ファンデルコルプットシーケンス

ファンデルコルプット数列は、単位区間上の最も単純な 1 次元の低乖離数列の例です 。1935 年にオランダの数学者JG ファンデルコルプットによって初めて記述されました。これは、自然数(1、2、3、…) の数列の基数n表現を逆にすることで構築されます。

正の整数の -進表現は、 数が表現される基数であり 、つまりの-進展開における -番目の桁です。ファンデルコルプット数列の -番目 の数は、${\displaystyle b}$${\displaystyle n\geq 1}$$${\displaystyle n~=~\sum _{k=0}^{L-1}d_{k}(n)b^{k}~=~d_{0}(n)b^{0}+\cdots +d_{L-1}(n)b^{L-1},}$$${\displaystyle b}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 0\leq d_{k}(n)<b;}$${\displaystyle k}$${\displaystyle b}$${\displaystyle n.}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle g_{b}(n)~=~\sum _{k=0}^{L-1}d_{k}(n)b^{-k-1}~=~d_{0}(n)b^{-1}+\cdots +d_{L-1}(n)b^{-L}.}$$

たとえば、10 進数のファンデルコルプット数列を得るには、まず 1 から 9 までの数字を 10 分の 1 ずつ ( ) 割り、次に分母を 100 に変更して 100 分の 1 ずつ ( ) 割り始めます。分子に関しては、10 から 99 までのすべての 2 桁の数字から始めますが、桁の順序は逆になります。その結果、分子は最後の桁でグループ化されます。まず、1 で終わる 2 桁の分子はすべて、次の分子は 01、11、21、31、41、51、61、71、81、91 です。次に、2 で終わる分子は 02、12、22、32、42、52、62、72、82、92 です。その後は、3 で終わる分子は 03、13、23 などです。 ${\displaystyle x/10}$${\displaystyle x/100}$

したがって、シーケンスは 10 進数表現で次のように始まります。 $${\displaystyle \left\{{\tfrac {1}{10}}、{\tfrac {2}{10}}、{\tfrac {3}{10}}、{\tfrac {4}{10}} 、{\tfrac {5}{10}}、{\tfrac {6}{10}}、{\tfrac {7}{10}}、{\tfrac {8}{10}}、{\tfrac {9}{10}}、{\tfrac {1}{100}}、{\tfrac {11}{100}}、{\tfrac {21}{100} }、{\tfrac {31}{100}}、{\tfrac {41}{100}}、{\tfrac {51}{100}}、{\tfrac {61}{100}}、{\tfrac {71}{100}}、{\tfrac {81}{100}},{\tfrac {91}{100}},{\tfrac {2}{100}},{\tfrac {12}{100}},{\tfrac {22}{100} },{\tfrac {32}{100}},\ldots \right\},}$$

0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9、0.01、0.11、0.21、0.31、0.41、0.51、0.61、0.71、0.81、0.91、0.02、0.12、 0.22、0.32、…、

同じことは2進数体系でも可能で、2進数のファンデルコルプット数列は

0.1 ₂、0.01 ₂、0.11 2 _、0.001 2 _、 0.101 ₂、0.011 2 、0.111 _{2 、} 0.0001 ₂、0.1001 2 、0.0101 ₂、0.1101 ₂、0.0011 _2、0.1011 2、0.0111 2、0.1111 ₂、…_​​

あるいは、同等に、 $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}、{\tfrac {1}{4}}、{\tfrac {3}{4}}、{\tfrac {1}{8}}、{\tfrac {5}{8}}、{\tfrac {3}{8}}、{\tfrac {7}{8}}、{\tfrac {1}{16}}、{\tfrac {9}{16}}、{\tfrac {5}{16}}、{\tfrac {13}{16}}、{\tfrac {3}{16}}、{\tfrac {11}{16} }、{\tfrac {7}{16}}、{\tfrac {15}{16}}、\ldots .}$$

ファンデルコルプット列の要素（任意の基数）は、単位区間内で密な集合を形成します。つまり、 内の任意の実数に対して、その数に収束するファンデルコルプット列の部分列が存在します。また、それらは単位区間内で 等分布しています。${\displaystyle [0,1]}$

double corput ( int n 、int base ){ double q = 0 、bk = ( double ) 1 / base ;    
      

    n > 0の場合{ q += ( n %基数) * bk ; n /=基数; bk / =基数; }    
          
        
        
    

    q を返します。 

• ビット反転順列 – 2進数を反転する順列
• 低矛盾シーケンスの構成 – 数学的シーケンスの種類リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• ハルトン数列 – 統計学で使用される数値数列の一種。ファンデルコルプ数列を高次元に自然に一般化したもの。

• van der Corput、JG (1935)、「Verreilungsfunktionen (Erste Mittailung)」(PDF)、Proceedings of the Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam (ドイツ語)、38 : 813–821、Zbl  0012.34705
• カイパーズ、L. Niederreiter, H. (2005) [1974]、配列の均一分布、Dover Publications、p. 129,158、ISBN 0-486-45019-8、ZBL  0281.10001

• MathWorldの Van der Corput シーケンス