\Phi }}^{T}(\tau ,t_{0}){\boldsymbol {C}}^{T}(\tau ){\boldsymbol {C}}(\tau ){\boldsymbol {\Phi }}(\tau ,t_{0})d\tau }$

ここで、 の状態遷移行列は非特異です。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(t,\tau )}$${\displaystyle {\boldsymbol {\dot {x}}}={\boldsymbol {A}}(t){\boldsymbol {x}}}$

ここでも、システムが観測可能なシステムであるかどうかを判断する同様の方法があります。

観測可能性グラミアンには次の特性があります。 ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{o}(t_{0},t_{1})}$

${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{o}(t_{0},t_{1})={\boldsymbol {W}}_{o}(t_{0},t)+{\boldsymbol {\Phi }}^{T}(t,t_{0}){\boldsymbol {W}}_{o}(t,t_{0}){\boldsymbol {\Phi }}(t,t_{0})}$

これは、の定義と状態遷移行列の特性から 簡単にわかります。状態遷移行列は次のように主張しています。${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{o}(t_{0},t_{1})}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(t_{0},t_{1})={\boldsymbol {\Phi }}(t_{1},\tau ){\boldsymbol {\Phi }}(\tau ,t_{0})}$

^{観測性グラミアンの詳細については、[3]}を参照してください。

• 可観測性
• 制御性グラミアン
• グラミアン行列
• ハンケル特異値

• 観測可能性グラミアンを計算するMathematica関数