立体構造5単体

5 次元幾何学において、立体化 5 単体は、通常の5 単体の4 次切断(立体化) を伴う凸一様 5 多面体です。

5 単体には、切り詰め、カンテレーション、ランシネーションの順列を含む 6 つの固有の立体化があります。最も単純な立体化 5 単体は、通常の 5 単体に拡張操作を適用することで構築できるため、最初と最後のノードがリング状になった拡張 5 単体とも呼ばれます。最も高度な形式である立体化非切り詰め 5 単体は、すべてのノードがリング状になった全切り詰め 5 単体と簡単に呼ばれます。

立体化 5 単体は、通常の5 単体に拡張操作を適用することで構築できるため、拡張 5 単体と呼ばれることもあります。立体化 5 単体には、30 の頂点、120 の辺、210 の面(120 の三角形と 90 の正方形)、180 のセル(60 の四面体と 120 の三角柱)、および 62 の4 面(12 の5 セル、30 の四面体柱、20 の3-3 二重柱) があります。

• 拡張5単体
• ステリケートヘキサテロン
• 小胞十二指腸球菌（略称：scad）（ジョナサン・バワーズ）^[1]

4 次元超平面を持つ立体ヘキサトロンの最大断面は、ランシネーテッド 5 セルです。この断面は、立体ヘキサトロンを6 つの5 セル、15 の四面体プリズム、および 10 の3-3 デュオプリズムで構成される2 つの五面体ハイパーキューポラに分割します。

立体化された 5 次元単体の頂点は、6 次元空間の超平面上に (0,1,1,1,1,2) の順列として構築できます。これは、立体化された 6 次元正直交複合体の正直交 面を表します。

6次元空間における2番目の構成は、修正された6次元直交複体の中心から、次の座標順列によって与えられる。

(1,-1,0,0,0,0)

原点中心の立体ヘキサトロンの正規化された頂点の 5 次元空間における直交座標は次のとおりです。

${\displaystyle \left(\pm 1,\ 0,\​​ 0,\​​ 0,\​​ 0\right)}$

${\displaystyle \left(0,\ \pm 1,\ 0,\​​ 0,\​​ 0\right)}$

${\displaystyle \left(0,\ 0,\​​ \pm 1,\ 0,\​​ 0\right)}$

${\displaystyle \left(\pm 1/2,\ 0,\​​ \pm 1/2,\ -{\sqrt {1/8}},\ -{\sqrt {3/8}}\right)}$

${\displaystyle \left(\pm 1/2,\ 0,\​​ \pm 1/2,\ {\sqrt {1/8}},\ {\sqrt {3/8}}\right)}$

${\displaystyle \left(0,\ \pm 1/2,\ \pm 1/2,\ -{\sqrt {1/8}},\ {\sqrt {3/8}}\right)}$

${\displaystyle \left(0,\ \pm 1/2,\ \pm 1/2,\ {\sqrt {1/8}},\ -{\sqrt {3/8}}\right)}$

${\displaystyle \left(\pm 1/2,\ \pm 1/2,\ 0,\ \pm {\sqrt {1/2}},\ 0\right)}$

その 30 個の頂点は単純リー群A ₅のルートベクトルを表します。また、 5 単体ハニカムの頂点図形でもあります。

• ステリトランケートヘキサテロン
• セルリプリズムヘキサテロン（略称：カピックス）（ジョナサン・バワーズ）^[2]

座標は 6 次元空間で、次の 180 通りの順列として作成できます。

(0,1,1,1,2,3)

この構造は、立体切断された 6 正角複合体の64正角 面の 1 つとして存在します。

• 立体配座ヘキサテロン
• セルリロンバテッドドデカテロン（略称：カード）（ジョナサン・バワーズ）^[3]

座標は、次の順列として 6 次元空間で作成できます。

(0,1,1,2,2,3)

この構造は、立体的6-オルソプレックスの64のオルサント 面の1つとして存在します。

• 立体的切断ヘキサテロン
• セリグレーターホムバテッドヘキサテロン（略称：コグラックス）（ジョナサン・バワーズ）^[4]

座標は 6 次元空間で、次の 360 通りの順列として作成できます。

(0,1,1,2,3,4)

この構造は、立体的に切断された 6 オルソプレックスの64 個のオルソ ファセットの 1 つとして存在します。

• ステリルンシトランケートヘキサテロン
• セルリプリズムトトランケーテッドドデカテロン（略称：キャプティッド）（ジョナサン・バワーズ）^[5]

座標は 6 次元空間で、次の 360 通りの順列として作成できます。

(0,1,2,2,3,4)

この構造は、立体的に切断された 6 オルソプレックスの64 のオルサント 面の 1 つとして存在します。

5 次元完全切頂単体には、720 個の頂点、1800 個の辺、1560 個の面(480 個の六角形と 1080 個の正方形)、540 個のセル(360 個の切頂八面体、90 個の立方体、90 個の六角柱)、および 62 個の4 次元面(12個の 5 次元セル、30 個の切頂八面体柱、20 個の 6-6デュオプリズム) があります。

• ステリルンシカンティトランケーテッド 5 単体 (ジョンソンによる 5 次元多面体のオムニトランケーテッドの完全な説明)
• 全頭ヘキサテロン
• 大胞子十二星（略称：ゴカド）（ジョナサン・バワーズ）^[6]

5次元空間の超平面上に、最も単純には(0,1,2,3,4,5)の順列として全切断された5次元単体の頂点を構築することができる。これらの座標は、 6次元立体切断正正複合体の正正面t _0,1,2,3,4 {3 ⁴ ,4}から得られる。 。

5 次元完全切断単体は、位数 6 の置換面体です。これは、原点と 5 次元単体の 6 つの頂点を通る 6 本の直線に平行な 6 本の線分のミンコフスキー和であるゾノトープでもあります。

5-単体ハニカムは、各稜線の周囲に3つの面を持つ5-単体の面で構成されています。コクセター・ディンキン図は次のようになります。。

完全スナブ5単体またはオムニスナブ5単体は、オムニトランケーテッド5単体の交代として定義され、均一ではないが、コクセター図を与えることができる。対称性は[[3,3,3,3]] ⁺で、削除された頂点の隙間を埋める12個のスナブ5セル、30個のスナブ四面体アンチプリズム、20個の3-3デュオアンチプリズム、および360個の不規則な5セルで構成されています。

これらの多面体は、[3,3,3,3]コクセター群に基づく19 個の均一 5 次元多面体の一部であり、ここではすべて₅コクセター平面正投影で示されています。(頂点は投影の重なり順で色分けされており、頂点の数が多い順に赤、オレンジ、黄、緑、シアン、青、紫となっています)

• HSMコクセター:
  • HSM コクセター『正多面体』第 3 版、ドーバー ニューヨーク、1973 年
  • 万華鏡：HSMコクセター選集、F.アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイヴィック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN  978-0-471-01003-6 [1]
    • (論文22) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    • (論文 23) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (論文 24) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• ノーマン・ジョンソン 『均一多面体』、原稿（1991年）
  • NW ジョンソン:均一多面体とハニカムの理論、Ph.D.
• Klitzing、Richard。「5D 均一多面体 (ポリテラ)」。x3o3o3o3x - scad、x3x3o3o3x - cappix、x3o3x3o3x - card、x3x3x3o3x - cograx、x3x3o3x3x - captid、x3x3x3x3x - gocad

• ハイパースペースの用語集、ジョージ・オルシェフスキー。
• さまざまな次元の多面体
• 多次元用語集