デザイン効果

調査研究において、設計効果とは、特定の関心尺度（平均値など）について、あるサンプルの人々がより大きな集団をどの程度代表しているかを示す数値です。これは、単純な無作為標本を使用して人々を選ぶ以外のサンプリング方法からサンプルが取得される場合に重要です。

設計効果は正の実数 で、記号 で表されます。 の場合、サンプルは、人々がランダムに選ばれたのとまったく同じ方法で選択されました。 の場合、収集されたデータからの推論は、人々がランダムに選ばれた場合ほど正確ではありません。 ${\displaystyle {\text{Def}}}$${\displaystyle {\text{Deff}}=1}$${\displaystyle {\text{Deff}}>1}$

研究者が複雑な方法を使用してサンプルを選択する場合、デザイン効果を使用して結果を確認し、調整します。また、サンプル サイズを決定するために研究を計画するときにも使用されることがあります。

調査方法論において、デザイン効果（一般に、、またはと表記される）は、標本抽出デザインが母集団の何らかのパラメータに対する推定値の分散に及ぼすと予想される影響の尺度である。これは、（多くの場合）複雑な標本抽出デザインによる標本に基づく推定値の分散と、同じ数の要素の単純無作為標本（SRS）に基づく代替推定値の分散の比として計算される。^{[1] ：258}（推定されるか、事前にわかっているかにかかわらず）は、標本が単純無作為標本抽出を使用して抽出されていない場合に、推定値の分散を評価するために使用できる。これは、標本サイズの計算^[2]や、さまざまな標本抽出デザインで収集された標本の代表性を定量化するのに役立つこともある。 ${\displaystyle {\text{Def}}}$${\displaystyle D_{\text{eff}}}$${\displaystyle D_{\text{eft}}^{2}}$${\displaystyle {\text{Deff}}}$

設計効果は、あるパラメータの推定値の分散の膨張 ( ) または収縮 ( )を示す正の実数であり、これは研究が SRS を使用していないことに起因します (分散が同一の場合、 )。^{[3] : 53, 54}直感的に、サンプリング プロセス中に利用できる事前知識がある場合 (これはあまり一般的ではありません) はとなります。また、対照的に、データ収集能力の制限を補う必要がある場合は となることがよくあります (これはより一般的です)。一般に 1 より大きいを導入する可能性があるサンプリング設計には、クラスター サンプリング(観測値間に相関がある場合など)、層別サンプリング(層のサイズに不均衡な割り当てを行う)、クラスター ランダム化比較試験、不均衡 (不均等な確率) サンプリング (ポアソン サンプリングなど)、非カバー範囲または非回答に対するデータの統計的調整などがあります。層別サンプリングでは、層のサイズに比例配分（層のサイズが事前に分かっており、関心のある結果と相関している場合）または最適配分（層間で分散が異なり、事前に分かっている場合）を使用すると、1 より小さい値が得られることがあります。^{[引用が必要]}${\displaystyle {\text{Deff}}>1}$${\displaystyle {\text{Deff}}<1}$${\displaystyle {\text{Deff}}=1}$${\displaystyle {\text{Deff}}<1}$${\displaystyle {\text{Deff}}>1}$${\displaystyle {\text{Deff}}}$${\displaystyle {\text{Deff}}}$

文献では、既知のサンプリング設計が関心のある推定値の分散にどのように影響し、それを増加または減少させるかについて、多くの計算（および推定値）が提案されています。一般に、設計効果は、合計平均や比率平均など、関心のあるさまざまな統計量によって異なります。また、サンプリング設計が関心のある結果と相関しているかどうかも重要です。たとえば、サンプル内の各要素が異なる確率で選択されるようなサンプリング設計が考えられます。このような場合、要素の選択確率とその測定された結果との相関レベルは、その後の設計効果に直接影響を与える可能性があります。最後に、設計効果は結果自体の分布によって影響を受ける可能性があります。設計効果を実際に推定および使用する場合、これらすべての要因を考慮する必要があります。^{[4] : 13}

「デザイン効果」という用語は、レスリー・キッシュが1965 年に著した「Survey Sampling」で作った造語です。^{[1] : 88, 258}この本で、キッシュはデザイン効果の一般的な定義^[a]と、クラスター サンプリング (クラス内相関を含む) のデザイン効果の公式^{[1] : 162}、および不等確率サンプリングの有名なデザイン効果の公式^{[1] : 427}を提案しました。これらは「キッシュのデザイン効果」としてよく知られており、後に 1 つの公式に統合されました。

1995 年の論文^{[5] : 73}で、キッシュは「レキシス比」と呼ばれる同様の概念が 19 世紀末に記述されたと述べています。密接に関連するクラス内相関は1950 年にフィッシャーによって記述され、分散比の計算は 1940 年代後半から 1950 年代にかけてキッシュらによってすでに発表されていました。キッシュの定義の先駆けの 1 つは、1951 年にコーンフィールドによって行われた研究でした。^{[6] [4]}

1995 年の論文で、キッシュは、一定期間に実施された複数の調査から同じ測定量を平均化する場合、設計効果を考慮する必要があると提案しました。^{[5] : 57–62}また、単純な統計 (例: 平均) の誤差からより複雑な統計 (例: 回帰係数) に外挿する場合、設計効果を考慮する必要があると示唆しました。しかし、データを分析する場合 (例: 調査データを使用してモデルを適合させる)、調査データを分析するための専用ソフトウェアが利用できるようになったため、今日では値はあまり役に立ちません。多くの種類の設計と推定の標準誤差を計算するソフトウェアが開発される前は、分析者は、データセット内のすべてのレコードが iid であると想定したソフトウェアによって生成された標準誤差を、(以下のDeft の定義を参照) で乗算して調整していました。^[要出典]${\displaystyle {\text{Deff}}}$${\displaystyle {\text{Deft}}}$

設計効果は、一般的に（または、時には追加の添え字が付く）で表され、あるパラメータ（ ）の推定値に対する2つの理論的分散の比である：^{[1] [7]}${\displaystyle {\text{Deff}}}$${\displaystyle D_{\text{eff}}}$${\displaystyle \theta }$

• 分子は、与えられたサンプリング設計におけるパラメータ（）の推定値の実際の分散を表します。${\displaystyle {\hat {\theta }}_{w}}$${\displaystyle p}$
• 分母は、同じサンプルサイズを想定して、サンプルが置換なしの単純ランダムサンプリング の推定値を使用して取得された場合の分散を表します（）。${\displaystyle {\hat {\theta }}_{SRSWOR}}$

となることによって：

${\displaystyle {\text{Deff}}_{p}({\hat {\theta }})={\frac {var({\hat {\theta }}_{w})}{var({\hat {\theta }}_{SRSWOR})}}}$

言い換えれば、サンプルが特定のサンプリング設計（重み付けやその他の尺度など）に従って抽出および調整されたために、サンプルが単純ランダム サンプル（非置換）から抽出された場合と比較して、分散がどの程度増加（または場合によっては減少）したかを測定します。 の定義が、多くの場合未知であり、直接推定するのが難しい母集団のパラメータに基づいていることに注目してください。具体的には、実際には 1 つのサンプリング設計のみが使用されているにもかかわらず、定義には 2 つの異なるサンプリング設計での推定値の分散が含まれます。^{[引用が必要]}${\displaystyle {\text{Deff}}}$${\displaystyle {\text{Deff}}}$

例えば、母平均を推定する場合、（ある標本設計pの場合）は^{[4] ：4  [3] ：54  [b]となる。}${\displaystyle {\text{Deff}}}$

${\displaystyle {\text{Deff}}_{p}={\frac {var_{p}({\bar {y}}_{p})}{(1-f)S_{y}^{2}/n}}}$

ここで、 はサンプル サイズ、は母集団からのサンプルの割合、は（二乗）有限母集団補正（FPC）、は不偏サンプル分散、 はサンプリング設計における平均値の分散の推定値です。 上記の式の問題は、ほとんどの研究が単一のサンプリング設計のみに依存しているため、2 つの異なるサンプリング設計における推定平均値の分散を直接推定できることは非常にまれであるということです。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle f=n/N}$${\displaystyle (1-f)}$${\displaystyle S_{y}^{2}}$${\displaystyle var_{p}({\bar {y}}_{p})}$

計算方法は数多くあり、関心のあるパラメータ（例：母集団合計、母集団平均、分位数、数量比など）、使用する推定量、サンプリング設計（例：クラスターサンプリング、層別サンプリング、後層別化、多段階サンプリングなど）によって異なります。^{[8] ：98}特定の設計の推定プロセスについては、次のセクションで説明します。 ${\displaystyle {\text{Deff}}}$${\displaystyle {\text{Deff}}}$

1995年にキッシュによって提案されたに関連する量は、設計効果係数であり、（または）と略記されます。^{[5] ： 56  [4]}これは、分散比の平方根として定義され、分母には単純無作為標本（SRSWOR）ではなく単純無作為標本（SRSWR）を使用します。 ${\displaystyle {\text{Deff}}}$${\displaystyle {\text{Deft}}}$${\displaystyle D_{\text{eft}}}$

${\displaystyle {\text{Deft}}={\sqrt {\frac {{\text{var}}({\hat {\theta }}_{w})}{{\text{var}}({\hat {\theta }}_{SRSWR})}}}}$

この後者の定義（1965 年ではなく 1995 年に提案）では、キッシュはいくつかの理由から を使用することを支持しました。SRS 「無置換」（分散にプラスの効果をもたらす）は、サンプリング設計の一部であるため、設計効果の定義の分母部分に取り込まれるべきだと主張されました。また、因子は信頼区間) で使用されることが多いため、と書くよりも を使用する方が簡単であると主張されました。また、母集団が非常に大きい場合、多くの場合、 は( )の平方根（ほぼ）であるため、有限母集団補正（FPC）を正確に計算するよりも使用しやすいと言われています。^{[要出典] [c]}${\displaystyle {\text{Deft}}^{2}}$${\displaystyle {\text{Deff}}}$${\displaystyle {\text{Deft}}}$${\displaystyle {\sqrt {\text{Deff}}}}$${\displaystyle {\text{Deft}}}$${\displaystyle {\text{Deff}}}$${\displaystyle {\text{Deft}}\approx {\sqrt {\text{Deff}}}}$

それでも、研究者はさまざまなケースで、正確ではないとしても、SRS 非置換 (SRSWOR) ではなく SRS 置換 (SRSWR) を仮定して分子の分散を計算することで、近似値を求めることがあります。たとえば、特定の方法 (たとえば、各 PSU の世帯数順) でソートされたリストから、何らかのサイズの尺度に比例する確率で体系的に選択される一次サンプリング単位 (PSU) を含む多段階設計を考えてみましょう。また、いくつかの人口統計変数の合計を一致させるためにレーキングを使用する推定量と組み合わせるとします。このような設計では、非置換分散推定量に必要な PSU の結合選択確率が、PSU のいくつかのペアで 0 になります。これは、正確な設計ベース (つまり、反復サンプリング) の分散推定量が存在しないことを意味します。別の例としては、政府機関が発行した公的使用ファイルを分析に使用する場合が挙げられます。このような場合、第 1 段階ユニットの結合選択確率に関する情報はほとんど公開されません。その結果、分析者は、たとえ必要であっても、分子の置換分散を推定することができません。標準的な回避策は、PSU が置換選択されたかのように分散推定値を計算することです。これは、Stata、R 調査パッケージ、SAS 調査手順などのソフトウェア パッケージのデフォルトの選択です。^{[引用が必要]}${\displaystyle {\text{Deft}}}$

1965年にキッシュによって定義された有効サンプルサイズは、元のサンプルサイズを設計効果で割ることによって計算されます。^{[1] ：162、259  [9] ：190、192}すなわち：

${\displaystyle n_{\text{eff}}={\frac {n}{\text{Deff}}}}$

この量は、サンプル設計（および関連するパラメータ推定量）が単純ランダムサンプルに基づいている場合、既存の設計で推定量（あるパラメータについて）の現在の分散を達成するために必要なサンプルサイズを反映しています。^[10]

関連する量は有効サンプルサイズ比であり、これは単に の逆数(つまり)を取ることで計算できます。 ${\displaystyle {\text{Deff}}}$${\displaystyle {\frac {n_{\text{eff}}}{n}}={\frac {1}{\text{Deff}}}}$

たとえば、あるサンプリング設計に基づいて母集団の平均を推定するための設計効果を 2 とします。サンプル サイズが 1,000 の場合、有効なサンプル サイズは 500 になります。つまり、 1,000 サンプルに基づく加重平均の分散は、単純ランダム サンプルを使用して取得された 500 サンプルに基づく単純平均の分散と同じになります。

異なるサンプリング設計と統計的調整は、推定値（平均など）のバイアスと分散に実質的に異なる影響を及ぼす可能性がある。^{[引用が必要]}

単純ランダムサンプリングと比較して推定効率を高めることができる設計の例としては、層別サンプリングがあります。この効率は、母集団の構成に関する情報を活用することで得られます。たとえば、性別が関心のある結果と相関関係にあり、またある母集団の男女比が (たとえば) 50%-50% であることがわかっている場合、各性別からサンプルのちょうど半分をサンプリングすると、結果の推定値の分散が減ります。同様に、特定のサブ母集団に特に関心がある場合は、そのサブ母集団から意図的に過剰にサンプリングすると、そのサブ母集団について行われた推定の分散が減ります。^{[引用が必要]}

分散効率の改善は、利便性やコストのために犠牲にされることがあります。たとえば、クラスター サンプリングの場合、クラス内相関(および推定値の分散を増加させる悪影響)に関係なく、ユニットの選択確率は等しいか不等です。 (実際的な理由から) 各世帯 (つまり、サンプル クラスター) の 2 人だけから回答を収集すると決定する場合がありますが、不等な選択確率に対処するために、より複雑なサンプリング後の調整が必要になる可能性があります。また、このような決定により、クラスターから一定の割合の回答を収集するよりも効率の悪い推定値になる可能性があります。^{[引用が必要]}

サンプリング設計が事前に設定されておらず、手持ちのデータから判断する必要がある場合、加重推定値の分散とバイアスの両方が増加する可能性があります。これは、未カバー、無回答、または初期サンプリング段階では入手できなかった母集団の予期しない層分割などの問題を調整するときに発生する可能性があります。このような場合、他の方法の中でも、事後層別化、レーキング、または逆傾向スコア加重 (傾向スコアが推定される) などの統計手順を使用することがあります。これらの方法を使用するには、初期設計モデルに関する仮定が必要です。たとえば、年齢と性別に基づいて事後層別化を使用する場合、これらの変数がサンプルのバイアスのかなりの部分を説明できると想定されます。これらの推定値の品質は、追加情報の品質と、推定時に使用されたランダムに欠落した仮定に密接に関連しています。いずれにしても、推定量（傾向スコアモデルなど）がサンプリング設計の大部分をうまく捉えている場合でも、重みを使用すると、特定のデータセットに応じて、小さな違いまたは大きな違いが生じる可能性があります。^{[引用が必要]}

サンプリング設計にはさまざまな種類があるため（不均等な選択確率への影響の有無にかかわらず）、潜在的な設計効果を捉えるだけでなく、サンプリング設計を考慮した推定値の分散を推定するためのさまざまな式が開発されています。^[11]場合によっては、これらのさまざまな設計効果が複合されることがあります（不均等な選択確率とクラスターサンプリングの場合など、詳細は次のセクションで説明します）。これらの式を使用するか、または単にSRSを想定するかは、バイアスの削減の期待量と推定値の分散の増加（および方法論的および技術的な複雑さのオーバーヘッド）に依存します。^{[1] : 426}

各ユニットの選択確率がまったく同じになるようにユニットをサンプリングする方法はいくつかあります。このような方法は、等確率サンプリング(EPSEM) 法と呼ばれます。より基本的な方法には、単純ランダム サンプリング(SRS、置換ありまたはなし) や、固定サンプル サイズを取得するための系統的サンプリングなどがあります。ランダム サンプル サイズのベルヌーイ サンプリングもあります。層別サンプリングやクラスター サンプリングなどのより高度な手法も、EPSEM として設計できます。たとえば、クラスター サンプリングでは、2 段階サンプリングを使用できます。このサンプリングでは、各クラスター (サイズが異なる場合があります) を等確率でサンプリングし、2 番目の段階で SRS を使用して各クラスターから固定比率でサンプリングします (例: クラスターの半分をサンプリング、クラスター全体をサンプリングなど)。この方法では EPSEM が生成されますが、最終的に得られる要素の具体的な数は確率的 (つまり、非決定的) になります。^{[d] [12] : 3–8} EPSEMにつながるクラスターサンプリングのもう一つの戦略は、クラスターのサイズに比例する方法でクラスターをサンプリングし、次に各クラスター内の固定数の要素をサンプリングすることです。^[e]

キッシュらは、その研究の中で、不平等な選択確率につながるいくつかの既知の理由を強調している: ^{[1] : 425  [9] : 185  [5] : 69  [13] : 50, 395  [14] : 306}

1. 選択フレームまたは手順による不均衡なサンプリング。これは、研究者が特定のサブ母集団またはクラスターを意図的に過剰または不足してサンプリングした場合に発生します。例:

   • 層別サンプリングでは、ある層の単位が他の層よりも分散が大きいことが分かっています。このような場合、研究者の意図は、層間の分散に関するこの事前知識を使用して、関心のある何らかの母集団レベルのパラメータ（たとえば、平均）の推定値の全体的な分散を減らすことです。これは、最適割り当てと呼ばれる戦略によって実現できます。最適割り当てでは、層は、標準偏差が高くサンプリング コストが低いほど比例して過剰にサンプリングされます（つまり、、ここで はにおける結果の標準偏差、から 1 つの要素を募集するコストに関連します）。最適割り当ての例は、各層から人々を募集するためのコストが固定されている場合、サンプル サイズは次のようになります。 。合計はすべての層で次のようになります。nは合計サンプル サイズ、 は層hのサンプル サイズ、は全体の母集団Nと比較した層hの相対的なサイズです。は層hにおける標準誤差である。^[15]最適計画に関連する概念は最適実験計画である。${\displaystyle h}$${\displaystyle f_{h}\propto {\frac {S_{h}}{\sqrt {C_{h}}}}}$${\displaystyle S_{h}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle C_{h}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle n_{h}=n{\frac {W_{h}S_{Uh}}{\sum _{h}W_{h}S_{Uh}}}}$${\displaystyle n_{h}}$${\displaystyle W_{h}={\frac {N_{h}}{N}}}$${\displaystyle S_{Uh}}$
   • 2 つの層 (たとえば、2 つの特定の社会人口統計グループまたは 2 つの地域の人々など) を比較することに関心がある場合、小さい方のグループが過剰にサンプリングされることがあります。この方法では、2 つのグループを比較する推定値の分散が削減されます。
   • クラスター サンプリングでは、異なるサイズのクラスターが存在する可能性がありますが、この手順ではSRS を使用してすべてのクラスターからサンプリングが行われ、クラスター内のすべての要素が測定されます (たとえば、サンプリングの段階でクラスターのサイズが事前にわかっていない場合など)。
   • 2 段階のクラスター サンプリングでは、クラスター サイズが基準となります。たとえば、第 1 段階でクラスターがサイズの推定値に比例してサンプリングされ (別名:サイズに比例したPPS確率)、第 2 段階で固定比率の要素 (クラスター内の半分またはすべての要素など) が選択されると、異なるクラスターの要素の選択確率は異なります。同様のケースとして、第 1 段階で PPS を使用してクラスターをサンプリングしようとし、第 2 段階で各クラスターの固定数の要素を使用する場合がありますが、第 1 段階のサンプリングに使用されたクラスター サイズは不正確です (そのため、一部の小さなクラスターが選択される可能性が本来よりも高くなる可能性があります。また、サンプリングされる可能性が小さすぎる大きなクラスターの場合はその逆になります)。このような場合、第 1 段階で使用されるサンプリング確率の誤差が大きいほど、各要素の不均等な選択確率が大きくなります。^{[8] : 109  [f]}
   • サンプリングに使用したフレームに一部の項目の重複が含まれており、一部の項目が他の項目よりもサンプリングされる確率が高くなる場合（たとえば、サンプリングフレームが複数のリストをマージして作成された場合、または複数の広告チャネルからユーザーを募集する場合で、一部のユーザーは複数のチャネルから募集可能で、他のユーザーは1つのチャネルからのみ募集可能である場合）、異なるユニットには異なるサンプリング確率があり、このサンプリング手順はEPSEMではなくなります。^{[12] : 3–8  [9] : 186}
   • 複数の異なるサンプル/フレームを組み合わせる場合。例えば、回答者を募集するために異なる広告キャンペーンを実行する場合や、異なる研究者や異なる時期に行われた複数の研究の結果を組み合わせる場合（メタ分析など）など。^{[9] : 188}

   サンプリング設計の決定により不均衡なサンプリングが発生した場合、研究者は (場合によっては) 決定を遡って正確な包含確率を計算できる場合があります。これらの選択確率を遡って計算することが難しい場合は、補助変数 (年齢、性別など) の情報と組み合わせた傾向スコア モデルを使用して推定できます。

2. 非カバレッジ。^{[1] : 527, 528}これは、たとえば、母集団のすべての人々が含まれていない事前定義されたリストに基づいて人々がサンプリングされた場合に発生します（電話帳や調査への参加者を募集するための広告など）。これらの欠落した単位は、一部の人々（未成年者、投票できない人など）を意図的に除外したためではなく、サンプリングフレームの作成に失敗したために欠落しています。非カバレッジがサンプリング確率に与える影響は、強力な仮定を立てない限り、さまざまな調査状況で測定（および調整）するのが難しいと考えられています。関連する共変量が調整に使用されていない場合、非カバレッジの調整により不適切な重み付けが発生する可能性があります。非カバレッジを補正するために使用できる共変量がある場合、それらは不均等な調査重み付けにつながることが予想されます。
3. 非回答。これは、測定対象とされたサンプル単位で測定結果を取得できなかったことを指します。非回答の理由はさまざまで、状況によって異なります。たとえば、電話調査の実施時に電話に出られないなど、一時的に回答できない場合があります。また、さまざまな理由により、回答を拒否する場合もあります。たとえば、民族/人口統計/社会経済グループによって回答傾向が異なること、時間を費やしたりデータを共有したりする動機が不十分であること、調査を実施している機関の身元、回答できないこと (病気、読み書きができない、言語の壁など)、回答者が見つからないこと (引っ越したなど)、エンコード中または送信中に回答が失われたり破損したりしたこと (測定エラーなど) などです。調査の文脈では、これらの理由は、調査全体に回答すること、または特定の質問にのみ回答することに関連する場合があります。^{[1] : 532  [9] : 186}
4. 統計的調整。これには、ポスト層別化、レーキング、傾向スコア（推定）モデルなどの方法が含まれる場合があります。これらは、サンプルを既知の（または推定された）層のサイズに調整するために使用されます。これらの調整は、既知のサンプリング設計による不均衡を説明することを目的とした設計重み付けに加えて行うことができます。このような手順は、サンプリング誤差、サンプリングフレームのカバー率不足から非回答に至るまで、サンプリングの問題を軽減するために使用されます。^{[16] ：45  [17]}たとえば、これらの方法を使用して、サンプルをいくつかのターゲット「コントロール」（つまり、関心のある母集団）に近づけることができます。このプロセスは「標準化」とも呼ばれます。^{[9] ：187}このような場合、これらの調整は、偏りのない推定値を提供するのに役立ちます（次のセクションで説明するように、多くの場合、分散が増加するというコストを伴います）。元のサンプルが非確率サンプルである場合、ポスト層別化調整は割り当てサンプリングと同様です。^{[9] : 188, 189}単純無作為標本を使用する場合、事後層別化（何らかの補助情報を使用）では、単なる重み付けされていない推定値よりも一様に優れた推定値が得られないことに注意する。しかし、より「堅牢な」推定値と見なすことができる。^[18]あるいは、標本抽出設計が完全にわかっていて（層hの何らかの要素が選択される確率につながる）、非回答が測定可能（すなわち、層hで回答された観測値のみがわかっている）である場合、層 h の各要素 i について、正確にわかっている逆確率重みを次のように計算することができる。^{[9] : 186  [g]}選択確率を推定するために、事後層別化やレーキングなどの統計的調整が使用されることがある。例えば、同じ対象集団を持つ標本を比較する場合（対照群とのマッチングとも呼ばれる）などである。推定プロセスは、既存の母集団を代替母集団に調整することのみに焦点を当てる場合があります（たとえば、複数の地域から抽出されたパネルから国全体に外挿しようとする場合）。そのような場合、調整は何らかの較正係数に焦点を当て、重みは次のように計算される可能性があります。^{[9] ：187}ただし、他のケースでは、アンダーカバレッジと非回答の両方が統計調整の一部としてモデル化され、全体的なサンプリング確率の推定につながります（たとえば、${\displaystyle p_{h}}$${\displaystyle r_{h}}$${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{p_{h}r_{h}}}}$${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle w_{i}={\frac {c_{i}}{p_{h}r_{h}}}}$${\displaystyle p_{i}'}$）。このような場合、重みは単純に です。統計的調整が使用される場合、 はモデルに基づいて推定されることが多いことに注意してください。次のセクションの定式化では、これが既知であると仮定していますが、統計的調整の場合はそうではありません（ しかないため）。ただし、 の推定誤差が非常に小さいと仮定すると、次のセクションは既知であるかのように使用できます。この仮定が正しいかどうかは、モデリングに使用されるサンプルのサイズに依存し、分析中に念頭に置いておく価値があります。選択確率が異なる可能性があり、サンプルサイズがランダムで、ペアワイズ選択確率が独立している場合、これをポアソンサンプリングと呼びます。^[19]${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{p_{i}'}}}$${\displaystyle w_{i}}$${\displaystyle w_{i}}$${\displaystyle {\widehat {w}}_{i}}$${\displaystyle {\widehat {w}}_{i}}$

「個別ケースの重み付け」（例えば逆確率重み付け）によって不均等な確率選択を調整すると、関心のある数量のさまざまなタイプの推定量が得られる。Horvitz -Thompson 推定量などの推定量は、母集団全体と平均に対して、不偏推定量（選択確率が実際に既知であるか、または近似的に既知である場合）を生成する。Deville と Särndal（1992）は、重みの合計が母集団のサイズに等しいなど、ある条件を満たす重みを使用する推定量に対して「較正推定量」という用語を作った。より一般的には、重みの加重合計が補助変数のある数量に等しい（例えば、回答者の加重年齢の合計が各年齢層の母集団のサイズに等しいなど）。^{[20] [17] : 132  [21] : 1}${\displaystyle \sum w_{i}x_{i}=X}$

較正推定量の性質について議論する主な方法は2つある: ^{[17] : 133–134  [22]}

1. ランダム化ベース（または、サンプリング設計ベース） - この場合、サンプルで測定される関心のある結果の重み（ ）と値はすべて既知のものとして扱われます。 このフレームワークでは、結果（ Y）の（既知の）値にばらつきがあります。 ただし、ランダム性は、母集団のどの要素がサンプルに選択されたかによってのみ決まります（ と表記され、要素がサンプル内にある場合は 1 になり、そうでない場合は 0 になります）。単純ランダム サンプルの場合、それぞれは何らかのパラメータ を持つIIDベルヌーイ分布になります。 一般に、EPSEM（等確率サンプリング）は依然として何らかのパラメータ を持つベルヌーイですが、独立したランダム変数ではなくなる可能性があります。 つまり、サンプルが EPSEM であることは、選択の限界等確率が維持されることを意味しますが、選択の結合確率についてはわかりません。事後層別化のようなものでは、各層の要素の数は、ある層に属する各要素の包含確率が異なる多項分布としてモデル化できます。これらの場合、サンプル サイズ自体はランダム変数になります。${\displaystyle w_{i}}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle I_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle I_{i}}$ ${\displaystyle p}$${\displaystyle I_{i}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p_{h}}$${\displaystyle h}$
2. モデルベース- この場合、サンプルは固定され、重みも固定されますが、関心のある結果はランダム変数として扱われます。たとえば、事後層別化の場合、結果は、独立変数が各観測値を関連する層にマッピングする指標変数であり、変動性に誤差項が伴う線形回帰関数としてモデル化できます。

後で見るように、文献の証明にはランダム化に基づく枠組みに依拠しているものもあれば、モデルに基づく観点に重点を置いたものもあります。平均から加重平均に移ると、さらに複雑になります。たとえば、調査方法の文脈では、母集団のサイズ自体が推定される未知の量であると考えられることがよくあります。そのため、加重平均の計算は実際には比率推定量に基づいており、分子には合計の推定値、分母には母集団サイズの推定値があります（分散計算がより複雑になります）。^{[23] [3] : 182}

重みには多くの種類 (およびサブタイプ) があり、使用方法や解釈方法も異なります。重みによっては、その絶対値が重要な意味を持つものもあれば、重み同士の相対値が重要なものもあります。このセクションでは、後続のセクションで参照できるように、より一般的な重みの種類をいくつか紹介します。

• 頻度重み^[24]は、統計学入門コースで紹介される基本的な重み付けの種類です。これを使用すると、各重みはサンプル内の項目の絶対頻度を示す整数です。これらは、繰り返し（または発生）重みと呼ばれることもあります。特定の値には絶対的な意味がありますが、スケーリングするときなど、重みが変換されると意味が失われます。たとえば、頻度重み値が 2 と 3 の数値 10 と 20 がある場合、データを「拡散」すると、10、10、20、20、20（各項目の重みは 1）になります。頻度重みには、データセットに含まれる情報量が含まれるため、ベッセル補正を使用して、偏りのない加重分散推定などを作成できます。データセット内の各値から確認される項目の特定の数はランダムであるため、このような重みは多くの場合ランダム変数であることに注意してください。
• 逆分散加重法は、分析的加重法とも呼ばれ、 ^[24]各要素にその（既知の）分散の逆数となる重みを割り当てる方法です。 ^{[25] [9] ：187}すべての要素が同じ期待値を持つ場合、加重平均を計算するためにこのような重みを使用すると、すべての加重平均の中で分散が最小になります。一般的な定式化では、これらの重みは既知であり、ランダムではありません。
• 正規化された (凸) 重みは、凸の組み合わせを形成する重みのセットです。つまり、各重みは 0 から 1 までの数値で、すべての重みの合計は 1 になります。任意の (負でない) 重みのセットは、各重みをすべての重みの合計で割ることで正規化された重みに変換でき、これらの重みの合計は 1 になるように正規化されます。

関連する形式は、サンプル サイズ (n) に合計するように正規化された重みです。これらの (負でない) 重みの合計はサンプル サイズ (n) になり、その平均は 1 です。重みの任意のセットは、各重みをすべての重みの平均で割ることで、サンプル サイズに正規化できます。これらの重みには、1 より大きい重みを持つ要素は平均観測値よりも「影響力」が強く (たとえば、加重平均に対する相対的な影響の観点から)、1 より小さい重みは平均観測値よりも「影響力」が弱いという、適切な相対的解釈があります。

• 逆確率重み付け、または単に確率重み付け^{[24] は}、各要素に、その要素を選択する確率の逆数に比例する重みが与えられることです。たとえば、 を使用します。 ^{[9] : 185}逆確率重み付けを使用すると、各要素がターゲット母集団で「表す」項目の数を知ることができます。したがって、このような重みの合計は、対象とするターゲット母集団のサイズを返します。逆確率重み付けは、合計が 1 になるように正規化することも、合計がサンプル サイズ (n) になるように正規化することもでき、次のセクションの計算の多くで同じ結果が得られます。${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{p_{i}}}}$

サンプルがEPSEMである場合、すべての確率は等しく、選択確率の逆数は互いに等しい重み（すべて に等しく、 はサンプルサイズ、は母集団サイズ）を生成します。このようなサンプルは自己加重サンプルと呼ばれます。^{[9] : 193}${\displaystyle {\frac {N}{n}}={\frac {1}{f}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle N}$

また、「重み付け」調整を適用する間接的な方法もあります。たとえば、既存のケースを複製して、欠落している観測値（たとえば、無回答）を代入し、分散を多重代入などの方法を使用して推定することができます。別のアプローチは、いくつかのケースを削除する（重みを 0 に割り当てる）ことです。たとえば、一部の分析にとってそれほど重要でない過剰サンプルのグループの影響を減らしたい場合などです。どちらのケースも、逆確率重み付けと本質的に似ていますが、実際の適用では、重みの列を追加する代わりに、データの行数が増えたり減ったりします（一部のソフトウェア実装で入力が簡単に使用できる可能性があります）。それでも、このような実装の結果は、重みを使用するだけの場合と同様です。したがって、観測値を削除する場合は、一般的なソフトウェア実装でデータを簡単に処理できますが、行を追加する場合は、不確実性の推定に特別な調整が必要です。そうしないと、誤った結論につながる可能性があります（つまり、根本的な問題の代替表現を使用する場合、無料のランチはありません）。 ^{[9] : 189、190}

キッシュが作った「無作為な重み」という用語は、不均等な選択確率に対応する重みを指すために使用されますが、選択された要素の期待値や分散とは関係ありません。^{[9] ：190、191}

要素の無制限のサンプルを採取する場合、これらの要素をばらばらの層にランダムに分割し、各層に一定数の要素が含まれるようにすることができます。各層のすべての要素には、何らかの（既知の）非負の重みが割り当てられています（）。重みは、各層の要素の不均等な選択確率の逆数（つまり、事後層別化などの手順に続く逆確率重み付け）によって生成できます。この設定では、この設計によるサンプル加重平均の分散の増加（重みに反映）に対するキッシュの設計効果と、何らかの結果変数 y のSRS（重みと結果の間に相関がない場合、つまり無作為な重み）は、次のようになります。^{[1] : 427  [9] : 191(4.2)}${\displaystyle n}$${\displaystyle H}$ ${\displaystyle n_{h}}$${\displaystyle \sum \limits _{h=1}^{H}n_{h}=n}$${\displaystyle h}$${\displaystyle w_{h}}$${\displaystyle w_{h}}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\text{Deff}}={\frac {n\sum \limits _{h=1}^{H}(n_{h}w_{h}^{2})}{(\sum \limits _{h=1}^{H}n_{h}w_{h})^{2}}}}$

キッシュ（1992年）は、各項目をそれぞれの層から来たものとして扱い、上記の式を（よく知られている）次のバージョンに簡略化した：^{[9] ：191（4.3）  [26] ：318  [4] ：8}${\displaystyle \forall h:n_{h}=1}$

${\displaystyle {\text{Deff}}={\frac {n\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}}{(\sum _{i=1}^{n}w_{i})^{2}}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}\right)^{2}}}={\frac {\overline {w^{2}}}{{\overline {w}}^{2}}}}$

このバージョンの式は、1 つの層から複数の観測値が取得された場合 (つまり、それぞれが同じ重みを持つ場合)、または、各層から 1 つの観測値が取得された層が多数あるが、そのうちのいくつかの選択確率が同じである場合に有効です。解釈は若干異なりますが、2 つのシナリオの計算結果は同じになります。

不均等な重み付けに対してキッシュのデザイン効果を使用する場合、「キッシュの有効サンプルサイズ」の次の簡略化された式を使用できます^{[27] [1] : 162、259}

${\displaystyle n_{\text{eff}}={\frac {(\sum _{i=1}^{n}w_{i})^{2}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}}}}$

キッシュによる上記の式は、 「無作為な」重みに基づいて加重平均の分散の増加を示します。これは次の式でも表すことができます。ここで、y は不均等な選択確率を使用して選択された観測値です (クラスター内の相関はなく、結果測定の期待値や分散とは関係ありません)。 ^{[9] : 190、191} 、y' は単純ランダムサンプルから取得した場合の観測値です。

${\displaystyle {\text{Deff}}_{\text{Kish}}={\frac {{\text{var}}\left({\bar {y}}_{w}\right)}{{\text{var}}\left({\bar {y}}'\right)}}={\frac {{\text{var}}\left({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}y_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}}\right)}{{\text{var}}\left({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}y_{i}'}{n}}\right)}}}$

モデルに基づく観点を用いると、分散比の式はキッシュの式に簡略化できることが示される。^[28]この式では、キッシュの式は、n 個の観測値 ( ) がすべて (少なくとも近似的に)無相関( ) で、関心のある応答変数 (y) の分散( ) が同じ場合に成立する。また、重み自体はランダム変数ではなく、既知の定数 (たとえば、事前に決定された既知のサンプリング設計に対する選択確率の逆数)であると仮定する必要がある。 ^[要出典]${\displaystyle y_{1},...,y_{n}}$${\displaystyle \forall (i\neq j):{\text{cor}}(y_{i},y_{j})=0}$${\displaystyle \sigma ^{2}}$

y の条件は、y の観測値が同じ期待値と分散 を持つIIDである場合に自明に満たされます。このような場合、、およびを使用して推定できます。^{[9] [29]} y の期待値がすべて同じではない場合は、推定分散を計算に使用することはできません。これは、その推定ではすべてのs が同じ期待値を持つと想定しているためです。具体的には、重みと結果変数 y の間に相関関係がある場合、y の期待値はすべての観測値で同じではないことを意味します (むしろ、各観測値の特定の重み値に依存します)。このような場合、設計効果の式は正しい可能性がありますが (他の条件が満たされている場合)、加重平均の分散には別の推定量が必要になります。たとえば、加重分散推定量を使用する方がよい場合があります。^[要出典]${\displaystyle y=y'}$${\displaystyle var\left({\bar {y}}_{w}\right)}$${\displaystyle {\overline {{\text{var}}\left({\bar {y}}_{w}\right)}}={\overline {{\text{var}}\left({\bar {y}}\right)}}\times {\text{Deff}}}$${\displaystyle y_{i}}$

異なるs 値が異なる分散を持つ場合、加重分散は正しい集団レベルの分散を捉えることができますが、設計効果に関する Kish の式はもはや正しくない可能性があります。^{[引用が必要]}${\displaystyle y_{i}}$

サンプルに何らかの相関構造がある場合（クラスターサンプリングを使用する場合など）も同様の問題が発生します。^[要出典]

キッシュによる設計効果の定義は、重みの変動係数（キッシュはこれをrelvarianceまたは略してrelvar ^{[h]とも呼ぶ）と密接に関係している（}推定に未補正（母集団レベル）の標本標準偏差を使用する場合）。文献では、これについていくつかの表記法が用いられている：^{[9] : 191  [13] : 396}

${\displaystyle {\text{Deff}}=1+L=1+{C_{V}}^{2}=1+{\text{relvar}}(w)=1+{\frac {V(w)}{{\bar {w}}^{2}}}}$。

ここで、は の母分散、 は平均です。重みがサンプル サイズに対して正規化されると (つまり、重みの合計が n に等しく、平均が 1 に等しくなるように)、式は に簡約されます。重みは固定であると仮定するのは事実ですが、重みの分散は、重みのセットから 1 つの重みを (等確率で) サンプリングすることによって定義される経験分布の分散と考えることができます (単純な線形回帰で x と y の相関関係を考えるのと同様です)。^{[引用が必要]}${\displaystyle V(w)={\frac {\sum (w_{i}-{\bar {w}})^{2}}{n}}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle {\bar {w}}={\frac {\sum w_{i}}{n}}}$${\displaystyle {C_{V}}^{2}=V(w)}$${\displaystyle {\text{Deff}}=1+V(w)}$

キッシュの元々の定義は、ある標本設計における分散と単純無作為標本によって達成される分散を比較するものでした。文献によっては、キッシュの設計効果について次のような別の定義が提示されています。「すべての層単位分散が等しい場合の、不均衡層化標本における加重調査平均の分散と、比例層化標本における分散の比率」。 ^{[26] : 318  [13] : 396}これを受けて、パークとリー (2006) は、「[...][キッシュの]導出の背後にある理論的根拠は、無作為な不均等な加重による [加重平均] の精度の低下は、不均衡層化標本における分散と比例層化標本における分散の比率で近似できるということである」と述べています。 ^{[4] : 8}

この代替定義は近似値にすぎないことに注意してください。分母が「比例層別サンプリング」（層別サンプリングによって達成）に基づいている場合、そのような選択では単純ランダム サンプリングと比較して分散が低減されます。これは、層別サンプリングによって、SRS で発生する層ごとの要素の特定の数の変動の一部が除去されるためです。^{[引用が必要]}

関連して、コクラン（1977）は、最適配分からの逸脱による分散の比例増加（キッシュの公式ではLと呼ばれるもの）の公式を提供している。^{[3] ：116}

初期の論文では、 という用語が使用されていました。^{[9] : 192}設計効果の定義が増えるにつれて、不均等な選択確率に対するキッシュの設計効果は(または) 、または単に短縮して表記されました。^{[4] : 8  [13] : 396  [26] : 318}キッシュの設計効果は、2002年にLiuらによって「不均等な重み付け効果」(または単にUWE)としても知られています。^{[30] : 2124}${\displaystyle {\text{Deff}}}$${\displaystyle {\text{Deff}}_{\text{Kish}}}$${\displaystyle {\text{Deft}}_{\text{Kish}}^{2}}$${\displaystyle {\text{Deff}}_{K}}$

合計の推定量は、「p 展開置換」推定量（別名：pwr 推定量またはHansen と Hurwitz）です。これは、サイズ N の母集団からn 個のアイテム（ ）の単純ランダム サンプル（置換あり、SIRと表記）に基づいています。 ^[i]各アイテムが1 回の抽選で抽出される確率は（1 から N までの k）です（ 、つまり多項分布）。特定のアイテムがサンプルに出現する確率は です。「p 展開置換」値は、次の期待値を持ちます。したがって、pwr 推定量は、y の合計の不偏推定量です。^{[3] : 51}${\displaystyle y_{k}}$${\displaystyle p_{k}}$${\displaystyle \sum _{U}p_{k}=1}$${\displaystyle y_{k}}$${\displaystyle p_{k}}$${\displaystyle Z_{i}={\frac {y_{k}}{p_{k}}}}$${\displaystyle E[Z_{i}]=E[I_{i}{\frac {y_{k}}{p_{k}}}]={\frac {y_{k}}{p_{k}}}E[I_{i}]={\frac {y_{k}}{p_{k}}}p_{k}=y_{k}}$${\displaystyle {\hat {Y}}_{pwr}={\frac {1}{n}}\sum _{i}^{n}Z_{i}}$

2000年にブルース・D・スペンサーは、要素の選択確率と関心のある結果変数との間に相関関係がある場合に、ある量（）の合計（平均ではない）を推定することの分散に対する設計効果を推定する式を提案した。^[31]${\displaystyle {\hat {Y}}}$

この設定では、サイズNの母集団からサイズnのサンプルが（復元抽出により）抽出されます。各項目は確率（ここで、つまり多項分布）で抽出されます。選択確率は、正規化された（凸）重みを定義するために使用されます。n項目のランダム セットの場合、重みの合計が 1 に等しくなるのは期待値（ ）によってのみであり、その周囲に合計が多少変動する可能性があることに注意してください（つまり、ポアソン二項分布の要素の合計）。と の関係は、次の（母集団）単純線形回帰によって定義されます。 ${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}P_{i}=1}$${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{nP_{i}}}}$${\displaystyle E[w_{i}]=1}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle P_{i}}$

${\displaystyle y_{i}=\alpha +\beta P_{i}+\epsilon _{i}}$

ここで、 は要素iの結果であり、 に線形に依存し、は切片、 は傾きです。近似直線からの残差は です。また、 と の母分散を および と定義することもできます。との相関はです。^[要出典]${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \epsilon _{i}=y_{i}-(\alpha +\beta P_{i})}$${\displaystyle \sigma _{y}^{2}}$${\displaystyle \sigma _{\epsilon }^{2}}$${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle \rho _{y,P}}$

スペンサーの（近似）設計効果はyの合計を推定するために次のように表される：^{[31] ：138  [32] ：4  [13] ：401}

${\displaystyle {\text{Deff}}_{Spencer}=(1-{\hat {\rho }}_{y,P}^{2})(1+L)+\left({\frac {\hat {\alpha }}{{\hat {\sigma }}_{y}}}\right)^{2}L}$

どこ：

• ${\displaystyle {\hat {\rho }}_{y,P}^{2}}$推定値${\displaystyle \rho _{y,P}^{2}}$
• ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$傾斜を推定する${\displaystyle \alpha }$
• ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{y}}$母分散を推定し、${\displaystyle \sigma _{y}}$
• L は重みの相対分散であり、Kish の式で定義されます。${\displaystyle L=cv_{w}^{2}={\text{relvar}}(w)={\frac {V(w)}{{\bar {w}}^{2}}}}$

これは、回帰モデルが適切に適合し、選択確率と残差が独立していることを前提としています。これは、残差と二乗残差が重みと無相関になること、つまり、およびとなるためです。^{[31] : 138}${\displaystyle \rho _{\epsilon ,W}=0}$${\displaystyle \rho _{\epsilon ^{2},W}=0}$

個体数（N）が非常に大きい場合、式は次のように表される：^{[26] ：319}

${\displaystyle {\text{Deff}}_{Spencer}=(1-{\hat {\rho }}_{y,P}^{2})(1+cv_{w}^{2})+\left({\frac {1}{cv_{Y}^{2}}}\right)^{2}cv_{w}^{2}}$

( 以来、ここで) ${\displaystyle \alpha ={\bar {Y}}-\beta \times {\bar {P}}={\bar {Y}}-\beta \times {\frac {1}{N}}\approx {\bar {Y}}}$${\displaystyle cv_{Y}^{2}={\frac {\sigma _{Y}^{2}}{{\bar {Y}}^{2}}}}$

この近似は、 Pとyの間に線形関係が成り立つことを前提としています。また、重みと誤差の相関関係と誤差の二乗は両方ともゼロです。つまり、および。^{[32] ：4}${\displaystyle \rho _{w,e}=0}$${\displaystyle \rho _{w,e^{2}}=0}$

ならば（つまりyの平均）となることに注意する。このような場合、式は次のように簡約される。 ${\displaystyle {\hat {\rho }}_{y,P}\approx 0}$${\displaystyle {\hat {\alpha }}\approx {\bar {y}}}$

${\displaystyle {\text{Deff}}_{Spencer}=(1+L)+\left({\frac {1}{{\text{relvar}}(y)}}\right)^{2}L}$

yの分散がその平均よりもはるかに大きい場合にのみ、右端の項は0に近くなり（つまり、）、スペンサーの設計効果（推定合計の場合）がキッシュの設計効果（比率平均の場合）と等しくなります：^{[32] ：5}。それ以外の場合、2つの式は異なる結果を生成し、合計の設計効果と平均の設計効果の違いを示します。 ${\displaystyle {\frac {1}{{\text{relvar}}(y)}}={\frac {\bar {Y}}{\sigma _{y}}}\approx 0}$ ${\displaystyle {\text{Deff}}_{Spencer}\approx (1+L)={\text{Deff}}_{\text{Kish}}}$

2001年にパークとリーはスペンサーの公式を比率平均（すなわち、全体の推定値を人口規模の推定値で割って平均を推定する）のケースに拡張した。それは次の通りである：^{[32] : 4}

${\displaystyle {\text{Deff}}_{Park\&Lee}=(1-{\hat {\rho }}_{y,P}^{2})(1+cv_{w}^{2})+{\frac {{\hat {\rho }}_{y,P}^{2}}{cv_{P}^{2}}}cv_{w}^{2}}$

どこ：

• ${\displaystyle cv_{P}^{2}}$選択確率の（推定）二乗変動係数です。

Park と Lee の式は、 の場合には Kish の式とまったく同じになります。どちらの式もyの平均の設計効果に関係しますが、Spencer の式は母集団合計の推定に関係します。 ${\displaystyle {\hat {\rho }}_{y,P}^{2}=0}$${\displaystyle {\text{Deff}}}$

一般的に、合計（ ）の は、 が小さい場合、比率平均（）のよりも効率が低くなる傾向があります。そして、一般的に、 は両方の設計効果の効率に影響を与えます。^{[4] : 8}${\displaystyle {\text{Deff}}}$${\displaystyle {\hat {Y}}}$${\displaystyle {\text{Deff}}}$${\displaystyle {\hat {\bar {Y}}}}$${\displaystyle \rho _{y,P}}$${\displaystyle \rho _{y,P}}$

クラスター サンプリングを使用して収集されたデータについては、次の構造を想定します。

• ${\displaystyle n_{k}}$各クラスターとK 個のクラスター内の観測値、および合計観測値。${\displaystyle n=\sum n_{k}}$
• 観測値にはブロック対角相関行列があり、同じクラスターのすべての観測値のペアはクラス内相関で相関していますが、異なるクラスターのすべてのペアは相関していません。^[33]つまり、すべての観測値のペア と について、それらが同じクラスター に属する場合は、 が得られます。また、2つの異なるクラスターの2つの項目は相関していません。${\displaystyle \rho }$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle k}$${\displaystyle cov(y_{i},y_{j})=\rho \sigma ^{2}}$${\displaystyle cov(y_{i},y_{j})=0}$
• どのクラスターの要素も同じ分散を持つと仮定します: 。${\displaystyle {\text{var}}(y_{i})=\sigma _{h}^{2}=\sigma ^{2}}$

クラスターがすべて同じサイズである場合、 1965年にキッシュによって提案された（後に他の人によって再検討された）設計効果Deff_{は次のように与えられる：} ^{[1] ：162  [13] ：399  [4] ：9  [34] [35] [14] ：241}${\displaystyle n^{*}}$

${\displaystyle {\text{Deff}}=1+(n^{*}-1)\rho .}$

と表記されることもある。^{[30] : 2124}${\displaystyle {\text{Deff}}_{C}}$

様々な論文では、クラスターサイズが等しくない場合、上記の式は平均クラスターサイズ（と表記されることもある）としても使用される。^{[36] [28] : 105}このような場合、キッシュの式（平均クラスター重みを使用）は正確な設計効果の保守的な（上限）値として機能する。^{[28] : 106}${\displaystyle n^{*}}$${\displaystyle {\bar {b}}}$

クラスターサイズが等しくない場合は、別の公式も存在する。^{[1] : 193}フォローアップ研究では、さまざまな仮定のもとで平均クラスターサイズを使用することの感度について議論した。^[37]

1987年の論文で、キッシュは、不均等な選択確率を考慮した重み付けとクラスターサンプリングの両方の効果を組み込んだ複合設計効果を提案した。^{[36] ：16  [28] ：105  [38] ：4  [32] ：2}

${\displaystyle {\text{Deff}}_{\text{Kish}}={\frac {n\sum \limits _{h=1}^{H}(n_{h}w_{h}^{2})}{\left(\sum \limits _{h=1}^{H}n_{h}w_{h}\right)^{2}}}\left(1+(n^{*}-1)\rho \right)={\text{Deff}}_{k}\times {\text{Deff}}_{C}}$

上記は、この論文で使用されているものと同様の表記法を使用しています（1987年のオリジナルの出版物では異なる表記法が使用されていました）。^[j]この式のモデルに基づく正当性は、Gablerらによって提供されました。^[28]

2000年、LiuとAragonは、層別サンプリングにおける異なる層に対する不均等な選択確率の設計効果の分解を提案した。^[39] 2002年、Liuらはその研究を拡張し、各層内に不均等な選択確率の重みのセットがある層別サンプルを考慮した。クラスターサンプリングは、グローバルまたは層ごとに行われる。^[30]同様の研究は、2003年にParkらによっても行われた。^[40]

Chen-Rust は、Gabler ら^[28 ] が提案した設計効果に関する Kish の 1987 年の公式のモデルベースの正当化を拡張し、第 1 段階で層別化を行う 2 段階設計と、層別化を行わない 3 段階設計に適用しています。^[41]修正された公式は、調査の重みと集団のクラスター内相関を使用して全体的な設計効果を定義します。これらの公式により、さまざまなソースからの設計効果の洞察力のある解釈が可能になり、完了した調査のクラスター内相関を推定したり、将来の調査での設計効果を予測したりできます。^{[引用が必要]}${\displaystyle {\text{Deff}}}$

Henry ら^[26]は、 （共変量のベクトル、モデル誤差は独立、母集団合計の推定量は Särndal、Swensson、および Wretman (1992) の一般回帰推定量 (GREG)）の場合について、単一段階サンプリングとキャリブレーション重み調整のための拡張モデル支援重み付け設計効果尺度を提案している。 ^[3]この新しい尺度は、非 epsem サンプリング設計、キャリブレーション調整による不均等な重み、および分析変数とキャリブレーションで使用される補助変数との相関の複合効果を考慮している。 ${\displaystyle {\text{Deff}}}$${\displaystyle y_{i}=\alpha +\beta x_{i}+\epsilon _{i}}$${\displaystyle x_{i}}$

Lohr の^{[42] は}、ランダム係数回帰モデルを使用したクラスターサンプリングのコンテキストにおける通常最小二乗法 (OLS) および一般化最小二乗法 (GLS) 推定量に関するものです。Lohr は、回帰勾配の GLS 推定量の設計効果が 1 未満となり、効率性が高くなる条件を提示しています。ただし、GLS 推定量の設計効果は、モデルの仕様に非常に敏感です。基礎となるランダム係数モデルがランダム切片モデルとして誤って指定されると、設計効果が大幅に過小評価される可能性があります。対照的に、回帰勾配の OLS 推定量と設計ベースの観点から計算された設計効果は、分散構造の誤った指定に対して堅牢であり、モデル仕様が正確でない可能性がある状況でも信頼性が高くなります。^{[引用が必要]}${\displaystyle {\text{Deff}}}$

${\displaystyle Deff}$将来のデータ収集を計画する際に、また診断ツールとしても使用できる。^{[14] : 85}

• 将来のデータ収集を計画する際には、サンプリング効率を評価するために使用できます。たとえば、サンプリング設計の決定により、分散が「過度に」増加する可能性がある場合や、代替の（経済的に実行可能な）設計の方が効率的である場合などです。これは、サンプル サイズ（全体、層ごと、クラスターごとなど）にも影響します。サンプル サイズを計画する際には、インタビュアー効果（測定エラー）をサンプリング設計がサンプリング分散に与える影響から切り離すように、設計効果を修正する作業が行われる場合があります。^[43]${\displaystyle Deff}$
• 診断ツールとして-事後重み付け分析の潜在的な問題（例えば、非回答調整による）を評価するのに役立つ場合があります。^[8]たとえば、値が特に高い場合、サンプリングまたは重み付けスキームに問題があることを示している可能性があります。これは、重みに対して何らかの操作（重みのトリミングなど）を実行するときにも役立ちます。デザイン効果を使用して、操作が有効なサンプルサイズに与える影響を評価できます。^[44]また、データまたはその分析に関する明白な問題（間違いから外れ値の存在まで）を特定することもできます。^{[9] : 191}一部の文献では、注意が必要であると示唆されていますが、^{[13] : 396}どのデザイン効果の値が「高すぎる」かについての普遍的な経験則はありません。値の実用的な考慮事項は、多くの場合、コンテキストに依存します。^{[オリジナルの研究? ]}${\displaystyle Deff}$${\displaystyle Deff}$${\displaystyle Deff>1.5}$${\displaystyle Deff}$

^{[5] : 57–62}ソース母集団がIIDに近い場合、またはデータのサンプルデザインが単純ランダムサンプルとして抽出された場合、デザイン効果を考慮する必要はありません。また、サンプルサイズが比較的小さい場合（少なくとも部分的には、実用的な理由から）にもあまり役に立ちません。^{[オリジナルの研究? ]}

キッシュは当初、設計効果がデータの分布、サンプリング確率、それらの相関関係、および関心のある統計にできるだけ依存しないようにすることを望んでいたが、その後の研究では、これらが設計効果に影響を与えることがわかった。したがって、どの計算を使用するか、どのように使用するかを決定する際には、これらの特性を慎重に考慮する必要がある。^{[4] : 13  [32] : 6}${\displaystyle Deff}$

信頼区間を構築するときに設計効果が適用されることはめったにありません。理想的には、特定のパラメータの推定量について、単純ランダムサンプル (SRS) による置換での分散と設計効果 (分散を変えるサンプリング設計のすべての要素を考慮) の両方を決定で​​きるはずです。このようなシナリオでは、基本分散と設計効果を掛け合わせて、特定の設計の推定量の分散を計算できます。^{[1] : 259}この計算された値を使用して、信頼区間を形成できます。ただし、実際のアプリケーションでは、両方の値を同時に推定することはまれです。その結果、他の方法が好まれます。たとえば、テイラー線形化は、加重平均の分散に基づいて信頼区間を構築するために利用されます。より広義には、複製重みとも呼ばれるブートストラップ法が、さまざまな加重統計に適用されます。^{[引用が必要]}

Kish の設計効果は、さまざまな統計ソフトウェア パッケージに実装されています。

• R: surveyパッケージのsurveysummary。^{[45]これは他のRパッケージ（例：pewmethods、 [46]}やsamplesize4surveys ^[47] ）にも実装されています。
• Python:balanceパッケージのdesign_effect。^[48]
• SAS: Proc Surveymeansの使用。^[49]
• Stata: svy:meanコマンドの後にestat事後推定コマンドを使用する。^[50]

• スーダーン^[51]
• WESVAR: キッシュの設計効果を置換法（SRSWR）で計算する。^[52]${\displaystyle Deft}$

この記事は、2023年に外部学術査読のためにWikiJournal of Scienceに提出されました（査読者レポート）。更新されたコンテンツは、CC-BY-SA-3.0ライセンス（ 2024年）の下でWikipediaページに再統合されました。査読済みの記録バージョンは次のとおりです： Tal Galili; et al. (5 May 2024). "Design effect" (PDF) . WikiJournal of Science . 7 (1): 4. doi : 10.15347/WJS/2024.004 . ISSN  2470-6345. Wikidata  Q116768211.