L関数の特殊値

数学において、 L関数の特殊値の研究は、 πのライプニッツの公式などの公式を一般化することに専念する数論のサブ分野である。$${\displaystyle 1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,{\frac {1}{9}}\,-\,\cdots \;=\;{\frac {\pi }{4}},\!}$$

左辺の式が等しいことを認識することによって${\displaystyle L(1)}$どこ${\displaystyle L(s)}$はガウス有理数体に対するディリクレL関数である。右辺は解析的類数公式から導かれ、因子は${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$ガウス場のクラス番号が1であり、4つの1の根を含むため、この現象が現れます。

L関数の一般クラス（最も一般的な設定は、数体上のチャウモチーフに関連するL関数）に対して定式化された2つの予想群があり、その2つへの分割は、以下の問題を反映している。

1. 交換方法${\displaystyle \pi }$ライプニッツの公式を何らかの別の「超越数」で置き換える（超越数論が現在その超越性の証明を提供できるかどうかに関わらず）。
2. 式中の有理因子（クラス番号÷1の根の数）を、 L関数の値と「超越」因子の比を表す有理数の代数的構成によって一般化する方法。

整数値に関する補足説明が与えられています。${\displaystyle n}$このような式には、${\displaystyle L(n)}$維持されると予想される。

(a) の予想は、アレクサンダー・ベイリンソンにちなんでベイリンソン予想と呼ばれています。^{[ 1 ] [ 2 ]}このアイデアは、数体のレギュレータから、代数的 K 理論から得られる実ベクトル空間上に構築された行列式である「高次のレギュレータ」（ベイリンソン レギュレータ）へと抽象化することです。

(b) の予想は、特殊値に対するブロッホ・カトー予想(スペンサー・ブロッホと加藤和也にちなんで) と呼ばれています。この一連のアイデアは、K 理論のブロッホ・カトー予想とは異なり、ミルナー予想を拡張したもので、その証明は 2009 年に発表されました。また、タマガワ数予想とも呼ばれ、この名前は、バーチ・スウィンナートン・ダイアー予想と、線形代数群のタマガワ数問題の楕円曲線版としての定式化に由来します。^{[ 3 ]}さらに拡張して、これらのアイデアと岩沢理論、いわゆる主予想との関連性を強化するために、同変タマガワ数予想 (ETNC) が定式化されました。

• ブルーマー・スターク予想

• Kings, Guido (2003)、 「 L関数の特殊値に関するブロッホ・カトー予想。既知の結果の概観」、Journal de théorie des nombres de Bordeaux、15 (1): 179–198、doi : 10.5802/jtnb.396、ISSN 1246-7405、MR 2019010  
• 「ベイリンソン予想」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• 「代数幾何学におけるK関数」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• Mathar, Richard J. (2010), "小さなモジュライに対するディリクレL級数と素数ゼータモジュロ関数の表", arXiv : 1008.2547 [ math.NT ]

• L-funktionen und die Vermutingen von Deligne und Beilinson (L-関数とドリーニュとベイルソンソンの予想)