楕円単位

数学において、楕円単位は、モジュラー関数の特異値、または楕円関数の除算値を使用して構成される虚二次体のアーベル拡大の特定の単位です。これらは 1973 年にジル・ロベールによって導入され、ジョン・コーツとアンドリュー・ワイルズによってバーチ予想とスウィナートン・ダイアー予想に関する研究で使用されました。楕円単位は、円分単位の虚二次体と類似しています。これらはオイラー系の一例を形成します。

楕円曲線 Eに対して、虚数二次体Fの整数環Rとの複素乗算によって楕円単位系を構築することができる。簡単のため、 F は類数1であると仮定する。 Rのイデアルをaとし、生成元を α とする。Eのワイエルシュトラスモデルに対して、 次のように定義する。

${\displaystyle \Theta _{\mathbf {a} }(P)=\alpha ^{-12}\Delta _{E}^{N\mathbf {a} -1}\prod _{\mathbf {a} P=0,P\neq 0}(xx(P))^{-6}\ .}$

ここで、PはE上の点、 Δ は判別式、x はワイエルシュトラスモデル上の X 座標です。関数 Θ はモデルの選択に依存せず、 Eの定義体上で定義されます。

b をaと互いに素なRのイデアルとし、 Q をb捩れのR生成元とする。すると、 Θ _a ( Q ) は光線類体K ( b )上で定義され、b が素数冪でない場合、 Θ _a ( Q ) はグローバル単位となる。b が素数pの冪である場合、 Θ _a ( Q ) はpから 1 単位離れている。

関数 Θ _{a は}、 b = (β) がaと互いに素であるとき、分布関係を満たす。

${\displaystyle \prod _{\mathbf {b} Q=0}\Theta _{\mathbf {a} }(P+R)=\Theta _{\mathbf {a} }(\beta P)\ .}$

• モジュラーユニット

• Coates, JH ; Greenberg, R.; Ribet, KA ; Rubin, K. (1999).楕円曲線の算術理論. 数学講義ノート. 第 1716 巻. Springer-Verlag . ISBN 3-540-66546-3。
• コーツ、ジョン、ワイルズ、アンドリュー(1977)。「バーチとスウィナートン＝ダイアーの予想について」。Inventiones Mathematicae。39 ( 3): 223–251。doi : 10.1007 /BF01402975。Zbl 0359.14009  。
• ダニエル・S・クバート;ラング、セルジュ(1981)。モジュラーユニット。 Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften。 Vol. 244. ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag。ISBN 978-0-387-90517-4. MR  0648603. Zbl  0492.12002.
• ロバート、ジル・ユニテスの楕円形。 (楕円単位) Bull.社会数学。フランス、補足。メム。 No.36.雄牛。社会数学。フランス、Tome 101。フランス数学協会、パリ、1​​973 年。77 ページ。