局所的に閉じた部分集合

数学の一分野である位相幾何学において、部分集合${\displaystyle E}$位相空間の${\displaystyle X}$以下のいずれかの同等条件が満たされる場合、局所的に閉じていると言われます。 ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

• ${\displaystyle E}$は、開集合と閉集合の交差である。${\displaystyle X.}$
• 各ポイントについて${\displaystyle x\in E,}$近隣地域があります${\displaystyle U}$の${\displaystyle x}$そのため${\displaystyle E\cap U}$閉鎖中${\displaystyle U.}$
• ${\displaystyle E}$閉鎖中も開いている${\displaystyle {\overline {E}}.}$
• セット${\displaystyle {\overline {E}}\setminus E}$閉鎖中${\displaystyle X.}$
• ${\displaystyle E}$2 つの閉集合の差は${\displaystyle X.}$
• ${\displaystyle E}$2 つのオープンセットの差は${\displaystyle X.}$

2 番目の条件は局所的に閉じているという用語を正当化し、ブルバキの局所的に閉じているの定義です。^{[ 1 ]} 2 番目の条件が 3 番目の条件を意味することを示すには、部分集合の場合、次の事実を使用します。${\displaystyle A\subseteq B,}$${\displaystyle A}$閉鎖中${\displaystyle B}$かつその場合に限り${\displaystyle A={\overline {A}}\cap B}$そしてそれは部分集合の場合${\displaystyle E}$および開部分集合${\displaystyle U,}$${\displaystyle {\overline {E}}\cap U={\overline {E\cap U}}\cap U.}$

間隔${\displaystyle (0,1]=(0,2)\cap [0,1]}$は、${\displaystyle \mathbb {R} .}$別の例として、相対的な内部を考えてみましょう。${\displaystyle D}$閉じたディスクの$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$これは閉じた円盤と開いた球の交点であるため、局所的に閉じている。

一方で、${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x\neq 0\}\cup \{(0,0)\}}$は、の局所的に閉じた部分集合ではない。$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$。

定義により、部分多様体は${\displaystyle E}$の${\displaystyle n}$-多様体${\displaystyle M}$は、各点に対して${\displaystyle x}$で${\displaystyle E,}$チャートがあります$\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$その周囲に${\displaystyle \varphi (E\cap U)=\mathbb {R} ^{k}\cap \varphi (U).}$したがって、部分多様体は局所的に閉じている。^{[ 5 ]}

代数幾何学の例を挙げます。射影多様体X上の開アフィンチャートをUとします(ザリスキ位相において)。このとき、Uの各閉部分多様体YはXにおいて局所的に閉です。すなわち、${\displaystyle Y=U\cap {\overline {Y}}}$どこ${\displaystyle {\overline {Y}}}$YのXにおける閉包を表す。（準射影多様体および準アフィン多様体も参照。）

有限個の共通部分と、局所的に閉じた集合の連続写像による逆像は、局所的に閉じている。^{[ 1 ]}一方、局所的に閉じた部分集合の和集合と補集合は、必ずしも局所的に閉じているとは限らない。^{[ 6 ]} （これが構成可能集合の概念の動機となっている。）

特に階層化理論では、局所的に閉じた部分集合の場合${\displaystyle E,}$補語${\displaystyle {\overline {E}}\setminus E}$境界と呼ばれる${\displaystyle E}$（位相境界と混同しないように）。^{[ 2 ]}もし${\displaystyle E}$多様体の境界付き閉じた部分多様体である${\displaystyle M,}$すると、相対的な内部（つまり、多様体としての内部）${\displaystyle E}$地元では閉鎖されています${\displaystyle M}$そして、多様体としての境界は、局所的に閉じた部分集合としての境界と同じである。^{[ 2 ]}

位相空間はすべての部分集合が局所的に閉じている場合、準極大である。この概念の詳細については、トポロジー用語集#Sを

• カウント可能な生成スペース

• ブルバキ、ニコラス (2007)。トポロジ全般。第 1 章から第 4 章まで。ベルリン：シュプリンガー。土井: 10.1007/978-3-540-33982-3。ISBN 978-3-540-33982-3。
• ブルバキ、ニコラス(1989) [1966]。一般的なトポロジ: 第 1 章から第 4 章[ Topologie Générale ]。数学的要素。ベルリン、ニューヨーク: Springer Science & Business Media。土井: 10.1007/978-3-642-61701-0。ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129 . 
• エンゲルキング、リザード(1989)。一般的なトポロジ。ヘルダーマン・フェルラーク、ベルリン。ISBN 3-88538-006-4。
• Pflaum, Markus J. (2001).層状空間の解析的および幾何学的研究. Lecture Notes in Mathematics. Vol.  1768. Berlin: Springer. ISBN 3-540-42626-4OCLC 47892611​​ 

• nラボの局所的に閉じたセット