重み付けマトリックス

数学において、次数の重み行列${\displaystyle n}$体重${\displaystyle w}$行列です${\displaystyle W}$セットからのエントリー${\displaystyle \{0,1,-1\}}$そのため

${\displaystyle WW^{\mathsf {T}}=wI_{n},}$

どこ${\displaystyle W^{\mathsf {T}}}$は の転置です${\displaystyle W}$そして${\displaystyle I_{n}}$は次数 の単位行列です${\displaystyle n}$重量${\displaystyle w}$は行列の次数とも呼ばれます。便宜上、次数 の重み行列${\displaystyle n}$体重${\displaystyle w}$は次のように表されることがあります${\displaystyle W(n,w)}$[ ^{1 ]​}

計量マトリックスは、複数の物体の個々の重量を最適に測定するために使用されることからそのように呼ばれています。計量装置が天秤の場合、測定値から差し引かれる物体の一部を含む複数の物体を一度に計量することで、測定の統計的変動を最小限に抑えることができます。 ^{[ 2 ] [ 3 ]}

定義からすぐにわかる特性もあります。${\displaystyle W}$は${\displaystyle W(n,w)}$、 それから：

• 列の${\displaystyle W}$はペアごとに直交しています。同様に、列もペアごとに直交しています。
• 各行と各列${\displaystyle W}$正確に${\displaystyle w}$ゼロ以外の要素。
• ${\displaystyle W^{\mathsf {T}}W=wI}$定義によれば、${\displaystyle W^{-1}=w^{-1}W^{\mathsf {T}}}$、どこ$\displaystyle W^{-1}}$は逆です${\displaystyle W}$。
• ${\displaystyle \det W=\pm w^{n/2}}$どこ${\displaystyle \det W}$は決定要因です${\displaystyle W}$。

重み行列は、ゼロ要素を許容しないアダマール行列の一般化である。 ^{[ 1 ]} 2つの特殊なケースとして、${\displaystyle W(n,n)}$はアダマール行列^{[ 1 ]}であり、${\displaystyle W(n,n-1)}$会議マトリックスに相当します。

この重み付けマトリックスの表示では、記号${\displaystyle -}$−1を表すために使用されます。以下に例を示します。

これは${\displaystyle W(2,2)}$:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\1&-\end{pmatrix}}}$

これは${\displaystyle W(4,3)}$:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&-&0&1\\1&0&-&-\\0&1&-&1\end{pmatrix}}}$

これは${\displaystyle W(7,4)}$:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&1&0&0&0\\1&-&0&0&1&1&0\\1&0&-&0&-&0&1\\1&0&0&-&0&-&-\\0&1&-&0&0&1&-\\0&1&0&-&1&0&1\\0&0&1&-&-&1&0\end{pmatrix}}}$

別の${\displaystyle W(7,4)}$:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-&1&1&0&1&0&0\\0&-&1&1&0&1&0\\0&0&-&1&1&0&1\\1&0&0&-&1&1&0\\0&1&0&0&-&1&1\\1&0&1&0&0&-&1\\1&1&0&1&0&0&-\end{pmatrix}},}$

これは巡回行列であり、つまり各行は前の行の巡回シフトです。このような行列は${\displaystyle CW(n,k)}$そして、その最初の行によって決定されます。巡回重み行列は、その代数的構造により分類が容易になるため、特に興味深いものです。実際、次数 の巡回重み行列は、${\displaystyle n}$体重${\displaystyle k}$重量は平方でなければなりません。したがって、重量は${\displaystyle 1,4,9,16,...}$許容される重量${\displaystyle k\leq 25}$完全に分類されています。^{[ 10 ]} 巡回重み行列の 2 つの特別な (実際には極端な) ケースは、(A)次数が 5 未満でない限り存在しないと推測される巡回アダマール行列です。この推測、ライザーによって最初に提起された巡回アダマール予想は、多くの次数で真であることが知られていますが、まだ未解決です。(B)${\displaystyle CW(n,k)}$重量${\displaystyle k=s^{2}}$最小限の秩序${\displaystyle n}$存在する場合${\displaystyle s}$は素数の冪であり、このような巡回重み行列は有限射影平面の補行列に符号を付けることで得られる。すべての${\displaystyle CW(n,k)}$のために${\displaystyle k\leq 25}$分類済みで、最初の未解決事件は${\displaystyle CW(105,36)}$一般的な重み付け行列（巡回行列ではない）の最初の未解決ケースは${\displaystyle W(35,25)}$。

2つの重み行列は、一方の行列の行と列の順列と否定の系列によって他方の行列から得られる場合、同等であるとみなされます。重み行列の分類は、次の場合には完了します。${\displaystyle w\leq 5}$また、すべてのケースにおいて${\displaystyle n\leq 15}$^{[ 11 ]}しかし、巡回計量行列の分類を除いて、これ以外のことはほとんど行われていない。^{[ 12 ] [ 13 ]}

重み行列に関する主要な未解決問題の 1 つは、その存在です。${\displaystyle n}$そして${\displaystyle w}$存在するか${\displaystyle W(n,w)}$? 存在に関して以下の推測が提案されている${\displaystyle W(n,w)}$: ^{[ 7 ]}

1. もし${\displaystyle n\equiv 2{\pmod {4}}}$すると、${\displaystyle W(n,w)}$かつその場合に限り${\displaystyle w<n-1}$は2つの整数の平方数の和です。
2. もし${\displaystyle n\equiv 0{\pmod {4}}}$すると、${\displaystyle W(n,w)}$各${\displaystyle w<n}$。
3. もし${\displaystyle n\equiv 4{\pmod {8}}}$すると直交設計が存在する${\displaystyle \mathrm {OD} (n;1,1)}$すべての人々のために${\displaystyle k<n}$どこ${\displaystyle k}$は3つの整数の平方数の和です。
4. もし${\displaystyle n\equiv 0{\pmod {8}}}$すると直交設計が存在する${\displaystyle \mathrm {OD} (n;1,k)}$すべての人々のために${\displaystyle k<n}$。
5. もし${\displaystyle n\equiv 2{\pmod {4}}}$すると直交設計が存在する${\displaystyle \mathrm {OD} (n;1,k)}$すべての人々のために${\displaystyle k<n-1}$そのため${\displaystyle k=a^{2}}$、${\displaystyle a}$整数。

最後の３つの予想は直交設計に関する記述であるが、直交設計の存在は${\displaystyle \mathrm {OD} (n;s_{1},\dots ,s_{u})}$存在することと同等である${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{u}}$次数 の重み行列${\displaystyle n}$どこ${\displaystyle X_{i}}$重さがある${\displaystyle s_{i}}$[ ^{7 ]​}

重み付け行列に関して同様に重要だが、しばしば見落とされがちな問題は、その列挙である。${\displaystyle n}$そして${\displaystyle w}$、 幾つか${\displaystyle W(n,w)}$それらは存在しますか？