一般化されたVermaモジュール

数学において、一般化ヴェルマ加群は（真の）ヴェルマ加群の一般化であり、^{[ 1 ]}リー代数の表現論における対象である。これらはもともと1970年代にジェームズ・レポウスキーによって研究された。これらの研究の動機は、それらの準同型が一般化フラッグ多様体上の不変微分作用素に対応することである。これらの作用素の研究は放物型幾何学の理論の重要な部分である。

させて${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$半単純リー代数であり、${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$放物型部分代数${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$任意の既約有限次元表現に対して${\displaystyle V}$の${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$一般化されたVermaモジュールを相対テンソル積として定義する。

${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(V):={\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})\otimes _{{\mathfrak {U}}({\mathfrak {p}})}V}$。

の行動${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$左掛け算${\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})}$。

λがVの最高ウェイトである場合、Vermaモジュールを次のように表すことがあります。${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$。

ご了承ください${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$意味があるのは${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-優勢で${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-整数値重み（重みを参照）${\displaystyle \lambda }$。

放物型部分代数が${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$の${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$独自の評価を決定する${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\oplus _{j=-k}^{k}{\mathfrak {g}}_{j}}$となることによって${\displaystyle {\mathfrak {p}}=\oplus _{j\geq 0}{\mathfrak {g}}_{j}}$。 させて${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-}:=\oplus _{j<0}{\mathfrak {g}}_{j}}$ポアンカレ・バーコフ・ウィットの定理から、ベクトル空間として（そして、${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-}}$-モジュールとして、${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$-モジュール)

${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(V)\simeq {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}}_{-})\otimes V}$。

以降の記述では、一般化されたVermaモジュールを単にGVMと表記する。

GVMは最高ウェイトモジュールであり、その最高ウェイトλは表現Vの最高ウェイトです。${\displaystyle v_{\lambda }}$Vの中で最も重みの高いベクトルは、${\displaystyle 1\otimes v_{\lambda }}$は、${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$。

GVMは重みモジュールであり、つまり重み空間の直接和であり、これらの重み空間は有限次元である。

すべての最高ウェイトモジュールと同様に、GVMはVermaモジュールの商です。射影のカーネル${\displaystyle M_{\lambda }\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$は

${\displaystyle (1)\quad K_{\lambda }:=\sum _{\alpha \in S}M_{s_{\alpha }\cdot \lambda }\subset M_{\lambda }}$

どこ${\displaystyle S\subset \Delta }$は、根の負の根空間が${\displaystyle -\alpha }$は${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$（集合Sは部分代数を一意に決定する）${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$)$s_{\alpha }}$は、根αに関する 根の反射であり、$\displaystyle s_{\alpha }\cdot \lambda }$アフィン作用は$s_{\alpha }}$λについて。真のVerma加群の理論から、$${\displaystyle M_{s_{\alpha }\cdot \lambda }}$$は、 の一意な部分モジュールと同型である。${\displaystyle M_{\lambda }}$（１）では、$${\displaystyle M_{s_{\alpha }\cdot \lambda }\subset M_{\lambda }}$$（１）の和は直接的ではない。

特別な場合${\displaystyle S=\emptyset }$放物型部分代数${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$はボレル部分代数であり、GVMは（真の）Vermaモジュールと一致する。もう1つの極端なケースでは、${\displaystyle S=\Delta }$、${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {g}}}$GVMは誘導表現Vと同型である。

GVM${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$最高重みλが支配重みのアフィンワイル軌道上にある場合、それは正則であると呼ばれる。${\displaystyle {\チルダ {\lambda }}}$言い換えれば、ワイル群 W の要素 w が存在し、

${\displaystyle \lambda =w\cdot {\チルダ {\lambda }}}$

どこ${\displaystyle \cdot }$これはワイル群のアフィン作用である。

Vermaモジュール${\displaystyle M_{\lambda }}$λのアフィン軌道上に支配的な重みが存在しない場合、それは特異であると呼ばれます。この場合、重みが存在します。${\displaystyle {\チルダ {\lambda }}}$となることによって${\displaystyle {\チルダ {\lambda }}+\delta }$は基本ワイル室の壁にあります（δはすべての基本重みの合計です）。

GVMの準同型とは、${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$準同型性。

任意の2つの重量について${\displaystyle \lambda ,\mu }$準同型写像

${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(\mu )\rightarrow M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$

存在する可能性があるのは、${\displaystyle \mu }$そして${\displaystyle \lambda }$ワイル群のアフィン作用と関連している${\displaystyle W}$リー代数の${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$これは、無限小中心指標に関するハリシュ・チャンドラの定理から容易に導かれる。

（真の） Vermaモジュールの場合とは異なり、GVMの準同型写像は一般に単射ではなく、次元は

${\displaystyle dim(Hom(M_{\mathfrak {p}}(\mu ),M_{\mathfrak {p}}(\lambda )))}$

特定のケースでは、1より大きくなる場合がある。

もし${\displaystyle f:M_{\mu }\to M_{\lambda }}$は（真の）Vermaモジュールの準同型であり、${\displaystyle K_{\mu }}$応答${\displaystyle K_{\lambda }}$射影の核は${\displaystyle M_{\mu }\to M_{\mathfrak {p}}(\mu )}$、それぞれ。${\displaystyle M_{\lambda }\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$すると準同型が存在する${\displaystyle K_{\mu }\to K_{\lambda }}$f は一般化された Verma モジュールの準同型写像に因数分解される。${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(\mu )\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )}$このような準同型（つまり、Verma加群の準同型の因子）は標準準同型と呼ばれます。ただし、標準準同型は場合によってはゼロになることがあります。

• 共形場理論の場は、共形代数の一般化されたヴェルマ加群に属する。^{[ 3 ]}

• ヴェルマモジュール
• 放物線幾何学

• リー代数モジュールのBGG分解を構築し、そのコホモロジーを計算するためのコード