電界と電荷分布に関する電磁気学の基本法則
積分形式のガウスの法則は、対称性の理由により、電界が均一となる閉面 (GS) が見つかる場合に特に便利です。この場合、電束は表面積と電界の強度の単純な積となり、表面に囲まれた総電荷に比例します。ここでは、帯電球の外側 ( r > R ) と内側 ( r < R ) の電界を計算しています (Wikiversity を参照)。 物理学 （特に 電磁気学 ） において、 ガウスの法則（ ガウスの磁束定理 、またはガウスの定理 とも呼ばれる）は、 マクスウェル方程式の 1 つです。これは 発散定理 の応用であり、 電荷 の分布と結果として生じる 電場 を関連付けます 。
意味 積分形式 では 、任意の 閉じた表面 からの電場の 流束は 、その電荷がどのように分布しているかに関係なく、表面に囲まれた電荷に比例することを示しています。この法則だけでは、任意の電荷分布を囲む表面全体の電場を決定するのに不十分ですが、対称性によって電場の均一性が求められる場合には、これが可能になることがあります。このような対称性が存在しない場合は、ガウスの法則を 微分形式 で使用できます。これは、電場の発散が局所的な電荷密度に比例することを述べています。
この法則は、最初に [1] 1773年に ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ によって定式化され、 [2] 続いて1835年に カール・フリードリヒ・ガウス によって [3] 楕円体の引力の文脈で定式化されました。これは マクスウェル方程式の1つであり、 古典電磁力学 の基礎を形成しています 。 [注 1]ガウスの法則は クーロンの法則を 導くために使用でき 、 [4] その逆も同様です。
定性的な説明 ガウスの法則は次のように述べられています。
仮想的な 閉表面 を通過する正味の 電気フラックスは 、 その閉表面内に含まれる正味の 電荷の 1/ ε0 倍に等しい 。閉表面はガウス面とも呼ばれる。 [5] ガウスの法則は、磁気に関するガウスの法則 や 重力に関するガウスの法則 など、物理学の他の分野の多くの法則と数学的に密接な類似点があります 。実際、 任意の逆二乗法則は ガウスの法則に似た方法で定式化できます。たとえば、ガウスの法則自体は クーロンの法則 と本質的に同等であり、重力に関するガウスの法則は ニュートンの万有引力の法則 と本質的に同等であり、どちらも逆二乗法則です。
この法則はベクトル解析を用いて 積分 形式と 微分 形式で 数学的に表現することができる 。両者は 発散定理 （ガウスの定理とも呼ばれる）によって関連しているため同等である。これらの各形式はそれぞれ、電場 E と 全電荷の関係、または 電気変位場 D と 自由 電荷 の関係という2つの方法で表現することもできる。 [6]
を含む方程式 え 分野 ガウスの法則は、電場 E または電場変位 D のいずれかを使用して記述できます。このセクションでは、 E を使用したいくつかの形式を示します。 D を使用した形式を以下に示します。 E を使用した他の形式も同様です 。
任意の表面を通過する電気束は、その表面に囲まれた総電荷に比例します。 球体には電荷が閉じ込められておらず、その表面を通る電気束はゼロです。 ガウスの法則は次のように表現される: [6]
Φ
E
=
Q
ε
0
{\displaystyle \Phi _{E}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}
ここで、 Φ E は 任意の体積 V を囲む閉表面 S を通る 電束 、 Qは V 内に含まれる全電荷 、 ε 0 は 電気定数 です 。電束 Φ E は 電場の
面積分 として定義されます。
Φ
E
=
{\displaystyle \Phi _{E}=}
S
{\displaystyle \scriptstyle _{S}}
E
⋅
d
A
{\displaystyle \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }
ここで、 E は電界、 dA は 表面の 面積 の 微小 要素を表すベクトル、 [注2] 、 ·は2つのベクトルの ドット積 を表します 。
曲がった時空では、閉じた表面を通る電磁場の流束は次のように表される。
Φ
E
=
c
{\displaystyle \Phi _{E}=c}
S
{\displaystyle \scriptstyle _{S}}
F
κ
0
−
g
d
S
κ
{\displaystyle F^{\kappa 0}{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} S_{\kappa }}
ここで、 は 光速 、は 電磁テンソル の時間成分 、は 計量テンソル の行列式 、 は電荷を囲む2次元面の正規直交要素 、添え字 とが一致しない。 [8]
c
{\displaystyle c}
F
κ
0
{\displaystyle F^{\kappa 0}}
g
{\displaystyle g}
d
S
κ
=
d
S
i
j
=
d
x
i
d
x
j
{\displaystyle \mathrm {d} S_{\kappa }=\mathrm {d} S^{ij}=\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}}
Q
{\displaystyle Q}
i
,
j
,
κ
=
1
,
2
,
3
{\displaystyle i,j,\kappa =1,2,3}
磁束は 電場の 積分として定義されるため、ガウスの法則のこの表現は 積分形式 と呼ばれます。
ラプラス方程式を解いて電位と電場を計算したら、側面が導体の表面に対して垂直な小さなガウスの箱を使用して、局所的な表面電荷を見つけます。電場は導体の等電位面に対して局所的に垂直で、内部はゼロです。ガウスの法則により、その磁束 πa 2 · Eは πa 2 · σ / ε 0 に等しくなります 。したがって、 σ = ε 0 E です。 既知の電位に設定された導体に関する問題では、 ラプラス方程式を 解析的または数値的に解くことで、導体から離れた電位が得られます。次に、電位の負の勾配として電場が計算されます。ガウスの法則により、電荷の分布を求めることができます。導体の任意の領域における電荷は、電場を積分して、側面が導体の表面に垂直な小さなボックスを通過する磁束を求め、電場が表面に対して垂直で、導体内ではゼロであることに注目することで推測できます。
逆の問題、つまり電荷分布がわかっていて電場を計算しなければならない場合の問題は、はるかに困難です。特定の表面を通過する全磁束からは電場に関する情報はほとんど得られず、任意の複雑なパターンで表面を出入りする可能性があります。
例外は、問題に何らかの対称性 がある場合で 、その場合、電界が表面を均一に通過することが必須となります。この場合、全磁束が分かっていれば、電界自体はあらゆる点で推定できます。ガウスの法則に当てはまる対称性の一般的な例としては、円筒対称性、平面対称性、球面対称性などがあります。 これらの対称性を利用して電界を計算する例については、
ガウス面の記事を参照してください。
発散定理 により、ガウスの法則は次のように 微分形式 で表すこともできます 。
∇
⋅
E
=
ρ
ε
0
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}
ここで、 ∇ · E は 電界の 発散、 ε 0 は 真空の誘電率 、 ρ は 全体積 電荷密度 （単位体積あたりの電荷）です。
発散定理により、積分形式と微分形式は数学的に同等です。より具体的な議論は次のとおりです。
証明の概要 ガウスの法則の積分形式は次のようになります。
S
{\displaystyle {\scriptstyle _{S}}}
E
⋅
d
A
{\displaystyle \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }
=
Q
ε
0
{\displaystyle ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}
電荷Q を 含む 任意の閉曲面 S に対して、この式は次の式と等しくなります。発散定理により、この式は次の式と等しくなります。
∭
V
∇
⋅
E
d
V
=
Q
ε
0
{\displaystyle \iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {E} \,\mathrm {d} V={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}
電荷 Q を含む任意の体積 V について、この式は
次の式 と等しくなります。電荷と電荷密度の関係により、
任意の体積 Vについて、この式は次の式と等しくなります。この式が すべての 可能な体積 V に対して 同時に成立 するためには 、積分関数がすべての場所で等しくなることが必要 (かつ十分) です。したがって、この式は次の式と等しくなります。
∭
V
∇
⋅
E
d
V
=
∭
V
ρ
ε
0
d
V
{\displaystyle \iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {E} \,\mathrm {d} V=\iiint _{V}{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\,\mathrm {d} V}
∇
⋅
E
=
ρ
ε
0
.
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.}
したがって、積分形式と微分形式は同等です。
を含む方程式 だ 分野
自由電荷、拘束電荷、総電荷 最も単純な教科書的な状況で発生する電荷は、「自由電荷」に分類されます。たとえば、 静電気で移動する電荷や、 コンデンサ プレート上の電荷など です。対照的に、「束縛電荷」は、 誘電性 （分極可能）材料のコンテキストでのみ発生します。（すべての材料は、ある程度分極可能です。）このような材料が外部電界内に置かれると、電子はそれぞれの原子に束縛されたままですが、電界に応じて微視的距離を移動し、原子の片側がもう片側よりも多くなります。これらの微視的変位がすべて加算されて、マクロ的な正味電荷分布が生まれ、これが「束縛電荷」を構成します。
微視的に見ると、すべての電荷は基本的に同じですが、束縛電荷を自由電荷とは別に扱いたい実用的な理由がしばしばあります。その結果、より基本的なガウスの法則は、 E (上記) の観点から、 D と自由電荷のみ
の観点から、以下の同等の形式で表されることがあります。
ガウスの法則のこの定式化は、総電荷の形式を次のように示しています。
Φ
D
=
Q
f
r
e
e
{\displaystyle \Phi _{D}=Q_{\mathrm {free} }}
ここで、 Φ D は 体積 V を 囲む表面 Sを通る D 場の 磁束であり 、 Q free はV に含まれる自由電荷です 。磁束 Φ D は 、 S を 通る 電場 E の磁束 Φ E と同様に定義されます。
Φ
D
=
{\displaystyle \Phi _{D}=}
S
{\displaystyle {\scriptstyle _{S}}}
D
⋅
d
A
{\displaystyle \mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} }
自由電荷のみを含むガウスの法則の微分形式は、次のようになります。
∇
⋅
D
=
ρ
f
r
e
e
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{\mathrm {free} }}
ここで、 ∇· D は電気変位場の 発散 、 ρ free は自由電荷密度です。
合計料金と無料料金の明細書の同等性
線形材料の方程式 均質 、 等方性 、 非分散性 、線形の材料では、 E と D の間には単純な関係があります 。
D
=
ε
E
{\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} }
ここで εは物質の 誘電率 である。 真空 （ 自由空間 ） の場合、 ε = ε 0 である。このような状況では、ガウスの法則は次のように修正される。
Φ
E
=
Q
f
r
e
e
ε
{\displaystyle \Phi _{E}={\frac {Q_{\mathrm {free} }}{\varepsilon }}}
積分形式の場合、
∇
⋅
E
=
ρ
f
r
e
e
ε
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{\mathrm {free} }}{\varepsilon }}}
微分形式の場合。
クーロンの法則との関係
クーロンの法則からガウスの法則を導く [ 要出典 ]
厳密に言えば、クーロンの法則は個々の静 電荷 による電場のみを与えるため、ガウスの法則はクーロンの法則だけからは導出できません 。しかし、電場が 重ね合わせの原理 に従うと仮定すれば、クーロンの法則からガウスの法則を証明 できます 。重ね合わせの原理は、結果として生じる電場は各粒子によって生成される電場のベクトル和（または、電荷が空間に滑らかに分布している場合は積分）であると述べています。
証明の概要 クーロンの法則によれば、静止した点電荷 による電場は
次のよう
に表される 。
E
(
r
)
=
q
4
π
ε
0
e
r
r
2
{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {e} _{r}}{r^{2}}}}
e r は 放射状 単位ベクトル であり、 r は半径、 | r | 、 ε 0 は 電気定数 であり 、 q は 粒子の電荷であり、 原点 に位置すると仮定されます。 クーロンの法則の式を使って、 空間内の
他の各点 s における微小電荷による r での場を積分して合計すると、 r での全場が得られる。
ここで ρは電荷密度である。この式の両辺の r に関する発散を取り 、既知の定理 [9]を使うと、
E
(
r
)
=
1
4
π
ε
0
∫
ρ
(
s
)
(
r
−
s
)
|
r
−
s
|
3
d
3
s
{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {s} )(\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |^{3}}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {s} }
∇
⋅
(
r
|
r
|
3
)
=
4
π
δ
(
r
)
{\displaystyle \nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right)=4\pi \delta (\mathbf {r} )}
ここで δ ( r )は ディラックのデルタ関数 であり 、結果は
∇
⋅
E
(
r
)
=
1
ε
0
∫
ρ
(
s
)
δ
(
r
−
s
)
d
3
s
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int \rho (\mathbf {s} )\,\delta (\mathbf {r} -\mathbf {s} )\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {s} }
ディラックのデルタ関数の
「 ふるい分け特性 」を使用すると、
期待どおりにガウスの法則の微分形式である が得られます。
∇
⋅
E
(
r
)
=
ρ
(
r
)
ε
0
,
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {\rho (\mathbf {r} )}{\varepsilon _{0}}},}
クーロンの法則は静止電荷にのみ適用されるため、この導出だけに基づいてガウスの法則が移動電荷に適用されることを期待する理由はありません。実際、ガウスの法則は移動電荷に有効であり、この点ではガウスの法則はクーロンの法則よりも一般的です。
証明（ディラックデルタなし） を有界開集合とし、を 連続 関数（電荷密度）
を持つ電場とします。
Ω
⊆
R
3
{\displaystyle \Omega \subseteq R^{3}}
E
0
(
r
)
=
1
4
π
ε
0
∫
Ω
ρ
(
r
′
)
r
−
r
′
‖
r
−
r
′
‖
3
d
r
′
≡
1
4
π
ε
0
∫
Ω
e
(
r
,
r
′
)
d
r
′
{\displaystyle \mathbf {E} _{0}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega }\rho (\mathbf {r} '){\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{\left\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right\|^{3}}}\mathrm {d} \mathbf {r} '\equiv {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega }e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} ){\mathrm {d} \mathbf {r} '}}
ρ
(
r
′
)
{\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')}
それ はすべて真実です 。
r
≠
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} \neq \mathbf {r'} }
∇
r
⋅
e
(
r
,
r
′
)
=
0
{\displaystyle \nabla _{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {e} (\mathbf {r,r'} )=0}
ここで、となるような区分 的に 滑らかな境界 を持つ コンパクト セットを考えます 。 となり 、したがって発散定理については次のようになります。
V
⊆
R
3
{\displaystyle V\subseteq R^{3}}
∂
V
{\displaystyle \partial V}
Ω
∩
V
=
∅
{\displaystyle \Omega \cap V=\emptyset }
e
(
r
,
r
′
)
∈
C
1
(
V
×
Ω
)
{\displaystyle e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} )\in C^{1}(V\times \Omega )}
∮
∂
V
E
0
⋅
d
S
=
∫
V
∇
⋅
E
0
d
V
{\displaystyle \oint _{\partial V}\mathbf {E} _{0}\cdot d\mathbf {S} =\int _{V}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} _{0}\,dV}
しかし 、
e
(
r
,
r
′
)
∈
C
1
(
V
×
Ω
)
{\displaystyle e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} )\in C^{1}(V\times \Omega )}
∇
⋅
E
0
(
r
)
=
1
4
π
ε
0
∫
Ω
∇
r
⋅
e
(
r
,
r
′
)
d
r
′
=
0
{\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} _{0}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega }\nabla _{\mathbf {r} }\cdot e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} ){\mathrm {d} \mathbf {r} '}=0}
上記の議論では（ そして ）
Ω
∩
V
=
∅
⟹
∀
r
∈
V
∀
r
′
∈
Ω
r
≠
r
′
{\displaystyle \Omega \cap V=\emptyset \implies \forall \mathbf {r} \in V\ \ \forall \mathbf {r'} \in \Omega \ \ \ \mathbf {r} \neq \mathbf {r'} }
∇
r
⋅
e
(
r
,
r
′
)
=
0
{\displaystyle \nabla _{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {e} (\mathbf {r,r'} )=0}
したがって、外側（表面）の電荷密度によって生成される閉じた表面を通る磁束はゼロになります。
ここで、 を中心とし、 を半径と する球面として 考えます ( は 開集合であるために存在する)。
r
0
∈
Ω
{\displaystyle \mathbf {r} _{0}\in \Omega }
B
R
(
r
0
)
⊆
Ω
{\displaystyle B_{R}(\mathbf {r} _{0})\subseteq \Omega }
r
0
{\displaystyle \mathbf {r} _{0}}
R
{\displaystyle R}
Ω
{\displaystyle \Omega }
とをそれぞれ球の内側と外側に生成される電場
と します。すると、
E
B
R
{\displaystyle \mathbf {E} _{B_{R}}}
E
C
{\displaystyle \mathbf {E} _{C}}
E
B
R
=
1
4
π
ε
0
∫
B
R
(
r
0
)
e
(
r
,
r
′
)
d
r
′
{\displaystyle \mathbf {E} _{B_{R}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{B_{R}(\mathbf {r} _{0})}e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} ){\mathrm {d} \mathbf {r} '}}
、 そして
E
C
=
1
4
π
ε
0
∫
Ω
∖
B
R
(
r
0
)
e
(
r
,
r
′
)
d
r
′
{\displaystyle \mathbf {E} _{C}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega \setminus B_{R}(\mathbf {r} _{0})}e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} ){\mathrm {d} \mathbf {r} '}}
E
B
R
+
E
C
=
E
0
{\displaystyle \mathbf {E} _{B_{R}}+\mathbf {E} _{C}=\mathbf {E} _{0}}
Φ
(
R
)
=
∮
∂
B
R
(
r
0
)
E
0
⋅
d
S
=
∮
∂
B
R
(
r
0
)
E
B
R
⋅
d
S
+
∮
∂
B
R
(
r
0
)
E
C
⋅
d
S
=
∮
∂
B
R
(
r
0
)
E
B
R
⋅
d
S
{\displaystyle \Phi (R)=\oint _{\partial B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\mathbf {E} _{0}\cdot d\mathbf {S} =\oint _{\partial B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\mathbf {E} _{B_{R}}\cdot d\mathbf {S} +\oint _{\partial B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\mathbf {E} _{C}\cdot d\mathbf {S} =\oint _{\partial B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\mathbf {E} _{B_{R}}\cdot d\mathbf {S} }
最後の等式は 、 と上記の議論を観察することによって得られます。
(
Ω
∖
B
R
(
r
0
)
)
∩
B
R
(
r
0
)
=
∅
{\displaystyle (\Omega \setminus B_{R}(\mathbf {r} _{0}))\cap B_{R}(\mathbf {r} _{0})=\emptyset }
RHS は帯電球によって生成される電束であり、次のようになります。
Φ
(
R
)
=
Q
(
R
)
ε
0
=
1
ε
0
∫
B
R
(
r
0
)
ρ
(
r
′
)
d
r
′
=
1
ε
0
ρ
(
r
c
′
)
|
B
R
(
r
0
)
|
{\displaystyle \Phi (R)={\frac {Q(R)}{\varepsilon _{0}}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\rho (\mathbf {r} '){\mathrm {d} \mathbf {r} '}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho (\mathbf {r} '_{c})|B_{R}(\mathbf {r} _{0})|}
と
r
c
′
∈
B
R
(
r
0
)
{\displaystyle r'_{c}\in \ B_{R}(\mathbf {r} _{0})}
ここで、最後の等式は積分の平均値定理に従います。 スクイーズ定理 と の連続性を使用すると 、次の式が得られます。
ρ
{\displaystyle \rho }
∇
⋅
E
0
(
r
0
)
=
lim
R
→
0
1
|
B
R
(
r
0
)
|
Φ
(
R
)
=
1
ε
0
ρ
(
r
0
)
{\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} _{0}(\mathbf {r} _{0})=\lim _{R\to 0}{\frac {1}{|B_{R}(\mathbf {r} _{0})|}}\Phi (R)={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho (\mathbf {r} _{0})}
ガウスの法則からクーロンの法則を導く 厳密に言えば、クーロンの法則はガウスの法則だけでは導出できません。ガウスの法則は E の 回転 に関する情報を何も与えないからです( ヘルムホルツ分解 と ファラデーの法則 を参照)。ただし、点電荷からの電場が球対称であると仮定すれば、ガウスの法則からクーロンの法則を証明 できます (この仮定は、クーロンの法則自体と同様に、電荷が静止している場合は正確に当てはまり、電荷が運動している場合はほぼ当てはまります)。
証明の概要 ガウスの法則の積分形式におけるS を 、 点電荷 Q を中心とする半径 r の球面とすると、
∮
S
E
⋅
d
A
=
Q
ε
0
{\displaystyle \oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}
球対称性の仮定により、積分関数は定数となり、積分から取り除くことができます。結果は次のようになります。
ここで、 r̂ は電荷から放射状に離れる方向を指す 単位ベクトル です。また、球対称性により、 E は 放射状方向を指すため、次の式が得られます
。これは基本的にクーロンの法則に相当します。したがって、 クーロンの法則における電場の
逆二乗法則依存性は、ガウスの法則から導かれます。
4
π
r
2
r
^
⋅
E
(
r
)
=
Q
ε
0
{\displaystyle 4\pi r^{2}{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}
E
(
r
)
=
Q
4
π
ε
0
r
^
r
2
{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}}
参照
注記
引用
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参考文献 ガウス、カール・フリードリヒ (1867)。 ヴェルケバンド５ ． デジタル版 ジャクソン、ジョン・デイビッド（1998年）。 古典電気力学 （第3版）。ニューヨーク：ワイリー 。ISBN 0-471-30932-X 。 デイビッド・J・グリフィス（第6版）
外部リンク ウィキメディア・コモンズのガウスの法則に関連するメディア MIT ビデオ講義シリーズ (30 x 50 分の講義) - ウォルター ・ルーウィン 教授による電気と磁気の講義。 オンライン教科書のガウスの法則のセクション 2010-05-27 に Wayback Machineでアーカイブ MISN-0-132 球面対称性に関するガウスの法則 ( PDF ファイル )、Peter Signell 著、Project PHYSNET 向け。 MISN-0-133 円筒形および平面状の電荷分布に適用されるガウスの法則 (PDF ファイル)、Peter Signell 著、プロジェクト PHYSNET 向け。
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