等線回路

等長線路回路は、すべて同じ長さ (通常は波長の 8 分の 1) の伝送線路で構成された電気回路です。 集中定数回路は、リチャーズ変換を使用して、この形式の分布定数回路に直接変換できます。この変換の結果は非常に単純です。インダクタは短絡終端された伝送線路に置き換えられ、コンデンサは開放終端された線路に置き換えられます。等長線路理論は、マイクロ波周波数で使用する分布定数フィルタの設計に特に役立ちます。

通常、黒田恒等式を使用して回路をさらに変換する必要があります。黒田変換の 1 つを適用する理由はいくつかありますが、主な理由は通常、直列接続されたコンポーネントを削除することです。広く使用されているマイクロストリップを含む一部のテクノロジでは、直列接続の実装が困難または不可能です。

等間隔線路回路の周波数応答は、他のすべての分布素子回路と同様に、周期的に繰り返されるため、回路が有効な周波数範囲が制限されます。リチャーズと黒田の手法で設計された回路は、最もコンパクトなものではありません。素子を結合する方法を改良すれば、よりコンパクトな設計が可能になります。それでも、等間隔線路理論は、これらのより高度なフィルタ設計の多くにおいて基礎となっています。

等長線路は、電気的長さはすべて同じであるが、特性インピーダンス( Z ₀ ) が必ずしも同じではない伝送線路である。等長線路回路は、抵抗器または短絡回路と開放回路で終端された等長線路のみで構成された電気回路である。1948 年、ポール・I・リチャーズは等長線路回路の理論を発表した。この理論により、受動集中素子回路は、特定の周波数範囲でまったく同じ特性を持つ分布素子回路に変換できる。^[1]

分布定数回路の線路の長さは、一般的には、回路の公称動作波長λで表現される。等間隔線路回路の規定長さの線路は単位素子（UE）と呼ばれる。特に単純な関係は、UEがλ/8の場合に当てはまる。^[2] 集中回路の各素子は、対応するUEに変換される。しかし、線路のZ _{0 は}、類似の集中回路のコンポーネント値に従って設定する必要があり、その結果、実装が現実的でないZ _{0の値になる可能性がある。これは、}マイクロストリップなどの印刷技術で高い特性インピーダンスを実装する場合に特に問題となる。高いインピーダンスには細い線路が必要であり、印刷できる最小サイズがある。一方、非常に広い線路では、望ましくない横方向共振モードが形成される可能性がある。これらの問題を克服するために、異なる長さのUEと異なるZ ₀を選択することができる。^[3]

電気長は、線路の始点と終点の間の 位相変化として表すこともできます。位相は角度単位で測定されます。 角度変数を表す数学記号は、角度として表される電気長の記号として使用されます。この規則では、λは360°、つまり2πラジアンを表します。^[4]${\displaystyle \theta}$

等間隔線路を使用する利点は、等間隔線路理論により、規定の周波数関数から回路を合成できることである。任意の伝送線路長を使用する回路は、その周波数関数を決定するために分析できるが、その回路は必ずしも周波数関数から簡単に合成できるわけではない。根本的な問題は、複数の長さを使用する場合、通常、複数の周波数変数が必要になることである。等間隔線路を使用する場合、必要な周波数変数は 1 つだけである。与えられた周波数関数から集中素子回路を合成するためのよく発達した理論が存在する。このように合成された回路は、リチャーズ変換と新しい周波数変数を使用して等間隔線路回路に変換できる。^[5]

リチャーズ変換は角周波数変数ωを次のように 変換する。

${\displaystyle \omega \to \tan(k\omega )}$

あるいは、さらに分析を進める上でより有用なのは、複素周波数変数sについて、

${\displaystyle s\to \tanh(ks)}$

ここでkはUEの長さθと設計者が選択した基準周波数_ωcに関連する任意の定数であり、

${\displaystyle k\omega _{c}=\theta .}$

k は時間の単位を持ち、実際にはUE によって挿入される位相遅延です。

この変換を、それぞれ短絡回路と開回路で終端されたスタブの駆動点インピーダンスの式と比較すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{\mathrm {SC} }&=jZ_{0}\tan(k\omega )\\Z_{\mathrm {OC} }&=-jZ_{0}\cot(k\omega )\\\end{aligned}}}$

θ < π/2の場合、短絡スタブは集中インダクタンスのインピーダンスを持ち、開放スタブは集中容量のインピーダンスを持つことがわかります。リチャーズの変換は、インダクタを短絡UEに、コンデンサを開放UEに置き換えます。^[6]

長さがλ/8（またはθ=π/4）のとき、これは次のように簡略化されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{\mathrm {SC} }&=jZ_{0}\\Z_{\mathrm {OC} }&=-jZ_{0}\\\end{aligned}}}$

これはよく次のように書かれます。

${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{\mathrm {SC} }&=jL\\Z_{\mathrm {OC} }&={1 \over jC}\\\end{aligned}}}$

LとCは慣例的にインダクタンスとキャパシタンスを表す記号ですが、ここではそれぞれ誘導性スタブの特性インピーダンスと容量性スタブの特性アドミタンスを表します。この規則は多くの著者によって使用されており、この記事の後半でも使用されています。^[7]

リチャーズ変換は、s領域表現からΩ領域と呼ばれる新しい領域への変換として考えることができます。

${\displaystyle \Omega =\tan(k\omega )}$

Ω がω=ω _cのときに Ω=1 となるように正規化されている場合、

${\displaystyle k\omega _{c}=\theta ={\pi \over 4}}$

距離単位での長さは、

${\displaystyle \ell ={\lambda \over 8}}$

離散的で線形な集中定数で構成された回路は、伝達関数 H ( s ) がsの有理関数になります。集中定数回路からリチャーズ変換によって導出された伝送線路 UE で構成された回路は、伝達関数H ( j Ω ) がH ( s )とまったく同じ形の有理関数になります。つまり、集中定数回路の周波数応答のs周波数変数に対する形状は、伝送線路回路の周波数応答のj Ω 周波数変数に対する形状とまったく同じになり、回路は機能的に同じになります。^[8]

しかし、Ω 領域での無限大は、s領域ではω=π/4 kに変換されます。周波数応答全体はこの有限間隔に圧縮されます。この周波数を超えると、同じ応答が同じ間隔で交互に逆方向に繰り返されます。これは、正接関数の周期的な性質の結果です。この複数の通過帯域の結果は、リチャーズの変換によって到達したものだけでなく、すべての分布要素回路の一般的な特徴です。^[9]

カスケード接続されたUEは、集中素子に正確に対応する回路を持たない2ポートネットワークです。機能的には固定遅延です。ベッセルフィルタなどの固定遅延を近似できる集中素子回路がありますが、理想的なコンポーネントを使用しても、規定の通過帯域内でしか機能しません。代わりに、すべての周波数を通過させる集中素子オールパスフィルタを構築することもできますが（理想的なコンポーネントを使用）、狭い周波数帯域内でのみ一定の遅延があります。例としては、格子位相イコライザーとブリッジT遅延イコライザーがあります。^[10]

したがって、リチャードの変換によってカスケード接続された線路に変換できる集中回路は存在せず、この要素の逆変換も存在しない。したがって、整合線路理論は、遅延、または長さという新しい要素を導入する。^[1] 同じZ ₀でカスケード接続された 2 つ以上の UE は、1 本のより長い伝送線路と同等である。したがって、整合回路では、長さn θ (nは整数) の線路が許容される。一部の回路は、完全にカスケード接続された UE として実装できる。たとえば、インピーダンス整合ネットワークは、ほとんどのフィルタと同様に、この方法で実装できる。^[1]

黒田の恒等式は、リチャーズの変換を直接適用する際のいくつかの困難を克服する 4 つの等価回路のセットです。4 つの基本変換は図に示されています。ここでは、コンデンサとインダクタの記号が、オープン回路スタブとショート回路スタブを表すために使用されています。同様に、ここでの記号CとL は、それぞれオープン回路スタブのサセプタンスとショート回路スタブのリアクタンスを表し、θ = λ / 8 の場合、それぞれスタブ線の特性アドミタンスと特性インピーダンスに等しくなります。太線のボックスは、マークされた特性インピーダンスを持つ、等長の線路が縦続接続されたことを表しています。^[11]

解決される最初の難題は、すべての UE を同じポイントで接続する必要があることです。これは、集中素子モデルでは、すべての素子がゼロスペース (または大きなスペースがない) を占め、素子間の信号に遅延がないと想定されているためです。リチャーズ変換を適用して集中回路を分散回路に変換すると、素子は有限のスペース (長さ) を占めるようになりますが、相互接続間の距離がゼロであるという要件は削除されません。最初の 2 つの黒田恒等式を繰り返し適用することで、回路のポートに供給されるラインの UE 長さを回路コンポーネント間で移動して、物理的に分離することができます。^[12]

黒田の恒等式が克服できる2つ目の難点は、直列接続された線路が必ずしも実用的ではないということである。例えば同軸技術では線路の直列接続は簡単にできるが、広く使われているマイクロストリップ技術や他の平面技術では不可能である。 フィルタ回路では、直列要素と並列要素が交互に並んだラダートポロジがよく使われる。このような回路は、最初の2つの恒等式でコンポーネントの間隔を空けるのと同じ手順で、すべて並列コンポーネントに変換できる。^[13]

3番目と4番目の恒等式は、それぞれ特性インピーダンスを縮小または拡大することを可能にする。これらは、実装するのが非現実的なインピーダンスを変換するのに有用である。しかし、スケーリング係数に等しい巻数比を持つ理想的な変圧器を追加する必要があるという欠点がある。 ^[14]

リチャーズの論文発表後の10年間、分布回路理論の進歩は主に日本で起こった。黒田勝頼は1955年に博士論文でこれらの恒等式を発表した。^{[15]しかし、英語では1958年に尾崎と石井が}ストリップラインフィルタ に関する論文を発表するまで登場しなかった。^[16]

整合線路理論の主な応用の 1 つは、分散素子フィルタの設計です。リチャーズと黒田の方法で直接構築されたこのようなフィルタは、あまりコンパクトではありません。これは、特にモバイル デバイスでは重要な設計上の考慮事項になる可能性があります。スタブはメイン ラインの側面に突き出ており、それらの間のスペースは役に立ちません。理想的には、スタブは互い違いの側に突き出ている必要があります^[17]。これにより、スタブが互いに結合してスペースを占有するのを防ぐことができますが、スペースを考慮して常にそうするわけではありません。さらに、スタブを結合するカスケード接続された要素は、周波数関数にはまったく寄与せず、スタブを必要なインピーダンスに変換するためだけにあります。言い換えると、周波数関数の次数は、UE の総数ではなく、スタブの数によってのみ決定されます (一般に、次数が高いほど、フィルタは優れています)。より複雑な合成技術を使用すると、すべての要素が寄与するフィルタを作成できます。^[16]

黒田回路のカスケード接続されたλ/8セクションはインピーダンス変成器の一例であり、そのような回路の典型的な例はλ/4インピーダンス変成器である。これはλ/8ラインの2倍の長さであるが、開回路スタブを短絡回路スタブに置き換えることによってローパスフィルタからハイパスフィルタに変換できるという便利な特性がある。2つのフィルタは、同じカットオフ周波数と鏡面対称の応答で正確に整合している。したがって、ダイプレクサでの使用には理想的である。^[18] λ/4変成器は、単なるインピーダンス変成器ではなく、変成器の特殊なケースであるインピーダンスインバータであるため、ローパスからハイパスへの変換に対して不変であるという特性がある。つまり、1つのポートの任意のインピーダンスネットワークを、他のポートの逆インピーダンス、つまりデュアルインピーダンスに変換する。しかし、伝送線路の単一長さは、共振周波数で正確にλ/4の長さしかなく、その結果、動作できる帯域幅には限界があります。より正確にインピーダンスを反転する、より複雑な種類のインバータ回路があります。インバータには、シャントアドミタンスを直列インピーダンスに変換するJインバータと、逆の変換を行うKインバータの2つのクラスがあります。係数JとKは、それぞれコンバータのスケーリングアドミタンスとインピーダンスです。^[19]

スタブを長くすることで、オープン回路からショート回路スタブに、またはその逆に変更することができます。^[20] ローパスフィルタは通常、直列インダクタとシャントコンデンサで構成されています。黒田の恒等式を適用すると、これらはすべてシャントコンデンサに変換され、オープン回路スタブになります。オープン回路スタブは実装が容易なため、印刷技術で好まれ、消費者向け製品に見られる可能性が高い技術です。ただし、同軸線やツインリードなどの他の技術では、ショート回路が構造の機械的サポートに実際に役立つ可能性があるため、これは当てはまりません。ショート回路には、一般にオープン回路よりも正確な位置にあるという小さな利点もあります。回路がさらに導波管媒体に変換される場合、形成された開口部から放射があるため、オープン回路は問題外です。ハイパスフィルタの場合は逆のことが適用され、黒田を適用すると当然ショート回路スタブになり、印刷設計をオープン回路に変換することが望ましい場合があります。例えば、λ/8オープンサーキットスタブは、回路の機能を変更することなく、同じ特性インピーダンスの3λ/8ショートサーキットスタブに置き換えることができます。^[21]

インピーダンス変成線と素子を結合する方法は、最もコンパクトな設計とは言えません。特にバンドパスフィルタ用に、はるかにコンパクトな結合方法も開発されています。これには、平行線フィルタ、インターデジタルフィルタ、ヘアピンフィルタ、および半集中設計のコムラインフィルタが含まれます。^[22]

• Besser, Les ; Gilmore, Rowan, 『現代のワイヤレスシステムのための実用的な RF 回路設計: 第 1 巻: パッシブ回路とシステム』、Artech House、2002 年ISBN  1580536751。
• Bhat, Bharathi; Koul, Shiban K.、「マイクロ波集積回路用のストリップラインのような伝送線路」、New Age International、1989年ISBN 8122400523。 
• Du, Ke-Lin; Swamy, MNS、「Wireless Communication Systems」、Cambridge University Press、2010年ISBN 1139485768。 
• Gardner, Mark A.、Wickert, David W.、「ラジアル ライン スタブを使用したマイクロ波フィルタ設計」、1988 IEEE リージョン 5 カンファレンス: 電気技術の頂点を越える、p. 68-72、IEEE、1988 年 3 月。
• Helszajn, Joseph、「集中要素、分布および平面フィルタの合成」、McGraw-Hill、1990年ISBN 0077071662。 
• ハンター、イアン C.、「マイクロ波フィルタの理論と設計」、IET、2001 ISBN 0852967772。 
• Kumar, Narendra; Grebennikov, Andrei; RFおよびマイクロ波通信用の分散型電力増幅器、Artech House、2015年ISBN 1608078329。 
• Lee, Thomas H., Planar Microwave Engineering、第1巻、Cambridge University Press、2004年ISBN 0521835267。 
• Levy, Ralph; Cohn, Seymour B.、「マイクロ波フィルタの研究、設計、開発の歴史」、IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques、第 32 巻、第 9 号、pp. 1055–1067、1984 年 9 月。
• Maloratsky, Leo、「Passive RF & Microwave Integrated Circuits」、Elsevier、2003年ISBN 0080492053。 
• Matthaei, George L.; Young, Leo; Jones, EMTマイクロ波フィルタ、インピーダンス整合ネットワーク、および結合構造McGraw-Hill 1964 OCLC  282667。
• 尾崎 秀次、石井 淳、「ストリップラインフィルタのクラスの合成」、IRE Transactions on Circuit Theory、第 5 巻、第 2 号、pp. 104–109、1958 年 6 月。
• リチャーズ、ポール I.、「抵抗器伝送線路回路」、IRE 議事録、第 36 巻、第 2 号、pp. 217–220、1948 年。
• Sisodia, ML,マイクロ波: 回路、デバイス、アンテナ入門、New Age International、2007 ISBN 8122413382。 
• Wen, Geyi、「無線周波数工学の基礎」、World Scientific、2015年ISBN 981457872X。 
• Wiek, Martin、「Fiber Optics Standard Dictionary」、Springer、1997年ISBN 0412122413。