量子不等式

量子不等式^[1]は、時空における負のエネルギー密度の分布の大きさと範囲に対する局所的な制約です。量子不等式は、量子場理論における長年の課題（つまり、ある点における制約のない負のエネルギー密度の可能性）を解決するために考案されましたが、さまざまな用途があることが証明されています。^[2]

量子不等式の形式は不確定性原理を彷彿とさせます。

アインシュタインの一般相対性理論は、一方では時空の曲率、他方では時空全体にわたる物質の分布との関係を記述するものである。この関係の正確な詳細は、アインシュタイン方程式によって決定される。

${\displaystyle G_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }}$。

ここで、アインシュタイン テンソルは時空の曲率を記述し、エネルギー運動量テンソルは物質の局所的な分布を記述します。 (は定数です。) アインシュタイン方程式は、関係する量間の局所的な関係を表します。具体的には、これは結合された非線形 2 次偏微分方程式のシステムです。 ${\displaystyle G_{\mu \nu}}$ ${\displaystyle T_{\mu \nu}}$${\displaystyle \kappa}$

この時点で、非常に単純な観察ができます。エネルギー運動量のゼロ点は任意ではありません。アインシュタイン方程式の右辺に「定数」を追加すると、アインシュタインテンソルが変化し、それによって時空の曲率特性も変化します。

既知の古典的物質場はすべて、特定の「エネルギー条件」に従います。最も有名な古典的エネルギー条件は「弱いエネルギー条件」です。これは、時間のような世界線に沿って移動する観測者によって測定される局所的なエネルギー密度が非負であると主張します。弱いエネルギー条件は、古典的相対性理論の最も重要で強力な結果の多く、特にホーキングらの特異点定理に不可欠です。ホーキング放射は、ブラックホールが量子効果により熱エネルギーを放出することを示唆していますが、その事象の地平線から直接逃れるものは何もありません。このプロセスは、特定の空間で出現または消滅できるエネルギーの量に厳しい制限を設定する量子不等式と一致しています。これらの不等式により、ホーキング放射が物理法則と一致し続けることが保証され、両方の現象の現実性と極端な時空条件でのそれらの関係が強化されます。^[3]さらに、ペンローズ不等式があります。これは、ブラックホールの質量（またはエネルギー）が事象の地平線（何も逃れられない境界）のサイズに関連しているという規則です。この考えは「宇宙検閲」を支持するもので、これは「裸の」特異点（ブラックホール内の無限の密度の点）を直接見ることは決してできないという考えである。

非常に小さな粒子を扱う量子の世界では、このルールは「エントロピー」と呼ばれるものまで拡張されます。エントロピーは、システムがどれだけ無秩序または混沌としているかを測定する方法です。ブラックホールとその周囲の量子物質の両方を含むシステム全体のエントロピー（または無秩序）は決して減少しないという考えです。この考えは、量子力学の奇妙な世界でも物理法則が一貫していることを保証するのに役立ちます。^[4]

量子場理論では状況がかなり異なります。エネルギー密度の期待値は、任意の時点で負になる可能性があります。実際、状況はさらに悪く、量子物質場の状態を調整することで、局所エネルギー密度の期待値を任意の負にすることができます。

世界線量子不等式の一般的な形式は次の式です。量子不等式にはさまざまなバリエーションがありますが、すべてはこの式から派生したものです。

^[5]

^[6]自由で質量がなく、最小限に結合したスカラー場の場合、任意の慣性観測者世界線に沿って速度と固有時間に沿って次の不等式が成り立つ：^[7]${\displaystyle \tau_{0}>0}$${\displaystyle u^{i}}$ ${\displaystyle \tau}$

${\displaystyle {\frac {\tau _{0}}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\langle T_{ij}u^{i}u^{ j}\rangle d\tau }{\tau ^{2}+\tau _{0}^{2}}}\geq -{\frac {3}{32\pi ^{2}\タウ _{0}^{4}}}.}$

これは、平均された弱いエネルギー条件が であることを意味しますが、負のエネルギーのエピソードの長さに対してより厳しい制限も課します。 ${\displaystyle \tau _{0}\rightarrow \infty }$

同様の境界は、質量のあるスカラー場や電磁場に対しても構築できる。^[8]関連する定理は、負のエネルギーのパルスは、より大きな正のパルス（パルス間隔が長くなるにつれて大きさが大きくなる）によって補償される必要があることを示唆している。^[9]

上記の不等式は慣性観測者にのみ適用されることに注意する。加速観測者の場合は、より弱い境界または境界なしが伴う。^{[10] [11]}

負のエネルギー密度の分布は、しばしばエキゾチック物質と呼ばれるものを構成し、いくつかの興味深い可能性を可能にします。たとえば、アルクビエレ・ドライブは、光速を超える宇宙旅行を可能にする可能性があります。

量子不等式は、負のエネルギー密度の大きさと時空の範囲を制限します。前述のアルクビエレワープ ドライブの場合、量子不等式は、ワープ ドライブの「バブル」を作成し維持するために必要なエキゾチック マターの量が、宇宙の全質量エネルギーをはるかに超えることを予測します。

量子不等式に関する最も初期の調査はラリー・フォードとトム・ローマンによって行われ、初期の共同研究者にはタフツ大学でフォードの教え子だったミッチェル・フェニングがいた。マイケル・J・フェニングの量子不等式に関する研究は、2次元時空（ミンコフスキーおよびリンドラー）^[12]では、電磁場のエネルギーは時空の平坦な性質によりスカラー場と同様に振舞うことを示した。違いは、電磁場には2つの偏光状態があることである。しかし、4次元の曲がった時空（アインシュタインの宇宙など）では、場は異なる振舞いをするため、それぞれに異なる量子不等式が生じる。これにより、電磁場とスカラー場に対して2つの別々の方程式が生じる^{[13] 。}エアンナ・フラナガンによっても重要な研究が行われた。フラナガンの研究は、特定の種類の時空でエネルギーがどのように振舞うかを説明するのに役立つヴォリックの研究結果を拡張したものである。この研究は、特に2次元空間内の質量のない自由粒子のエネルギーを調べており、これは私たちの世界で経験する3次元空間には直接適用されません。^[14]最近では、クリス・フュースター（英国ヨーク大学）が厳密な数学を応用して、非常に一般的なさまざまな量子不等式を生み出しました。具体的な例として、自由スカラー場が計算されています。さらに、QEIは、2次元の空間と時間におけるユニタリー正エネルギー共形場理論と呼ばれる特定のタイプの量子場理論に対しても開発されています。この設定では、システムが最低エネルギー状態（真空状態）にあるときに、空間と時間におけるエネルギーと運動量の分布を表す応力エネルギーテンソルの特定の「スメア」（または平均）を測定するときに異なる結果が得られる確率を計算することができます。^[15]ライナー・ヴェルヒの研究は、量子場理論と量子力学の両方において、エネルギーと粒子の挙動を理解する上での量子不等式（QI）の役割を探求している。重要な概念の1つは「逆流現象」であり、これは特定の状況で粒子が逆流しているように見えるが、これは特定の制限によって制御されている。ヴェルヒはまた、不確定性原理に関連するワイル量子化についても調べており、粒子の位置と運動量の両方を同時に完全に決定することは不可能であることを示唆している。彼の研究はさらに、見た目に反して量子システムは根底に安定性を示し、不確定性原理や動的安定性などの量子力学の基本原理を強化することを強調している。^[16] ステファン・ホランズ氏の研究は、量子エネルギー不等式 (QEI) に焦点を当てています。これは、特定の空間と時間の領域に出現できる「負のエネルギー」の量を制限する物理学のルールです。彼は、共形場理論 (CFT) と呼ばれる特定の種類の理論について、これらの制限を研究しています。共形場理論は、2 次元の平坦な宇宙 (ミンコフスキー空間) 内の粒子と力を説明するために使用される数学モデルです。

QEI は、次の 2 つの重要な要素に依存します。

重み関数は、特定の領域に焦点を当てる数学的なツールのようなものです。理論の中心電荷は、理論の複雑さを表す数値です。重要なのは、これらの制限はシステムの特定の状態に依存しないことです。つまり、これらの制限は普遍的に適用されるということです。Hollands は、これらのルールがさまざまな状況でどのように機能するかを示しています。光よりも遅い経路 (時間的)、光速 (ゼロ)、空間領域 (空間的)、および時空全体の領域でエネルギーを測定する場合です。

重要なのは、これらのルールによって、負のエネルギーが一箇所に集中しすぎるのを防ぎ、理論が因果関係（原因が結果に先立って起こるという考え）などの基本原理と一貫性を保つことができるということです。これにより、科学者は複雑な量子システムでエネルギーがどのように振る舞うかを理解することができます。^[17]

• エルヴィン・シュレーディンガー研究所における曲がった時空上の量子場理論^{[リンク切れ‍ ]}
• 量子エネルギー不平等（ヨーク大学、英国）