二重オブジェクト

数学の一分野である圏論において、双対対象は、任意のモノイド圏の対象に対する線型代数の双対ベクトル空間の類似物である。これは有限次元ベクトル空間の双対性の圏論的性質に基づく部分的な一般化にすぎない。双対を許容する対象は双対可能対象と呼ばれる。この形式では、双対ベクトル空間V ^{∗ が}公理を満たさないため、無限次元ベクトル空間は双対可能ではない。^[1]多くの場合、対象は有限性またはコンパクト性の性質を満たす場合にのみ双対可能である。^[2]

各オブジェクトが双対を持つカテゴリは、自律的または剛性と呼ばれます。標準的なテンソル積を持つ有限次元ベクトル空間のカテゴリは剛性ですが、すべてのベクトル空間のカテゴリは剛性ではありません。

V をある体 K上の有限次元ベクトル空間とする。双対ベクトル空間 V ^∗の標準的な概念には次の性質がある。任意のKベクトル空間UとWに対して、 Hom _K ( U ⊗ V , W ) = Hom _K ( U , V ^∗ ⊗ W )の随伴関係があり、これがV ^{∗ を唯一の}同型を除いて特徴付ける。この表現は、ベクトル空間のテンソル積を適切に置き換えた任意のカテゴリで意味をなす。任意のモノイドカテゴリ( C , ⊗) に対して、オブジェクトVの双対を、自然な同型の双関数を持つオブジェクトV ^∗ ∈ Cとして定義しようとすることがある。

Hom _C ((–) ₁ ⊗ V , (–) ₂ ) → Hom _C ((–) ₁ , V ^∗ ⊗ (–) ₂ )

双対性の適切な概念としては、この写像は圏論の意味で自然であるだけでなく、何らかの形でモノイド構造を尊重する必要がある。^[1]したがって、双対オブジェクトの実際の定義はより複雑である。

閉じたモノイド圏 C 、すなわち内部 Hom関手を持つモノイド圏では、代わりのアプローチとして、双対ベクトル空間の標準定義を関数の空間としてシミュレートする方法があります。オブジェクトV ∈ Cに対して、 V ^{∗ を}と定義します。ここで、1 _Cはモノイド単位元です。場合によっては、このオブジェクトは上記の意味でVの双対オブジェクトになりますが、一般的には異なる理論につながります。 ^[3]${\displaystyle {\underline {\mathrm {Hom} }}_{C}(V,\mathbb {1} _{C})}$

モノイドカテゴリ内のオブジェクトを考えます。2つの射が存在する場合、 オブジェクトはの左双対と呼ばれます。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (\mathbf {C} ,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho )}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \eta :I\to X\otimes X^{*}}$は共評価と呼ばれ、 は評価と呼ばれ、${\displaystyle \varepsilon :X^{*}\otimes X\to I}$

次の 2 つの図は可換である:

このオブジェクトはの右双対と呼ばれます。この定義は Dold & Puppe (1980) によるものです。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{*}}$

左双対は存在する場合、右双対と同様に正準同型です。Cが編み込み型(または対称型) の場合、すべての左双対は右双対でもあり、その逆も同様です。

モノイドカテゴリを1 つのオブジェクトを持つ双カテゴリとして考えると、双対はまさに随伴ペアになります。

• 標準テンソル積を持つ体K上のベクトル空間のモノイドカテゴリ(Vect _K , ⊗ _K )を考えます。空間Vは有限次元である場合にのみ双対化可能であり、この場合、双対対象V ^{∗ は}双対ベクトル空間の標準的な概念と一致します。
• 標準テンソル積を持つ可換環R上の加群のモノイドカテゴリ (Mod _R , ⊗ _R )を考えます。加群Mが双対化可能であるのは、有限生成射影加群である場合に限ります。その場合、双対オブジェクトM ^{∗ は}準同型Hom _R ( M , R )の加群によっても与えられます。
• スマッシュ積をモノイド構造とする尖ったスペクトルHo(Sp)のホモトピー圏を考える。Mが（例えば、コンパクトで滑らかな多様体）内のコンパクトな近傍リトラクトである場合、対応する尖ったスペクトル Σ ^∞ ( M ^{+ ) は双対化可能である。これは}スパニエ-ホワイトヘッド双対性の結果であり、コンパクト多様体に対するポアンカレ双対性が特に意味される。^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• カテゴリの自己関数者のカテゴリは、関数者の合成に関するモノイドカテゴリです。関数者が関数者の左双対である場合、かつその場合のみ、関数者は に左随伴します。^[4]${\displaystyle \mathrm {終了} (\mathbf {C} )}$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$

すべてのオブジェクトが左（それぞれ右）双対を持つモノイドカテゴリは、左（それぞれ右）自律カテゴリと呼ばれることがあります。代数幾何学者はこれを 左（それぞれ右）剛体カテゴリと呼びます。すべてのオブジェクトが左と右の双対の両方を持つモノイドカテゴリは、自律カテゴリと呼ばれます。対称でもある自律カテゴリは、コンパクト閉カテゴリと呼ばれます。

双対可能オブジェクトの任意の自己準同型f はトレースを許容します。これはCのモノイド単位の特定の自己準同型です。この概念には、非常に特殊なケースとして、線型代数のトレースと連鎖複体のオイラー特性が含まれます。

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