球形デザイン

数学における組合せ的設計理論の一部である球面設計は、d次元単位d球面S ^d上のN点の有限集合であり、集合上の次数t以下の任意の多項式fの平均値は、球面全体におけるfの平均値（つまり、fのS ^dでの積分をS ^dの面積または大きさで割った値）に等しくなります。このような集合は、基本パラメータであるtの値を示すために、しばしば球面t設計と呼ばれます。球面設計の概念は、デルサルト、ゲータルス、ザイデルによるものですが、^{[1]これらのオブジェクトは、それ以前には}立体求積法の特定の例として理解されていました。

球状デザインは、近似理論、実験計画の統計、組合せ論、幾何学において価値があります。主な問題は、dとtが与えられたときに大きすぎない例を見つけることですが、そのような例を見つけるのは難しいかもしれません。球状 t デザインは、最近、量子力学において量子 t デザインの形で採用され、量子情報理論や量子コンピューティングにさまざまな用途で使用されています。

円上の球状デザインの存在と構造は、ホンによって詳細に研究されました。^[2]その後まもなく、シーモアとザスラフスキー^[3]は、そのようなデザインは十分に大きなサイズすべてに存在することを証明しました。つまり、正の整数dとtが与えられたとき、任意のN ≥ N ( d , t ) に対して、次元dにN点の球状tデザインが存在するような数N ( d , t ) が存在するということです。しかし、彼らの証明では、 N ( d , t ) がどれだけ大きいかについては何も示されていませんでした。

三村は、点の数と次元の観点から、球面 2 デザインが存在する場合を正確に特徴付ける条件を建設的に発見しました。等角線の最大のサイズの集合(線が球面上の反対点として識別されるまで) は、最小サイズの球面 5 デザインの例です。散発的な小さな球面デザインは多数存在し、その多くは球面上の 有限群の作用に関連しています。

2013年に、ボンダレンコ、ラドチェンコ、ヴィアゾフスカ^[4]は、すべての正の整数dと tの漸近的な上限を得ました 。これは、デルサルト、ゴーサルス、ザイデルによって最初に示された下限と漸近的に一致しています。C _dの値は現在不明ですが、の正確な値は比較的少数のケースでわかっています。 ${\displaystyle N(d,t)<C_{d}t^{d}}$${\displaystyle N(d,t)}$

• トムソン問題

• Nとtのさまざまな値に対する球面 t デザインは、 Neil Sloane の Web サイトと Robert Womersley の Web サイトで事前に計算された状態で見つかります。

• Bondarenko, Andriy; Radchenko, Danylo; Viazovska, Maryna (2013)、「球面設計の最適漸近境界」、Annals of Mathematics、第 2 シリーズ、178 (2): 443–452、arXiv : 1009.4407、doi : 10.4007/annals.2013.178.2.2、MR  3071504、S2CID  2490453。
• 三村良雄 (1990)、「球面 2 設計の構築」、グラフと組み合わせ、6 (4): 369–372、doi :10.1007/BF01787704、S2CID  28942727。
• デルサルテ、P.ゲーサルズ、JM。 Seidel、JJ (1977)、「球面コードとデザイン」、Geometriae Dedicata、6 (3): 363–388、doi :10.1007/BF03187604、MR  0485471、S2CID  125833142Seidel, JJ (1991)、Geometry and combinatorics: Selected works of JJ Seidel、ボストン、MA: Academic Press, Inc.、ISBNに再録 0-12-189420-7、MR  1116326。
• ホン・イーミン（1982）「 R ²における球状tデザインについて」、ヨーロッパ組合せ論ジャーナル、3（3）：255–258、doi：10.1016/S0195-6698（82）80036-X、MR  0679209。
• シーモア、PD ;ザスラフスキー、トーマス（1984）、「平均化セット：平均値と球面設計の一般化」、Advances in Mathematics、52（3）：213–240、doi：10.1016/0001-8708（84）90022-7、MR  0744857。