定義と特性 p(z) = z 4 3 に対するニュートン法 。複素平面上の吸引領域 の核における第 2 ピゾー数χ (右)とその共役数。ニュートン写像のジュリア集合を オレンジ色で示し、単位円と実曲線は参照用。n 次代数的整数は、 整数 係数を持つn 次既約 単項多項式 P ( x )の根αであり、その 最小多項式 です。 P ( x )の他の根はα の共役 α > 1 ですが、 P ( x )の他のすべての根が絶対値が 1 未満の実数または複素数であり、 複素平面 の単位円 の 内側に厳密に位置する場合、αは ピゾー数 、ピゾー・ヴィジャヤラガヴァン数 、または単にPV 数 と呼ばれます。 例えば、黄金比 φ ≈ 1.618 は1 より大きい実数二次整数ですが、その共役 − φ −1 ≈ −0.618 の絶対値は 1 未満です。したがって、φ はピゾー数です。その最小多項式はx 2 − x − 1 です。
基本特性 1より大きい整数はすべてPV数である。逆に、すべての有理 PV数は1より大きい整数である。 αが最小多項式がk で終わる無理数PV数である場合、αは| k |より大きい。 αがPV数であれば、すべての正の整数指数kに対して、そのべき乗 αk 次数n の実数体 Kには 、次数 n の PV 数が必ず含まれます。この数は体生成元です。Kにおける次数n のすべての PV 数の集合は乗法に関して閉じています。 上限M と次数n が与えられた場合、次数nのPV数で M より小さいものは有限個 しか存在しない。 すべてのPV数はペロン数 （1より大きい実数で、その共役数の絶対値がすべて1より小さい数）である。
ディオファントス的な性質 PV数の主な関心は、そのべき乗が非常に「偏った」分布（mod 1）を持つという事実によるものです。αが PV数であり、λが 体上 の任意の代数的整数である場合、Q （ α ） {\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}
‖ λ α n ‖ 、 {\displaystyle \|\lambda \alpha ^{n}\|,} ここで、|| x || は実数x から最も近い整数までの距離を表し、指数関数的に 0 に近づきます。特に、これは二乗和可能な数列であり、その項は 0 に収束します。
逆の命題が2つ知られている。それらは、すべての実数と代数的数の中でPV数を特徴づけるものである（ただし、より弱いディオファントス仮定の下で）。
α は1より大きい実数であり、λ はゼロでない実数であると仮定する。∑ n = 1 ∞ ‖ λ α n ‖ 2 < ∞ 。 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\|\lambda \alpha ^{n}\|^{2}<\infty .} このとき、α はピゾー数であり、λ は体における代数的数である。Q （ α ） {\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )} ピゾーの定理 ） α は1より大きい代数的数であり、λ はゼロでない実数であると仮定する。‖ λ α n ‖ → 0 、 n → ∞ 。 {\displaystyle \|\lambda \alpha ^{n}\|\to 0,\quad n\to \infty .} このとき、α はピゾー数であり、λ は体における代数的数である。Q （ α ） {\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )} ピゾー・ヴィジャヤラガヴァンの 長年の問題は、 α が代数的であるという仮定を最後の記述から削除できるかどうかを問うものです。答えが肯定であれば、ピゾーの数は、ある補助的な実数λに対して || λα n すべての実数の中で 持つことになります。この性質を持つ数αは 可算個 しかないことが知られています。 [ 1 ] [ 2 ] 超越数 であるかどうかを判定することです。
位相的性質 すべてのピゾー数の集合はS と表記される。ピゾー数は代数的であるため、集合S は可算である。ラファエル・サレムはこの集合が閉集合であることを証明した。すなわち、すべての 極限点 を含む。[ 3 ] [ 4 ] αが与えられたとき、0 < λ ≤ α となるように実数λ を選択でき、
∑ n = 1 ∞ ‖ λ α n ‖ 2 ≤ 9. {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\|\lambda \alpha ^{n}\|^{2}\leq 9.} したがって、数列 || λα n || のℓ α に依存しない一様な定数で制限できます。証明の最後のステップでは、ピゾーの特徴付けが用いられ、ピゾー数列の極限がそれ自体ピゾー数であることが結論付けられます。
S の閉性は、 最小要素 が存在することを意味する。カール・シーゲルは 、それが方程式x³ − x − 1 = 0塑性定数 ) の正の根であり、S 内で孤立していることを証明した。[ 5 ] 彼は、黄金比φ に下から収束する 2 つのピゾー数列を構成し、 φ が S の最小の極限点であるかどうかを問うた。これは後にデュフレノワとピゾーによって証明され、彼らはまたφ より小さいSのすべての要素を決定した。それらのすべてがシーゲルの 2 つの数列に属するわけではない。ヴィジャヤラガヴァンは、 S が 無限に多くの極限点を持つことを証明した。実際、導出集合の列は
S 、 S ′ 、 S 」 、 … {\displaystyle S,S',S'',\ldots } 終了しない。一方、交差点はS （ ω ） {\displaystyle S^{(\omega )}} 空集合 であり、これはS のカントール・ベンディクソンランクが ω であることを意味する。さらに正確には、S の順序型 が決定されている。[ 6 ] 1 0 = 1 {\displaystyle a_{0}=1} n ≥ 1 に対して、順序タイプを定義する
1 n + 1 = 1 n ω + 1 + （ 1 n ω ） * 、 {\displaystyle a_{n+1}=a_{n}\omega +1+(a_{n}\omega )^{*},} ここで、ω は自然数の順序型であり、a *はaを 逆順にしたもの であり、加算と乗算は順序数 の場合と同様に解釈される。このとき、Sの 順序型はωである。
o r d （ S ） = ∑ n = 0 ∞ 1 n 。 {\displaystyle \mathrm {ord} (S)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.} セーレム数 の集合T はS と密接に関係している。Sは T の極限点の集合T' に含まれることが証明されている。[ 7 ] [ 8 ] S とT の和集合は 閉じていると推測されて いる。[ 9 ]
二次無理数 もしα {\displaystyle \alpha \,} は二次無理数 であり、共役は他に1つしかない。α ′ {\displaystyle \alpha '} の平方根 の符号を変えることによって得られるα {\displaystyle \alpha }
α = 1 + D に α ′ = 1 − D {\displaystyle \alpha =a+{\sqrt {D}}{\text{ から }}\alpha '=a-{\sqrt {D}}\,} または
α = 1 + D 2 に α ′ = 1 − D 2 。 {\displaystyle \alpha ={\frac {a+{\sqrt {D}}}{2}}{\text{ から }}\alpha '={\frac {a-{\sqrt {D}}}{2}}.\,} ここで、a とD は整数であり、2番目のケースではaは 奇数 で、Dは 4を法として1と合同 である。
必要な条件はα > 1 かつ −1 < α' < 1 です。最初のケースでは、a > 0 かつどちらかが満たされる場合に、これらの条件が満たされます。 （ 1 − 1 ） 2 < D < 1 2 {\displaystyle (a-1)^{2}<D<a^{2}} 1 2 < D < （ 1 + 1 ） 2 {\displaystyle a^{2}<D<(a+1)^{2}} 1 > 0 {\displaystyle a>0} （ 1 − 2 ） 2 < D < 1 2 {\displaystyle (a-2)^{2}<D<a^{2}} 1 2 < D < （ 1 + 2 ） 2 {\displaystyle a^{2}<D<(a+2)^{2}}
したがって、PV数である最初のいくつかの二次無理数は次のとおりです。
PV数のべき乗 ピゾー・ヴィジャヤラガヴァン数を使うと、ほぼ整数 を生成できます。ピゾー数のn乗は、 n が 大きくなるにつれて整数に近づきます。例えば、
（ 3 + 10 ） 6 = 27379 + 8658 10 = 54757.9999817 ⋯ ≈ 54758 − 1 54758 。 {\displaystyle (3+{\sqrt {10}})^{6}=27379+8658{\sqrt {10}}=54757.9999817\dots \approx 54758-{\frac {1}{54758}}.} 以来27379 {\displaystyle 27379\,} 8658 10 {\displaystyle 8658{\sqrt {10}}\,} 0.0000182 … 、 {\displaystyle 0.0000182\dots ,\,}
27379 8658 = 3.162277662 … {\displaystyle {\frac {27379}{8658}}=3.162277662\dots } 非常に近い
10 = 3.162277660 … 。 \displaystyle {\sqrt {10}}=3.162277660\dots .} 確かに
（ 27379 8658 ） 2 = 10 + 1 8658 2 。 {\displaystyle \left({\frac {27379}{8658}}\right)^{2}=10+{\frac {1}{8658^{2}}}.} べき乗が大きくなると、それに応じてより精度の高い有理近似が得られる。
この性質は、任意のn に対して、代数的整数xとその共役数の n 乗の和がちょうど整数になるという事実から生じます。これはニュートンの恒等式 を適用することで得られます。x がピゾー数である場合、他の共役数のn乗は n が 無限大に近づくにつれて 0 に近づきます。和は整数であるため、x n
小型ピソ番号 黄金比 φ を超えないすべてのピゾー数は、デュフレノワとピゾーによって決定されています。下の表は、最小のピゾー数10個を昇順に並べたものです。[ 10 ]
これらのPV数は2未満なので、すべて単位です。つまり、最小多項式は1または-1で終わります。 この表の多項式[ 11 ]
x 6 − 2 x 5 + x 4 − x 2 + x − 1 、 {\displaystyle x^{6}-2x^{5}+x^{4}-x^{2}+x-1,} はどちらかの要因です
x n （ x 2 − x − 1 ） + 1 {\displaystyle x^{n}(x^{2}-x-1)+1} または
x n （ x 2 − x − 1 ） + （ x 2 − 1 ） 。 {\displaystyle x^{n}(x^{2}-x-1)+(x^{2}-1).} 最初の多項式は、 n が奇数のときはx 2 − 1で割り切れ、 n が偶数のときは x − 1で割り切れます。また、PV 数である実数零点を 1 つ持ちます。どちらの多項式もx n で割ると、 n が 非常に大きくなるにつれてx 2 − x − 1に近づき、零点がφ に収束する 式が得られます。相補的な多項式のペアは、
x n （ x 2 − x − 1 ） − 1 {\displaystyle x^{n}(x^{2}-x-1)-1} そして
x n （ x 2 − x − 1 ） − （ x 2 − 1 ） {\displaystyle x^{n}(x^{2}-x-1)-(x^{2}-1)\,} 上方からφに近づくピゾー数が得られる。
一定のスケーリング係数によって定義される自己相似性を持つ 対数螺旋 鎖を用いた二次元乱流 モデリングは、いくつかの小さなピゾー数で再現できる。[ 12 ]
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外部リンク ピゾー数 テル、デヴィッド & ワイスタイン、エリック W. 「ピソット ナンバー」。マスワールド
