結合（トポロジー）

• 2つの単体の結合は単体です。n次元単体とm次元単体の結合は( m + n + 1)次元単体です。いくつかの特殊なケースは次のとおりです。
  • 互いに素な2点を結ぶ線は区間である（m = n = 0）。
  • 点と区間の結び目は三角形である（m=0、n=1）。
  • 2 つの線分の接合部は、右上の図に示されているように、立体四面体または二面体と同相です ( m = n = 1)。
  • 点と ( n -1) 次元単体の結合はn次元単体である。
• 点と多角形（または任意の多面体）の結合はピラミッドであり、点と正方形の結合が正四角錐であるのと同様である。点と立方体の結合は立方ピラミッドである。
• 点と円の結び目は円錐であり、点と球の結び目は超円錐である。

• 仮定する${\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\}\}}$そして${\displaystyle B=\{\emptyset ,\{b\}\}}$つまり、1点を持つ2つの集合。${\displaystyle A\star B=\{\emptyset ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}}$これは線分を表します。AとBの頂点集合は互いに素であることに注意してください。そうでなければ、それらを互いに素にする必要があります。たとえば、${\displaystyle A^{\star 2}=A\star A=\{\emptyset ,\{a_{1}\},\{a_{2}\},\{a_{1},a_{2}\}\}}$ここで、a ₁とa ₂はV(A)の単一要素の2つのコピーである。位相的には、結果は以下と同じである。${\displaystyle A\star B}$線分。
• 仮定する${\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\}\}}$そして${\displaystyle B=\{\emptyset ,\{b\},\{c\},\{b,c\}\}}$。 それから${\displaystyle A\star B=P(\{a,b,c\})}$これは三角形を表しています。
• 仮定する${\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\},\{b\}\}}$そして${\displaystyle B=\{\emptyset ,\{c\},\{d\}\}}$つまり、2つの離散点を持つ2つの集合です。${\displaystyle A\star B}$多面的な複合体である${\displaystyle \{a,c\},\{b,c\},\{a,d\},\{b,d\}}$これは「正方形」を表します。

組み合わせ論的定義は、次の意味で位相論的定義と同等である。^{[ 3 ] : 77、演習.3}任意の2つの抽象単体複体について${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$、${\displaystyle ||A\star B||}$は同相である${\displaystyle ||A||\star ||B||}$、 どこ${\displaystyle ||X||}$は、複素数の任意の幾何学的実現を表す。${\displaystyle X}$。

2 つの空間の結合は同相写像を除いて 可換である。${\displaystyle A\star B\cong B\star A}$。

上記で定義した結合演算が任意の位相空間に対して同相写像を除いて結合的であるというのは正しくない。しかし、局所的にコンパクトなハウスドルフ空間の場合${\displaystyle A,B,C}$我々は持っています${\displaystyle (A\star B)\star C\cong A\star (B\star C).}$したがって、空間とそれ自身とのk回結合を定義することができる。${\displaystyle A^{*k}:=A*\cdots *A}$（k回）

異なる結合操作を定義することが可能です。${\displaystyle A\;{\hat {\star }}\;B}$これは、${\displaystyle A\star B}$しかし、位相が異なり、この演算はすべての位相空間に対して結合法則を満たす。局所的にコンパクトなハウスドルフ空間の場合${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$結合${\displaystyle A\star B}$そして${\displaystyle A\;{\hat {\star }}\;B}$一致する。^{[ 4 ]}

もし${\displaystyle A}$そして${\displaystyle A'}$ホモトピー同値である場合、${\displaystyle A\star B}$そして${\displaystyle A'\star B}$それらはホモトピー同値でもある。^{[ 3 ]： 77、演習2}

基点付きCW複体が与えられた場合${\displaystyle (A,a_{0})}$そして${\displaystyle (B,b_{0})}$「縮小結合」

${\displaystyle {\frac {A\star B}{A\star \{b_{0}\}\cup \{a_{0}\}\star B}}}$

縮小懸濁液と同形である

${\displaystyle \Sigma (A\wedge B)}$

スマッシュ製品の。したがって、${\displaystyle {A\star \{b_{0}\}\cup \{a_{0}\}\star B}}$可縮であれば、ホモトピー同値が存在する

${\displaystyle A\star B\simeq \Sigma (A\wedge B).}$

この同値性により同型性が確立される${\displaystyle {\widetilde {H}}_{n}(A\star B)\cong H_{n-1}(A\wedge B)\ {\bigl (}=H_{n-1}(A\times B/A\vee B){\bigr )}}$。

2つの三角形分割可能な空間が与えられた場合${\displaystyle A,B}$、ホモトピー接続性（${\displaystyle \eta _{\pi }}$それらの結合の連結性は、少なくともその部分の連結性の合計である。^{[ 3 ]： 81、命題4.4.3}

• ${\displaystyle \eta _{\pi }(A*B)\geq \eta _{\pi }(A)+\eta _{\pi }(B)}$。

例として、${\displaystyle A=B=S^{0}}$2 つの分離した点の集合とする。点間には 1 次元の穴があるので、${\displaystyle \eta _{\pi }(A)=\eta _{\pi }(B)=1}$結合${\displaystyle A*B}$は正方形であり、2次元の穴を持つ円と同相なので、${\displaystyle \eta _{\pi }(A*B)=2}$この正方形と3番目のコピーの結合${\displaystyle S^{0}}$は正八面体であり、${\displaystyle S^{2}}$穴が3次元である。一般に、n個のコピーの結合は${\displaystyle S^{0}}$は同相である${\displaystyle S^{n-1}}$そして${\displaystyle \eta _{\pi }(S^{n-1})=n}$。

• 仮定する${\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\}\}}$（一点）それから${\displaystyle A_{\Delta }^{*2}:=\{\emptyset ,\{a_{1}\},\{a_{2}\}\}}$つまり、互いに素な2つの点を持つ離散空間（${\displaystyle A^{\star 2}=\{\emptyset ,\{a_{1}\},\{a_{2}\},\{a_{1},a_{2}\}\}}$（＝区間）。
• 仮定する${\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\},\{b\}\}}$（２点）それから${\displaystyle A_{\Delta }^{*2}}$多面的な複合体である${\displaystyle \{a_{1},b_{2}\},\{a_{2},b_{1}\}}$（互いに離れている2つの辺）。
• 仮定する${\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}}$（端）。それから${\displaystyle A_{\Delta }^{*2}}$多面的な複合体である${\displaystyle \{a_{1},b_{1}\},\{a_{1},b_{2}\},\{a_{2},b_{1}\},\{a_{2},b_{2}\}}$（正方形）。${\displaystyle A^{\star 2}}$正四面体を表す。
• A が( n - 1) 次元単体 ( n 個の頂点を持つ) を表すと仮定します。すると、結合${\displaystyle A^{\star 2}}$ は ( 2n- 1) 次元単体 (2n 個の頂点を持つ)です。これは、 _x1 +...+x2n ₌ 1を満たす非負の座標を持つすべての点 ( _x1 ,..., _x2n )の集合です。削除された結合${\displaystyle A_{\Delta }^{*2}}$は、この単体の部分集合とみなすことができます。それは、その単体内のすべての点 (x ₁ ,...,x _2n ) の集合であり、非ゼロの座標はx ₁ ,...,x _n内のk個の座標と、x _n+1 ,...,x _2n内の補完的な nk 個の座標のみです。

削除された結合操作は結合と可換である。すなわち、任意の2つの抽象複合体AとBについて：^{[ 3 ]：補題5.5.2}

${\displaystyle (A*B)_{\Delta }^{*2}=(A_{\Delta }^{*2})*(B_{\Delta }^{*2})}$

証明。左側の複体の各単体は次の形式である。 ${\displaystyle (a_{1}\sqcup b_{1})\sqcup (a_{2}\sqcup b_{2})}$、 どこ${\displaystyle a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B}$、 そして${\displaystyle (a_{1}\sqcup b_{1}),(a_{2}\sqcup b_{2})}$互いに素である。互いに素な和集合の性質により、後者の条件は以下と同等である。${\displaystyle a_{1},a_{2}}$互いに分離しており、${\displaystyle b_{1},b_{2}}$互いに素である。

右側の複合体の各単体は次の形式である。 ${\displaystyle (a_{1}\sqcup a_{2})\sqcup (b_{1}\sqcup b_{2})}$、 どこ${\displaystyle a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B}$、 そして ${\displaystyle a_{1},a_{2}}$互いに分離しており、${\displaystyle b_{1},b_{2}}$互いに素である。したがって、両側の単体の集合は全く同じである。□

特に、n次元単体の削除された結合${\displaystyle \Delta ^{n}}$自身とn次元クロス多面体はn次元球面と同相である。${\displaystyle S^{n}}$[ ^{3 ]：コリント5章5節3節}

単体複体Aのn重k個削除結合は次のように定義さ れる。

${\displaystyle A_{\Delta (k)}^{*n}:=\{a_{1}\sqcup a_{2}\sqcup \cdots \sqcup a_{n}:a_{1},\cdots ,a_{n}{\text{ are k-wise disjoint faces of }}A\}}$ここで、「k 個ずつ互いに素」とは、kのすべての部分集合が空集合の共通部分を持つことを意味します。

特に、n重n個削除結合は、交差部分が空であるn 個の面の互いに素な和集合をすべて含み、n重 2 個削除結合はそれよりも小さく、互いに素であるn個の面の互いに素な和集合のみを含みます。2 重 2 個削除結合は、上記で定義した単純な削除結合に他なりません。

m個の点を持つ離散空間のn重 2 重削除結合は、( m , n ) -チェス盤複体と呼ばれます。