付着点

数学において、位相空間の部分集合の付着点（閉包点、閉包点、接触点とも呼ばれる）^[1]とは、の任意の近傍（または同義で、の任意の開近傍）に の少なくとも1つの点が含まれるような点である。点がの付着点であるためには、 が の閉包内にあることが必要である。したがって ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A,}$

${\displaystyle x\in \operatorname {Cl} _{X}A}$全ての開集合に対して、${\displaystyle U\subseteq X,}$${\displaystyle x\in U{\text{ then }}U\cap A\neq \varnothing .}$

この定義は、集合 の極限点の定義とは異なり、極限点では、 のすべての近傍にとは異なる の点が少なくとも 1 つ含まれている必要があります。したがって、すべての極限点は付着点ですが、その逆は真ではありません。 の付着点は、 の極限点か の要素 (またはその両方) のいずれかです。極限点ではない付着点は孤立点です。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

直感的には、ある境界内の（ただし境界を含まない）領域として定義された開集合を持つ場合、 の付着点は境界を含む の付着点になります。${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

が空でない部分集合で、その上が有界である場合、その上限は に付着します。区間ではは区間内にない付着点であり、通常の位相は${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \sup S}$${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle (a,b],}$ ${\displaystyle a}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$

距離空間の部分集合が、その空間に含まれるすべての点を含むためには、その空間が（順次）閉じている必要がある。${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle S}$${\displaystyle M.}$

およびをの位相的部分空間と仮定する（つまり、によって誘導される部分空間位相が備わっている）。がの付着点である場合、かつ が の付着点である場合に限ります。${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle S\subseteq X\subseteq Y,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle Y.}$

したがって、はの付着点であり、 の任意の（あるいは、いくつかの）位相的超空間においてが真である場合に限ります。${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X.}$

が位相空間の部分集合である場合、における収束列の極限はに必ずしも属さないが、 の付着点となる。がそのような列であり、 がその極限であるとする。の極限の定義により、のすべての近傍に対してが存在し、すべての に対してとなる。特に、の付着点も存在する。 前の例とは対照的に、 における収束列の極限は必ずしも の極限点となるわけではない。たとえば、を の部分集合として考えると、 における唯一の列は、 の極限が である定数列であるがの極限点ではない。は の付着点にすぎない。${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N}}}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle x_{n}\in U}$${\displaystyle n\geq N.}$${\displaystyle x_{N}\in U}$${\displaystyle x_{N}\in S,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S=\{0\}}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle S}$${\displaystyle 0,0,\ldots }$${\displaystyle 0,}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle S;}$${\displaystyle S.}$

• 閉集合 – 開集合の補集合
• 閉包（位相）  - 位相空間の部分集合内のすべての点と極限点
• 数列の極限 – 無限数列が向かう値
• 集合の極限点 – 位相空間のクラスター点リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 後続の極限 – ある部分列の極限

• Adamson, Iain T., A General Topology Workbook 、Birkhäuser Boston; 第 1版(1995 年 11 月 29 日)。ISBN 978-0-8176-3844-3 。
• アポストル、トム M.、数学的分析、アディソン・ウェスリー・ロングマン、第 2版(1974)。ISBN 0-201-00288-4 
• Lipschutz, シーモア; Schaum の一般トポロジーの概要、McGraw-Hill。初版（1968年6月1日）。ISBN 0-07-037988-2。 
• LA Steen、JASeebach、Jr .、「位相幾何学における反例」(1970) Holt、Rinehart、Winston、Inc.。
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