非負のランダム変数の連続確率分布
対数ロジスティック
確率密度関数
α = 1 、
{\displaystyle \alpha =1,}
凡例に示されている 値
β
{\displaystyle \beta}
累積分布関数
α = 1 、
{\displaystyle \alpha =1,}
凡例に示されている 値
β
{\displaystyle \beta}
パラメータ
α > 0
{\displaystyle \alpha >0}
スケール 形状
β > 0
{\displaystyle \beta >0}
サポート
x ∈ [ 0 、 ∞ ）
{\displaystyle x\in [0,\infty )}
PDF
（ β
/
α ） （ x
/
α
）
β − 1
（
1 + （ x
/
α
）
β
）
2
{\displaystyle {\frac {(\beta /\alpha )(x/\alpha )^{\beta -1}}{\left(1+(x/\alpha )^{\beta }\right)^{2}}}}
ドイツ連邦共和国
1
1 + （ x
/
α
）
− β
{\displaystyle {1 \over 1+(x/\alpha )^{-\beta }}}
クォンタイル
α
（
p
1 − p
）
1
/
β
。
{\displaystyle \alpha \left({\frac {p}{1-p}}\right)^{1/\beta }.}
平均
α π
/
β
罪 （ π
/
β ）
{\displaystyle {\alpha \,\pi /\beta \over \sin(\pi /\beta )}}
の場合 、それ以外の場合は未定義
β > 1
{\displaystyle \beta >1}
中央値
α
{\displaystyle \alpha \,}
モード
α
（
β − 1
β + 1
）
1
/
β
{\displaystyle \alpha \left({\frac {\beta -1}{\beta +1}}\right)^{1/\beta }}
の場合 、0、それ以外の場合
β > 1
{\displaystyle \beta >1}
分散
本文を見る エントロピ
行 α
− 行 β
+ 2
{\displaystyle \ln \alpha \ -\ln \beta \ +2}
MGF の
β
α
− β
∫
0
∞
e
t x
x
β − 1
（ 1 + （ x
/
α
）
β
）
2
d x
{\displaystyle \beta \alpha ^{-\beta }\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{tx}x^{\beta -1}}{(1+(x/\alpha )^{\beta })^{2}}}dx}
[1] ここで ベータ関数は [2] である 。
=
∑
n
=
0
∞
(
α
t
)
n
n
!
B
(
1
+
n
β
,
1
−
n
β
)
{\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha t)^{n}}{n!}}\mathrm {B} (1+{\frac {n}{\beta }},1-{\frac {n}{\beta }})}
B
{\displaystyle \mathrm {B} }
CF
β
α
−
β
∫
0
∞
e
i
t
x
x
β
−
1
(
1
+
(
x
/
α
)
β
)
2
d
x
{\displaystyle \beta \alpha ^{-\beta }\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{itx}x^{\beta -1}}{(1+(x/\alpha )^{\beta })^{2}}}dx}
[1] ここで ベータ関数は [2] である 。
=
∑
n
=
0
∞
(
i
α
t
)
n
n
!
B
(
1
+
n
β
,
1
−
n
β
)
{\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(i\alpha t)^{n}}{n!}}\mathrm {B} (1+{\frac {n}{\beta }},1-{\frac {n}{\beta }})}
B
{\displaystyle \mathrm {B} }
予想される不足額
α
1
−
p
(
π
β
c
s
c
(
π
β
)
−
B
p
(
1
β
+
1
,
1
−
1
β
)
)
{\displaystyle {\frac {\alpha }{1-p}}\left({\frac {\pi }{\beta }}csc\left({\frac {\pi }{\beta }}\right)-B_{p}\left({\frac {1}{\beta }}+1,1-{\frac {1}{\beta }}\right)\right)}
ここで 不完全ベータ関数である。 [3]
B
y
(
A
1
,
A
2
)
=
∫
0
y
p
A
1
−
1
(
1
−
p
)
A
2
−
1
d
p
{\displaystyle B_{y}(A_{1},A_{2})=\int _{0}^{y}p^{A_{1}-1}(1-p)^{A_{2}-1}dp}
確率 と 統計 において 、 対数ロジスティック分布 （ 経済学 では フィスク分布 として知られる）は、 非負の ランダム変数に対する 連続確率分布 である。 生存分析では、診断または治療後の癌による 死亡率 など、最初は増加し、後に減少するイベントの パラメトリックモデル として使用される。また、 水文学 では河川流量と 降水量 をモデル化するために、 経済学では 富 または 所得 の分配の単純なモデルとして 、 ネットワーク ではネットワークとソフトウェアの両方を考慮してデータの送信時間をモデル化するために使用されて いる。
対数ロジスティック分布は、 対数 が ロジスティック分布 に従う ランダム変数 の確率分布です。形状は 対数正規分布 に似ていますが、 裾が重く なっています。対数正規分布とは異なり、 累積分布関数は 閉じた形式 で記述できます 。
特徴づけ 分布のパラメータ化にはいくつかの種類があります。ここで示すものは、合理的に解釈可能なパラメータと 累積分布関数 の簡単な形式を提供します。 [4] [5]
パラメータは 尺度パラメータ であり、分布の 中央値で もあります 。パラメータは 形状パラメータ です 。分布は のとき 単峰性 であり、その 分散は が増加するにつれて減少します 。
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
β
>
0
{\displaystyle \beta >0}
β
>
1
{\displaystyle \beta >1}
β
{\displaystyle \beta }
累積分布 関数 は
F
(
x
;
α
,
β
)
=
1
1
+
(
x
/
α
)
−
β
=
(
x
/
α
)
β
1
+
(
x
/
α
)
β
=
x
β
α
β
+
x
β
{\displaystyle {\begin{aligned}F(x;\alpha ,\beta )&={1 \over 1+(x/\alpha )^{-\beta }}\\[5pt]&={(x/\alpha )^{\beta } \over 1+(x/\alpha )^{\beta }}\\[5pt]&={x^{\beta } \over \alpha ^{\beta }+x^{\beta }}\end{aligned}}}
どこ 、 、
x
>
0
{\displaystyle x>0}
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
β
>
0.
{\displaystyle \beta >0.}
確率密度 関数 は
f
(
x
;
α
,
β
)
=
(
β
/
α
)
(
x
/
α
)
β
−
1
(
1
+
(
x
/
α
)
β
)
2
{\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {(\beta /\alpha )(x/\alpha )^{\beta -1}}{\left(1+(x/\alpha )^{\beta }\right)^{2}}}}
代替パラメータ化 代替パラメータ化は、ロジスティック分布に類似した
ペアによって与えられます。
μ
,
s
{\displaystyle \mu ,s}
μ
=
ln
(
α
)
{\displaystyle \mu =\ln(\alpha )}
s
=
1
/
β
{\displaystyle s=1/\beta }
プロパティ
瞬間 番目 の生 モーメントは、 [6] [7] で与えられる場合 にのみ存在する。
k
{\displaystyle k}
k
<
β
,
{\displaystyle k<\beta ,}
E
(
X
k
)
=
α
k
B
(
1
−
k
/
β
,
1
+
k
/
β
)
=
α
k
k
π
/
β
sin
(
k
π
/
β
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X^{k})&=\alpha ^{k}\operatorname {B} (1-k/\beta ,1+k/\beta )\\[5pt]&=\alpha ^{k}\,{k\pi /\beta \over \sin(k\pi /\beta )}\end{aligned}}}
ここで、Bは ベータ関数 です。 平均 、 分散 、 歪度 、 尖度 の式はここから導き出せます。 便宜上、平均は次のように書きます。
b
=
π
/
β
{\displaystyle b=\pi /\beta }
E
(
X
)
=
α
b
/
sin
b
,
β
>
1
,
{\displaystyle \operatorname {E} (X)=\alpha b/\sin b,\quad \beta >1,}
そしてその分散は
Var
(
X
)
=
α
2
(
2
b
/
sin
2
b
−
b
2
/
sin
2
b
)
,
β
>
2.
{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\alpha ^{2}\left(2b/\sin 2b-b^{2}/\sin ^{2}b\right),\quad \beta >2.}
歪度と尖度の明示的な表現は長い。 [8] が無限大に近づく
につれて 平均はに近づき 、分散と歪度はゼロに近づき、過剰尖度は6/5に近づく（下記の関連分布も参照）。
β
{\displaystyle \beta }
α
{\displaystyle \alpha }
四分位数 分位関数 （ 逆累積分布関数）は次のとおりです。
F
−
1
(
p
;
α
,
β
)
=
α
(
p
1
−
p
)
1
/
β
.
{\displaystyle F^{-1}(p;\alpha ,\beta )=\alpha \left({\frac {p}{1-p}}\right)^{1/\beta }.}
したがって、 中央値 は 、下位 四分位数 は
、上位四分位数はとなります 。
α
{\displaystyle \alpha }
3
−
1
/
β
α
{\displaystyle 3^{-1/\beta }\alpha }
3
1
/
β
α
{\displaystyle 3^{1/\beta }\alpha }
アプリケーション ハザード関数 。 凡例に示す 値
α
=
1
,
{\displaystyle \alpha =1,}
β
{\displaystyle \beta }
生存分析 対数ロジスティック分布は、 生存分析 のための1つの パラメトリックモデル を提供します。より一般的に使用される ワイブル分布とは異なり、非 単調な ハザード関数 を持つことができます。つまり、 ハザード関数が 単峰性 である場合 （ ≤ 1の場合、ハザードは単調に減少します）。累積分布関数を閉じた形式で記述できるという事実は、 打ち切り のある生存データの分析に特に役立ちます。 [9] 対数ロジスティック分布は、グループ間で異なることを許可することにより 、またはより一般的には、共変量を導入して 共変量の線形関数として モデル化することにより、 加速故障時間モデル
の基礎として使用でき ます。 [10]
β
>
1
,
{\displaystyle \beta >1,}
β
{\displaystyle \beta }
α
{\displaystyle \alpha }
α
{\displaystyle \alpha }
β
{\displaystyle \beta }
log
(
α
)
{\displaystyle \log(\alpha )}
生存 関数 は
S
(
t
)
=
1
−
F
(
t
)
=
[
1
+
(
t
/
α
)
β
]
−
1
,
{\displaystyle S(t)=1-F(t)=[1+(t/\alpha )^{\beta }]^{-1},\,}
そして ハザード関数 は
h
(
t
)
=
f
(
t
)
S
(
t
)
=
(
β
/
α
)
(
t
/
α
)
β
−
1
1
+
(
t
/
α
)
β
.
{\displaystyle h(t)={\frac {f(t)}{S(t)}}={\frac {(\beta /\alpha )(t/\alpha )^{\beta -1}}{1+(t/\alpha )^{\beta }}}.}
形状パラメータを持つ対数ロジスティック分布は、幾何分布の 計数過程 における時間間隔の周辺分布である 。 [11]
β
=
1
{\displaystyle \beta =1}
水文学 CumFreq を 使用して 10 月の最大 1 日降雨量に累積対数ロジスティック分布を当てはめました 。 分布の当てはめも参照してください。 対数ロジスティック分布は水文学において河川流量や降水量をモデル化するために使われてきた。 [4] [5]
最大1日降雨量や月ごと、年ごとの河川流量などの極端な値は、多くの場合、 対数正規分布 に従います。 [12] しかし、対数正規分布は数値近似が必要です。解析的に解くことができる対数ロジスティック分布は対数正規分布に似ているため、代わりに使用することができます。
青い図は、10月の1日降雨量の最大値の順位付けに対数ロジスティック分布を当てはめた例を示しており、 二項分布 に基づく90% 信頼区間を 示しています。降雨量データは、 累積頻度分析 の一部として プロット位置 r /( n +1)で表されます。
経済 対数ロジスティック分布は、 経済学 において 富 や 所得 の分配の単純なモデルとして使われており、フィスク分布として知られている。 [13] ジニ係数
は である 。 [14]
1
/
β
{\displaystyle 1/\beta }
ネットワーキング 対数ロジスティックは、データがコンピュータのソフトウェア ユーザー アプリケーションから送信され、他のコンピュータ、アプリケーション、ネットワーク セグメントを経由して処理された後に同じアプリケーションが応答を受信するまでの期間を表すモデルとして使用されてきました。これらのほとんどまたはすべての処理では、厳密な リアルタイム 性が保証されていません (たとえば、アプリケーションがインターネットに接続されたリモート センサー からのデータを表示している場合など)。これらの時間のシーケンスにおける突然の変化が適切に検出される限り、 対数正規分布 やその他のモデルよりも正確な確率モデルであることが示されています。 [15]
もし そうなら
X
∼
LL
(
α
,
β
)
{\displaystyle X\sim \operatorname {LL} (\alpha ,\beta )}
k
X
∼
LL
(
k
α
,
β
)
.
{\displaystyle kX\sim \operatorname {LL} (k\alpha ,\beta ).}
もし そうなら
X
∼
LL
(
α
,
β
)
{\displaystyle X\sim \operatorname {LL} (\alpha ,\beta )}
X
k
∼
LL
(
α
k
,
β
/
|
k
|
)
.
{\displaystyle X^{k}\sim \operatorname {LL} (\alpha ^{k},\beta /|k|).}
LL
(
α
,
β
)
∼
Dagum
(
1
,
α
,
β
)
{\displaystyle \operatorname {LL} (\alpha ,\beta )\sim {\textrm {Dagum}}(1,\alpha ,\beta )}
（ ダガム分布 ）。
LL
(
α
,
β
)
∼
SinghMaddala
(
1
,
α
,
β
)
{\displaystyle \operatorname {LL} (\alpha ,\beta )\sim {\textrm {SinghMaddala}}(1,\alpha ,\beta )}
( シン-マッダラ分布 )。
LL
(
γ
,
σ
)
∼
β
′
(
1
,
1
,
γ
,
σ
)
{\displaystyle {\textrm {LL}}(\gamma ,\sigma )\sim \beta '(1,1,\gamma ,\sigma )}
（ ベータプライム分布 ）。 Xが スケールパラメータと形状パラメータ を持つ対数ロジスティック分布に従う 場合 、 Y = log( X )は 位置パラメータ とスケールパラメータを持つ ロジスティック分布に従う。
α
{\displaystyle \alpha }
β
{\displaystyle \beta }
log
(
α
)
{\displaystyle \log(\alpha )}
1
/
β
.
{\displaystyle 1/\beta .}
対数ロジスティック分布の 形状パラメータが増加するにつれて、その形状は（非常に狭い） ロジスティック分布 の形状にますます似てきます。非公式には、
β
{\displaystyle \beta }
LL
(
α
,
β
)
→
L
(
α
,
α
/
β
)
as
β
→
∞
.
{\displaystyle \operatorname {LL} (\alpha ,\beta )\to L(\alpha ,\alpha /\beta )\quad {\text{as}}\quad \beta \to \infty .}
形状パラメータと尺度パラメータ を持つ対数ロジスティック分布は、 位置パラメータ 、形状パラメータ 、尺度パラメータを持つ 一般化パレート分布 と同じである。
β
=
1
{\displaystyle \beta =1}
α
{\displaystyle \alpha }
μ
=
0
{\displaystyle \mu =0}
ξ
=
1
{\displaystyle \xi =1}
α
:
{\displaystyle \alpha :}
LL
(
α
,
1
)
=
GPD
(
1
,
α
,
1
)
.
{\displaystyle \operatorname {LL} (\alpha ,1)=\operatorname {GPD} (1,\alpha ,1).}
別のパラメータ（シフトパラメータ）を追加すると、正式には シフトされた対数ロジスティック分布 になりますが、これは通常、分布が上または下に境界付けられるように、別のパラメータ化で考慮されます。
一般化 いくつかの異なる分布は、 対数ロジスティックを特別なケースとして含んでいるため、 一般化対数ロジスティック分布と呼ばれることがあります。 [14]これらには、第2の形状パラメータを含む Burr Type XII分布（ Singh–Maddala分布 としても知られる ）と Dagum分布が 含まれます 。これらは、さらに一般的な 第2種の一般化ベータ分布の特別なケースです。対数ロジスティックのもう1つのより直接的な一般化は 、シフト対数ロジスティック分布 です 。
もう 1 つの 一般化された対数ロジスティック分布は、 メタログ分布 の対数変換です。メタログ分布 では、 の項によるべき級数展開が ロジスティック分布 パラメータ および に置き換えられます 。結果として得られる 対数メタログ分布は 、形状の柔軟性が高く、単純な閉形式 PDF と 分位関数 を持ち、線形最小二乗法でデータに適合でき、対数ロジスティック分布が特別なケースであることを包含します。
p
{\displaystyle p}
μ
{\displaystyle \mu }
σ
{\displaystyle \sigma }
参照
参考文献
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![{\displaystyle {\begin{aligned}F(x;\alpha ,\beta )&={1 \over 1+(x/\alpha )^{-\beta }}\\[5pt]&={(x/\alpha )^{\beta } \over 1+(x/\alpha )^{\beta }}\\[5pt]&={x^{\beta } \over \alpha ^{\beta }+x^{\beta }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c860ad7a222ad327423c3055592271831f9ef2d7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X^{k})&=\alpha ^{k}\operatorname {B} (1-k/\beta ,1+k/\beta )\\[5pt]&=\alpha ^{k}\,{k\pi /\beta \over \sin(k\pi /\beta )}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83b5a55c120c2cb22fd80a26bdfb1cf59dab8107)
![{\displaystyle S(t)=1-F(t)=[1+(t/\alpha )^{\beta }]^{-1},\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbf9d6e8b7c075f857d131d44f7ac07c67e43eb7)
