単調な比較静学

単調比較静学は比較静学のサブフィールドであり、外生パラメータが変化した場合に内生変数が単調変化（つまり、増加または減少）する条件に焦点を当てています。伝統的に、経済学の比較結果は、目的関数の凹性と微分可能性、および最適解の内在性と一意性を必要とするアプローチである暗黙関数定理を使用して得られます。単調比較静学の方法では通常、これらの仮定は不要です。単調比較静学の基盤となる主要な特性、つまり内生変数と外生パラメータ間の一種の相補性に焦点を当てています。大まかに言えば、外生パラメータの値が高いほど内生変数の限界収益が増加する場合、最大化問題は相補性を示します。これにより、最適化問題に対する解の集合が外生パラメータに対して増加することが保証されます。

および を によってパラメータ化された関数の族とします。ここで は半順序集合(または省略して poset)です。 によって対応はどのように変化するでしょうか? ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle f(\cdot ;s):X\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle (S,\geq _{S})}$ ${\displaystyle \arg \max \limits _{x\in X}f(x;s)}$${\displaystyle s}$

標準的な比較静学的アプローチ:集合 がコンパクトな区間であり、 がの連続的に微分可能な、厳密に準凹関数であると仮定します。が の唯一の最大化者である場合は、任意の に対してが で増加することを保証することを示すだけで十分です。これにより、最適値が右にシフトしていること、つまり であることが保証されます。 このアプローチは、 の準凹性など、さまざまな仮定に基づいています。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle f(\cdot ;s)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\bar {x}}(s)}$${\displaystyle f(\cdot ;s)}$${\displaystyle f'({\bar {x}}(s);s')\geq 0}$${\displaystyle s'>s}$${\displaystyle {\bar {x}}(s)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle {\bar {x}}(s')\geq {\bar {x}}(s)}$${\displaystyle f(\cdot ;s)}$

唯一の最適解が増加するということはどういう意味かは明らかですが、対応が増加するということはどういう意味かはすぐにはわかりません。文献で採用されている標準的な定義は次のとおりです。 ${\displaystyle \arg \max _{x\in X}f(x;s)}$${\displaystyle s}$

定義（強集合順序）：^{[1] および}を の部分集合とする。およびの任意の に対して、 および が成り立つとき、集合は強集合順序 （ ）において優位となる。${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y'}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle Y'}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y'\geq _{SSO}Y}$${\displaystyle x'}$${\displaystyle Y'}$${\displaystyle x}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \max\{x',x\}}$${\displaystyle Y'}$${\displaystyle \min\{x',x\}}$${\displaystyle Y}$

特に、かつ のとき、 の場合に限ります。のときはいつでも、対応は増加的であると言えます。 ${\displaystyle Y:=\{x\}}$${\displaystyle Y':=\{x'\}}$${\displaystyle Y'\geq _{SSO}Y}$${\displaystyle x'\geq x}$${\displaystyle \arg \max _{x\in X}f(x;s)}$${\displaystyle \arg \max _{x\in X}f(x;s')\geq _{SSO}\arg \max _{x\in X}f(x;s)}$${\displaystyle s'>_{S}s}$

外生変数と内生変数間の相補性の概念は、単一の交差差異によって正式に表現されます。

定義 (単一交差関数):とします。任意の に対してが成り立つ場合、は単一交差関数です。 ${\displaystyle \phi :S\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle s'\geq _{S}s}$${\displaystyle \phi (s)\geq (>)\ 0\ \Rightarrow \ \phi (s')\geq (>)\ 0}$

定義（一重交差差分）：^[2]関数族、は、すべてのに対して関数が一重交差関数である場合に、一重交差差分に従います（または一重交差特性を満たします） 。 ${\displaystyle \{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$${\displaystyle f:X\times S\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x'\geq x}$${\displaystyle \Delta (s)=f(x';s)-f(x;s)}$

明らかに、増加関数は単交差関数であり、 が（上記の定義では、任意の に対して）で増加する場合、 は増加差分に従うと言います。増加差分とは異なり、単交差差分は順序特性です。つまり、が単交差差分に従う場合、 も従います。ただし、で厳密に増加する関数に対してです。 ${\displaystyle \Delta (s)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle x'>x}$${\displaystyle \{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$${\displaystyle \{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$${\displaystyle \{g(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$${\displaystyle g(x;s)=H(f(x;s);s)}$${\displaystyle H(\cdot ;s)}$${\displaystyle x}$

定理1: ^[3]を定義する。族が単交差差分に従うのは、すべての に対して が成り立つ場合のみであり、任意の に対してが成り立つ場合に限る。 ${\displaystyle F_{Y}(s):=\arg \max _{x\in Y}f(x;s)}$${\displaystyle \{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$${\displaystyle Y\subseteq X}$${\displaystyle F_{Y}(s')\geq _{SSO}F_{Y}(s)}$${\displaystyle s'\geq _{S}s}$

証明:および、および と仮定します。および であることを示す必要があります。 の場合のみを考えればよいのです。 であるため、 が得られ、 であることが保証されます。 さらに、であるため、 となります。 そうでない場合は、は (単一交差差分により) を意味し、におけるの最適性と矛盾します。 単一交差差分の必要性を示すために、 と設定します。ここで です。すると、に対して が保証され、であれば となります。QED${\displaystyle s'\geq _{S}s}$${\displaystyle x\in F_{Y}(s)}$${\displaystyle x'\in F_{Y}(s')}$${\displaystyle \max\{x',x\}\in F_{Y}(s')}$${\displaystyle \min\{x',x\}\in F_{Y}(s)}$${\displaystyle x>x'}$${\displaystyle x\in F_{Y}(s)}$${\displaystyle f(x;s)\geq f(x';s)}$${\displaystyle x\in F_{Y'}(s')}$${\displaystyle f(x;s)=f(x';s)}$${\displaystyle x'\in F_{Y}(s)}$${\displaystyle f(x;s)>f(x';s)}$${\displaystyle f(x;s')>f(x';s')}$${\displaystyle x'}$${\displaystyle s'}$${\displaystyle Y:=\{x,{\bar {x}}\}}$${\displaystyle {\bar {x}}\geq x}$${\displaystyle F_{Y}(s')\geq _{SSO}F_{Y}(s)}$${\displaystyle s'\geq _{S}s}$${\displaystyle f({\bar {x}};s)\geq (>)\ f(x;s)}$${\displaystyle f({\bar {x}};s')\geq (>)\ f(x;s')}$

応用（独占生産量と費用の変化）：独占企業は利益 を最大化することを選択します。ここで は需要関数の逆関数、 は一定の限界費用です。 は単一交差差分に従うことに注意してください。実際、任意の を取り、 と仮定します。 となる任意の に対して、 が得られます。定理 1 により、利益を最大化する生産量は、生産量の限界費用が増加するにつれて、つまり が減少するにつれて減少します。 ${\displaystyle x\in X\subseteq \mathbb {R} _{+}}$${\displaystyle \Pi (x;-c)=xP(x)-cx}$${\displaystyle P:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} _{+}}$${\displaystyle c\geq 0}$${\displaystyle \{\Pi (\cdot ,-c)\}_{(-c)\in \mathbb {R} _{-}}}$${\displaystyle x'\geq x}$${\displaystyle x'P(x')-cx'\geq (>)\ xP(x)-cx}$${\displaystyle c'}$${\displaystyle (-c')\geq (-c)}$${\displaystyle x'P(x')-c'x'\geq (>)\ xP(x)-c'x}$${\displaystyle (-c)}$

単一交差差は、最適解がパラメータに関して増加するための必要条件ではありません。実際、条件は、任意の に対してが増加することに対してのみ必要です。集合が のより狭いクラスのサブセットに制限されると、単一交差差の条件は不要になります。 ${\displaystyle \arg \max _{x\in Y}f(x;s)}$${\displaystyle s}$ ${\displaystyle Y\subset X}$${\displaystyle X}$

定義（区間）: ^[4]とする。集合 はの区間であり、とが にあるときはいつでも も にあるような任意の集合が である。 ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle Y\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x^{*}}$${\displaystyle x^{**}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x^{*}\leq x\leq x^{**}}$${\displaystyle Y}$

たとえば、 の場合、 はの区間ですが、 ではありません。 と表記します。 ${\displaystyle X=\mathbb {N} }$${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{1,2,4\}}$${\displaystyle [x^{*},x^{**}]=\{x\in X\ |\ x^{*}\leq x\leq x^{**}\}}$

定義（区間優勢順序）: ^[5]任意の および に対して が成り立ち、すべての に対して が成り立つとき、この族は区間優勢順序（IDO）に従います。 ${\displaystyle \{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$${\displaystyle x''>x'}$${\displaystyle s'\geq _{S}s}$${\displaystyle f(x'';s)\geq f(x;s)}$${\displaystyle x\in [x',x'']}$${\displaystyle f(x'';s)\geq (>)\ f(x';s)\ \Rightarrow \ f(x'';s')\geq (>)\ f(x';s')}$

一重交差差と同様に、区間優位順序 (IDO) は順序プロパティです。IDO ファミリの例としては、 が増加する準凹関数のファミリがあります。このようなファミリは一重交差差に従う必要はありません。 ${\displaystyle \{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$${\displaystyle \arg \max _{x\in X}f(x,s)}$${\displaystyle s}$

関数が正則関数であるとは、任意の に対して が空でない場合を指します。 ここで は区間 を表します。${\displaystyle f:X\times S\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \arg \max _{x\in [x^{*},x^{**}]}f(x;s)}$${\displaystyle x^{**}\geq x^{*}}$${\displaystyle [x^{*},x^{**}]}$${\displaystyle \{x\in X\ |\ x^{*}\leq x\leq x^{**}\}}$

定理2: ^[6]と記す。正則関数の族が区間支配順序に従うのは、すべての区間 に対してが増加する場合のみである。 ${\displaystyle F_{Y}(s):=\arg \max _{x\in Y}f(x;s)}$${\displaystyle \{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$${\displaystyle F_{Y}(s)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle Y\subseteq X}$

証明: IDO の十分性を示すには、任意の 2 つの を取り、およびと 仮定します。 の場合のみを考えればよいのです。定義により、すべての に対して となります。さらに、IDO によりとなります。したがって、 です。さらに、 でなければなりません。そうでない場合、つまり の場合、IDO により となり、これは と矛盾します。IDO の必要性を示すには、すべての に対してとなる区間があると仮定します。これは を意味します。IDO には 2 つの違反が考えられます。1 つの可能性は です。この場合、 の規則性により、集合は空ではありませんが を含みません。これはが増加するため不可能です。IDO のもう 1 つの違反は であるが の場合に発生します。この場合、集合には が含まれますが、これはが増加するため不可能です(この場合 であることに注意) 。または が含まれず、これも の単調性に違反します。QED${\displaystyle s'\geq _{S}s}$${\displaystyle x'\in F_{Y}(s)}$${\displaystyle x''\in F_{Y}(s')}$${\displaystyle x'>x''}$${\displaystyle f(x';s)\geq f(x;s)}$${\displaystyle x\in [x'',x']\subset Y}$${\displaystyle f(x';s')\geq f(x'';s')}$${\displaystyle x'\in F_{Y}(s')}$${\displaystyle f(x';s)=f(x'';s)}$${\displaystyle f(x';s)>f(x'';s)}$${\displaystyle f(x';s')>f(x'';s')}$${\displaystyle x''\in F_{Y}(s')}$${\displaystyle [x'',x']}$${\displaystyle f(x';s)\geq f(x;s)}$${\displaystyle x\in [x'',x']}$${\displaystyle x'\in \arg \max _{x\in [x'',x']}f(x;s)}$${\displaystyle f(x'';s')>f(x';s')}$${\displaystyle f(\cdot ;s')}$${\displaystyle \arg \max _{x\in [x'',x']}f(x;s')}$${\displaystyle x'}$${\displaystyle \arg \max _{x\in [x'',x']}f(x;s)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle f(x'';s')=f(x';s')}$${\displaystyle f(x'';s)<f(x';s)}$${\displaystyle \arg \max _{x\in [x'',x']}f(x;s')}$${\displaystyle x''}$${\displaystyle \arg \max _{x\in [x'',x']}f(x;s)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle x''\not \in \arg \max _{x\in [x'',x']}f(x;s')}$${\displaystyle x'}$${\displaystyle \arg \max _{x\in [x'',x']}f(x;s)}$

次の結果は、単一交差差と IDO に有用な十分条件を示します。

命題1: ^[7]を の区間とし、を連続的に微分可能な関数の族とする。(i) 任意の に対して、 となる数が存在し、すべての に対して となる場合、単交差差分に従う。(ii) 任意の に対して、 となる非減少の厳密な正の関数が存在し、すべての に対してとなる場合、 IDO に従う。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$${\displaystyle s'\geq _{S}s}$${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle f'(x;s')\geq \alpha f'(x;s)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$${\displaystyle s'\geq _{S}s}$${\displaystyle \alpha :X\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle f'(x;s')\geq \alpha (x)f'(x;s)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$

応用（最適停止問題）：^[8]エージェントは各時点で の利益を得るが、これは正または負の値をとる。エージェントが の時点で停止することを決定した場合、累積利益の現在価値は ${\displaystyle \pi (t)}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle V(x;-r)=\int _{0}^{x}e^{-rt}\pi (t)dt,}$

ここで、は割引率です。 なので、関数には多くの転換点があり、それらは割引率によって変化しません。 では、最適停止時刻は減少している、つまり ならば であると主張します。任意の を取ります。すると、 は正で増加している ので、命題 1 によれば はIDO に従い、定理 2 により、最適停止時刻の集合は減少しています。 ${\displaystyle r>0}$${\displaystyle V'(x;-r)=e^{-rx}\pi (x)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r'>r>0}$${\displaystyle \arg \max _{x\geq 0}V(x;-r)\geq _{SSO}\arg \max _{x\geq 0}V(x;-r')}$${\displaystyle r'<r}$${\displaystyle V'(x;-r)=e^{-rx}\pi (x)=e^{(r'-r)x}V'(x;-r').}$${\displaystyle \alpha (x)=e^{(r'-r)x}}$${\displaystyle \{V(\cdot ;-r)\}_{(-r)<0}}$

上記の結果は、多次元の設定に拡張できます。 を格子とします。内の任意の2 つの について、それらの上限(または最小の上限、または結合) を で表し、それらの下限(または最大の下限、または結合) を で表します。 ${\displaystyle (X,\geq _{X})}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x'}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x'\vee x}$${\displaystyle x'\wedge x}$

定義（強い集合順序）：^{[9] を}格子とし、を のサブセットとする。および内の任意の に対して、 および 内の が成り立つとき、が強い集合順序（ ）において優位であるとする。 ${\displaystyle (X,\geq _{X})}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y'}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y'}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y'\geq _{SSO}Y}$${\displaystyle x'}$${\displaystyle Y'}$${\displaystyle x}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x\vee x'}$${\displaystyle Y'}$${\displaystyle x\wedge x'}$${\displaystyle Y}$

高次元における強い集合秩序の例。

• およびをにおける閉区間とします。明らかに は上の標準順序であり、 は格子です。したがって、前のセクションで示したように、および のときのみ成り立ちます。${\displaystyle X=\mathbb {R} }$${\displaystyle Y:=[a,b]}$${\displaystyle Y':=[a',b']}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,\geq )}$${\displaystyle \geq }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle Y'\geq _{SSO}Y}$${\displaystyle a'\geq a}$${\displaystyle b'\geq b}$
• および を何らかの超長方形とします。つまり、 には、および となるベクトル、、 が存在し、は上の自然な座標順の順序です。は格子であることに注意してください。さらに、および のときのみ、${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y'\subset X}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a'}$${\displaystyle b'}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y:=\{x\in X\ |\ a\leq x\leq b\}}$${\displaystyle Y':=\{x\in X\ |\ a'\leq x\leq b'\}}$${\displaystyle \geq }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle (X,\geq )}$${\displaystyle Y'\geq _{SSO}Y}$${\displaystyle a'\geq a}$${\displaystyle b'\geq b}$
• を、サポートが のサブセットであり、第 1 位の確率的優位順序を持つすべての確率分布の空間とします。は格子であることに注意してください。 、が、サポートおよびを持つ確率分布の集合をそれぞれ表すものとします。このとき、に関して、およびの場合にのみ成り立ちます。${\displaystyle (X,\geq _{X})}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \geq _{X}}$${\displaystyle (X,\geq _{X})}$${\displaystyle Y:=\Delta ([a,b])}$${\displaystyle Y':=\Delta ([a',b'])}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle [a',b']}$${\displaystyle Y'\geq _{SSO}Y}$${\displaystyle \geq _{X}}$${\displaystyle a'\geq a}$${\displaystyle b'\geq b}$

定義（準超モジュラー関数）：^[10]を格子とする。関数が準超モジュラー（QSM） であるのは、${\displaystyle (X,\geq _{X})}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x)\geq (>)\ f(x\wedge x')\ \Rightarrow \ f(x\vee x')\geq (>)\ f(x').}$

関数 は、すべてのスーパーモジュラ関数が準スーパーモジュラである場合にスーパーモジュラ関数であると言われます 。単一交差差分の場合と同様に、スーパーモジュラ性とは異なり、準スーパーモジュラ性は順序プロパティです。つまり、関数 が準スーパーモジュラである場合、関数 も準スーパーモジュラです。ここで、 は何らかの厳密に増加な関数です。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x\vee x')-f(x')\geq f(x)-f(x\wedge x').}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g:=H\circ f}$${\displaystyle H}$

定理3: ^[11]を格子、半順序集合、を の部分集合とする。 が与えられたとき 、を と表記する。すると、任意のおよびに対して${\displaystyle (X,\geq _{X})}$${\displaystyle (S,\geq _{S})}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y'}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\times S\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \arg \max _{x\in Y}f(x;s)}$${\displaystyle F_{Y}(s)}$${\displaystyle F_{Y'}(s')\geq _{SSO}F_{Y}(s)}$${\displaystyle s'\geq _{S}s}$${\displaystyle Y'\geq _{SSO}Y}$

証明: 、 、、 とします。 および なので、となります。 準スーパーモジュラ性により、、および一重交差差分により、 となります。したがってとなります。 ここで と仮定します。このとき となります。 準スーパーモジュラ性により、、および一重交差差分により となります。 しかし、これは と矛盾します。 したがって となります。${\displaystyle (\Leftarrow )}$${\displaystyle Y'\geq _{SSO}Y}$${\displaystyle s'\geq _{S}s}$${\displaystyle x'\in F_{Y'}(s')}$${\displaystyle x\in F_{Y}(s)}$${\displaystyle x\in F_{Y}(s)}$${\displaystyle Y'\geq _{SSO}Y}$${\displaystyle f(x;s)\geq f(x'\wedge x;s)}$${\displaystyle f(x'\vee x;s)\geq f(x';s)}$${\displaystyle f(x'\vee x;s')\geq f(x';s')}$${\displaystyle x'\vee x\in F_{Y'}(s')}$${\displaystyle x'\wedge x\not \in F_{Y}(s)}$${\displaystyle f(x;s)>f(x'\wedge x;s)}$${\displaystyle f(x'\vee x;s)>f(x';s)}$${\displaystyle f(x'\vee x;s')>f(x';s')}$${\displaystyle x'\in F_{Y'}(s')}$${\displaystyle x'\wedge x\in F_{Y}(s)}$

${\displaystyle (\Rightarrow )}$および を 設定します。すると となり、であれば となることが保証されます。単交差差分も成り立つことを示すには、 と設定します。ここで となります。すると、任意の に対して となり、 であれば となることが保証されます。QED${\displaystyle Y':=\{x',x'\vee x\}}$${\displaystyle Y:=\{x,x'\wedge x\}}$${\displaystyle Y'\geq _{SSO}Y}$${\displaystyle F_{Y'}(s)\geq _{SSO}F_{Y}(s)}$${\displaystyle f(x;s)\geq (>)\ f(x'\wedge x;s)}$${\displaystyle f(x'\vee x;s)\geq (>)\ f(x';s)}$${\displaystyle Y:=\{x,{\bar {x}}\}}$${\displaystyle {\bar {x}}\geq x}$${\displaystyle F_{Y}(s')\geq _{SSO}F_{Y}(s)}$${\displaystyle s'\geq _{S}s}$${\displaystyle f({\bar {x}};s)\geq (>)\ f(x;s)}$${\displaystyle f({\bar {x}};s')\geq (>)\ f(x;s')}$

応用（複数財の生産）：^[12]利益最大化企業の入力ベクトル（のサブ格子から抽出）を 、入力価格のベクトルを 、入力ベクトルを収益（ ）にマッピングする収益関数を と します。企業の利益は です。任意の、、について、は で増加します。したがって、には増加する差があります（したがって、単一交差差に従います）。さらに、がスーパーモジュラーである場合、 もスーパーモジュラーです。したがって、 は準スーパーモジュラーであり、定理3により に対してです。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{l}}$${\displaystyle p\in \mathbb {R} _{++}^{l}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \Pi (x;p)=V(x)-p\cdot x}$${\displaystyle x'}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x'\geq x}$${\displaystyle V(x')-V(x)+(-p)(x'-x)}$${\displaystyle (-p)}$${\displaystyle \{\Pi (\cdot ;p)\}_{p\in \mathbb {R} _{++}^{l}}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \Pi (\cdot ;p)}$${\displaystyle \arg \max _{x\in X}\Pi (x;p)\geq _{SSO}\arg \max _{x\in X}\Pi (x;p')}$${\displaystyle p'\geq p}$

いくつかの重要な経済応用では、制約セットの関連する変化は、強いセット順序に関する増加として簡単に理解することができず、そのため定理 3 を簡単に適用することはできません。たとえば、予算制約の下で効用関数を最大化する消費者を考えてみましょう。 での価格と富では、彼の予算セットは で、 での需要セットは (定義により) です。消費者需要の基本的な特性は正規性です。これは、(需要が一意である場合) 各財の需要が富の増加とともに増加することを意味します。 定理 3 は、正規性の条件を取得するために直接適用することはできません。なぜなら、の場合(がユークリッド順序から導出されるとき) であるためです。この場合、次の結果が成り立ちます。 ${\displaystyle u:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {R} _{++}^{n}}$${\displaystyle w>0}$${\displaystyle B(p,w)=\{x\in X\ |\ p\cdot x\leq w\}}$${\displaystyle (p,w)}$${\displaystyle D(p,w)=\arg \max _{x\in B(p,w)}u(x)}$${\displaystyle B(p,w')\not \geq _{SSO}B(p,w)}$${\displaystyle w'>w}$${\displaystyle \geq _{SSO}}$

定理4: ^[13]が超モジュラかつ凹であるとする。このとき、要求対応は次の意味で正規である: 、および と仮定する と、およびとなるおよびが存在する。${\displaystyle u:\mathbb {R} _{++}^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle w''>w'}$${\displaystyle x''\in D(p,w'')}$${\displaystyle x'\in D(p,w')}$${\displaystyle z''\in D(p,w'')}$${\displaystyle z'\in D(p,w')}$${\displaystyle z''\geq x'}$${\displaystyle x''\geq z'}$

のスーパーモジュラ性のみにより、任意のおよびに対して が保証されます。4つの点、、、および は、ユークリッド空間で長方形を形成することに注意してください ( 、、およびが直交するという意味において)。一方、スーパーモジュラ性と凹面性を合わせると、任意の に対して が保証されます (ただし)。この場合、重要なのは、4 つの点、、、および がユークリッド空間で後ろ向きの平行四辺形を形成することです。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle u(x\wedge y)-u(y)\geq u(x)-u(x\vee y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x\wedge y}$${\displaystyle x\vee y}$${\displaystyle x\wedge y-x=y-x\vee y}$${\displaystyle x-x\vee y=x\wedge y-y}$${\displaystyle x\wedge y-x}$${\displaystyle x-x\vee y}$${\displaystyle u(x\vee y-\lambda v)-u(y)\geq u(x)-u(x\wedge y+\lambda v).}$${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$${\displaystyle v=y-x\wedge y=x\vee y-x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x\vee y-\lambda v}$${\displaystyle x\wedge y+\lambda v}$

、およびを、単一交差差または区間優位順序に従う、で定義される実数値関数の族とします。定理 1 および 3 は、が で増加していることを示しています。を世界の状態と解釈すると、これは、状態が既知である場合、最適行動が状態で増加していることを意味します。ただし、が実現される前に行動が取られると仮定します。その場合、最適行動はより高い状態の尤度とともに増加するのが良いと思われます。この概念を正式に捉えるために、 をposet でパラメータ化された密度関数の族とします。ここで、 が高いほど、第 1 次確率優位性または単調尤度比特性のいずれかの意味で、より高い状態の尤度が高くなります。不確実性の下で選択すると、エージェントは最大化します。 ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle \{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \arg \max _{x\in X}f(x,;s)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$${\displaystyle x}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \{\lambda (\cdot ;t)\}_{t\in T}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle (T,\geq _{T})}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle F(x;t)=\int _{S}f(x;s)\,\lambda (s;t)\,ds.}$

が で増加するためには、族が単一交差差または区間優位順序に従えば十分です (定理 1 および 2 より) 。このセクションの結果は、これが成り立つ条件を示します。 ${\displaystyle \arg \max _{x\in X}F(x;t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \{F(\cdot ;t)\}_{t\in T}}$

定理 5:が差分の増加に従うと仮定します 。 が第 1 次確率優位性に関して順序付けられている場合、 は 差分の増加に従います。 ${\displaystyle \{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$ ${\displaystyle (S\subseteq \mathbb {R} )}$${\displaystyle \{\lambda (\cdot ;t)\}_{t\in T}}$${\displaystyle \{F(\cdot ;t)\}_{t\in T}}$

証明:任意の に対して、 を定義します。すると、、または同等に となります。 は差分増加に従うため、はで増加し、第 1 次確率優位性により は で増加することが保証されます。QED ${\displaystyle x',x\in X}$${\displaystyle \phi (s):=f(x';s)-f(x;s)}$${\displaystyle F(x';t)-F(x;t)=\int _{S}[f(x';s)-f(x;s)]\lambda (s;t)ds}$${\displaystyle F(x';t)-F(x;t)=\int _{S}\phi (s)\lambda (s;t)ds}$${\displaystyle \{f(\cdot ;s)\}_{s\in S}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle s}$${\displaystyle F(x';t)-F(x;t)}$${\displaystyle t}$