ほぼ確実に

確率論では、事象が確率1で発生する場合、その事象はほぼ確実に発生する（と略されることもある）と言われます（確率測度に関して）。^{[ 1 ]}言い換えれば、事象が発生しない結果の集合は、たとえその集合が空でないとしても、確率 0 を持ちます。この概念は、測度論における「ほとんど至る所」の概念に類似しています。各結果にゼロでない確率を持つ有限標本空間での確率実験では、ほぼ確実にと確実には違いがありません（確率 1 を持つということは、すべての標本点を含むことを意味するため）。しかし、標本空間が無限集合である場合、この区別は重要になります。 ^{[ 2 ]}なぜなら、無限集合には確率 0 の空でない部分集合が存在する可能性があるからです。

この概念の使用例としては、大数の法則の強いバージョンと均一バージョン、ブラウン運動の経路の連続性、無限猿定理などがあります。また、 「ほぼ確実に（ac）」と「ほぼ常に（aa）」という用語も使用されます。「ほとんどない」は「ほぼ確実に」の反対を表します。つまり、確率がゼロの事象はほとんどないということです。^{[ 3 ]}

させて${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$確率空間である。イベント${\displaystyle E\in {\mathcal {F}}}$ほぼ確実に起こる${\displaystyle P(E)=1}$同等に、${\displaystyle E}$確率がほぼ確実に${\displaystyle E}$発生しない場合はゼロです。${\displaystyle P(E^{C})=0}$より一般的には、任意の集合${\displaystyle E\subseteq \Omega }$（必ずしも$\displaystyle {\mathcal {F}}}$ほぼ確実に起こるのは${\displaystyle E^{C}}$空集合に含まれる：部分集合${\displaystyle N}$で$\displaystyle {\mathcal {F}}}$そのため${\displaystyle P(N)=0}$[ ^{4 ]ほぼ確実性}の概念は確率測度に依存する${\displaystyle P}$この依存関係を強調する必要がある場合は、イベントが${\displaystyle E}$Pがほぼ確実に、またはほぼ確実に発生します${\displaystyle \left(\!P\right)}$。

一般的に、ある事象は「ほぼ確実に」発生する可能性があり、それは、問題となっている確率空間にその事象に属さない結果が含まれている場合でも同様である。以下の例がそれを示している。

漸近解析では、ある性質が漸近的にほぼ確実に(aas) 成り立つとは、一連の集合上で確率が 1 に収束する場合をいう。これは確率収束と同値である。例えば、数論では、素数定理により、大きな数は漸近的にほぼ確実に合成数である。また、ランダムグラフ理論では、「${\displaystyle G(n,p_{n})}$接続されている「（${\displaystyle G(n,p)}$はグラフを表します${\displaystyle n}$エッジ確率を持つ頂点${\displaystyle p}$) は、ある条件を満たす場合に真である。${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle p_{n}>{\frac {(1+\varepsilon )\ln n}{n}}.}$   ^{[ 6 ]}

数論では、これは「ほとんどすべて」と呼ばれ、「ほとんどすべての数は合成数である」のように表現されます。同様に、グラフ理論では、これは「ほとんど確実に」と呼ばれることがあります。^{[ 7 ]}

• ほとんど
• ほぼあらゆる場所で、測度論における対応する概念
• 確率変数の収束、「ほぼ確実な収束」について
• 高い確率で
• クロムウェルの法則とは、確率はほとんどの場合、ゼロまたは1に設定すべきではないという法則である。
• 退化分布、「ほぼ確実に一定」の場合
• 無限猿定理、前述の用語を用いた定理
• 数学用語一覧

• Rogers, LCG; Williams, David (2000). Diffusions, Markov Processes, and Martingales . Vol.  1: Foundations. Cambridge University Press. ISBN 978-0521775946。
• ウィリアムズ、デイビッド（1991）。マルチンゲールを用いた確率論。ケンブリッジ数学教科書。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0521406055。