チャウチャウの品種

数学、特に代数幾何学の分野では、チャウ多様体とは、与えられた射影空間上の固定次元と次数を持つ有効な代数サイクルに対応する点を持つ代数多様体のことである。より正確には、チャウ多様体^{[ 1 ]}${\displaystyle \operatorname {Gr} (k,d,n)}$は、次元のすべての有効な代数サイクルをパラメータ化する細かいモジュライ多様体である。${\displaystyle k-1}$学位${\displaystyle d}$で$\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$。

チャウチャウ種${\displaystyle \operatorname {Gr} (k,d,n)}$は、十分に大きな射影空間へのチャウ埋め込みによって構築できます。これは、グラスマン多様体の構築をプリュッカー埋め込みによって直接一般化したもので、グラスマン多様体は${\displaystyle d=1}$チャウチャウの品種の例。

チョウ多様体は、チョウ群とは異なります。チョウ群とは、多様体（必ずしも射影空間とは限らない）上のすべての代数サイクルを、有理同値を除いて表したアーベル群のことです。どちらも、代数サイクルの研究の先駆者である周煒良（ Wei-Liang Chow ）にちなんで名付けられました。

X が閉じた部分多様体である場合$\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$寸法${\displaystyle k-1}$X の次数は、 X と一般的な^{[ 2 ]}との交点の数です。${\displaystyle (nk)}$次元射影部分空間$\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$[ ^{3 ]​}

^{次数は、特定の退化極限を除いて、部分多様体の族[ 4 ]}では一定です。これを確認するには、tでパラメータ化された次の族を考えます。

${\displaystyle X_{t}:=V(x^{2}-tyz)\subset \mathbb {P} ^{2}}$。

いつでも$t ≠ 0$、${\displaystyle X_{t}}$は円錐曲線（次数2の既約部分多様体）ですが、${\displaystyle X_{0}}$線に退化する${\displaystyle x=0}$（次数が 1 である）。この問題を解決するにはいくつかの方法があるが、最も簡単なのは宣言することである。${\displaystyle X_{0}}$代数サイクルの言語を用いて、多重度2の線となる（そしてより一般的には、部分多様体に多重度を付与する） 。

A${\displaystyle (k-1)}$次元代数サイクルは有限形式線形結合である

${\displaystyle X=\sum _{i}m_{i}X_{i}}$。

その中で${\displaystyle X_{i}}$sは${\displaystyle (k-1)}$次元既約閉部分多様体$\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$、 そして${\displaystyle m_{i}}$s は整数です。代数サイクルは、各 が の場合に有効です。${\displaystyle m_{i}\geq 0}$代数サイクルの次数は次のように定義される。

${\displaystyle \deg(X):=\sum _{i}m_{i}\deg(X_{i})}$。

n 個の変数に関する同次多項式または同次イデアルは、有効な代数サイクルを定義します。$\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$ここで、各既約成分の重複度は、その成分で消滅する次数である。 で定義される代数サイクルの族では${\displaystyle x^{2}-tyz}$、${\displaystyle t=0}$サイクルはラインの2倍です ${\displaystyle x=0}$次数が 2 である。より一般的には、代数サイクルの次数は族内で一定であるため、固定次元および次数を持つ有効な代数サイクルのモジュライ問題を考えることは理にかなっている。

チャウチャウには、特に構造が単純な3つの特別な種類がある。

X を、$\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$k-1 次元で次数 d の。次数の定義により、ほとんど${\displaystyle (nk)}$次元射影部分空間$\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$X と d 個の点で交わる。対照的に、ほとんどの${\displaystyle (nk-1)}$次元射影部分空間$\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$X点では全く交差しない。これは以下のようにしてより明確にすることができる。

補題。^{[ 6 ]}集合${\displaystyle Z(X)\subset \operatorname {Gr} (nk,n)}$部分空間をパラメータ化する$\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$X と非自明に交差する は次数^{[ 7 ]} d の既約超曲面である。

その結果、次数 d の形式が存在する^{[ 8 ]}${\displaystyle R_{X}}$の上${\displaystyle \operatorname {Gr} (nk,n)}$正確に消える${\displaystyle Z(X)}$、そしてこの形式はスケーリングを除いて一意である。この構成は代数サイクルに拡張できる。${\displaystyle X=\sum _{i}m_{i}X_{i}}$宣言することによって${\displaystyle R_{X}:=\prod _{i}R_{X_{i}}^{m_{i}}}$d次代数サイクルごとに、d次形式が関連付けられる。${\displaystyle R_{X}}$の上${\displaystyle \operatorname {Gr} (nk,n)}$これはXのチャウ形式と呼ばれ、スケーリングを除いて明確に定義されています。

させて${\displaystyle V_{k,d,n}}$次数 d の形式のベクトル空間を表す${\displaystyle \operatorname {Gr} (nk,n)}$。

チョウ・ファン・デル・ヴェルデン定理^{[ 9 ]}このマップ${\displaystyle \operatorname {Gr} (k,d,n)\hookrightarrow \mathbb {P} V_{k,d,n}}$送信する${\displaystyle X\mapsto R_{X}}$これは多様体の閉じた埋め込みである。

特に、有効な代数サイクルXは、そのチャウ形式によって決定される。${\displaystyle R_{X}}$。

もし基礎となるならば${\displaystyle V_{k,d,n}}$選ばれました、送信します${\displaystyle X}$係数に対して${\displaystyle R_{X}}$この基底では、チャウ多様体上の同次座標系が得られる。${\displaystyle \operatorname {Gr} (k,d,n)}$チョウ座標と呼ばれる${\displaystyle X}$しかし、「最良」の基準については合意が得られていないため、${\displaystyle V_{k,d,n}}$この用語は曖昧な場合がある。

基礎的な観点から、上記の定理は通常、定義として使用されます。${\displaystyle \operatorname {Gr} (k,d,n)}$つまり、チャウ種は通常、${\displaystyle \mathbb {P} V_{k,d,n}}$そして、その場合にのみ、問題となっているモジュライ問題に対する優れたモジュライ空間であることが示される。

退化部分多様体の次数を「正しく」数えるという問題に対するより洗練された解決策は、部分スキームを扱うことである。$\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$部分多様体ではなく、スキームは多様体や代数サイクルでは追跡できない微小な情報を追跡できる。

例えば、ある多様体内の2つの点が代数族内で互いに接近する場合、極限部分多様体は1つの点であり、極限代数サイクルは重複度2の点であり、極限部分スキームは2つの点が衝突した接線方向を含む「太い点」である。

ヒルベルトスキーム${\displaystyle \operatorname {Hilb} (k,d,n)}$次元 k-1 で次数 d の閉じた部分スキームの細かいモジュライ スキームは、$\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$[ ^{10 ]各閉じた部分スキームは}有効な代数サイクルを決定し、誘導される写像は

${\displaystyle \operatorname {Hilb} (k,d,n)\longrightarrow \operatorname {Gr} (k,d,n)}$。

これはサイクル写像またはヒルベルト・チョウ射と呼ばれます。この写像は一般的に、の点上の同型写像です。${\displaystyle \operatorname {Gr} (k,d,n)}$これは次数 d の既約部分多様体に対応するが、非単純代数サイクル上のファイバーの方がより興味深い場合がある。

チャウ商は、一般的な軌道の閉包をパラメータ化する。これは、チャウ多様体の閉じた部分多様体として構成される。

カプラノフの定理によれば、モジュライ空間は$\displaystyle {\overline {M}}_{0,n}}$n 個のマークされた点を持つ安定な種数ゼロの曲線の数はグラスマン多様体のチャウ商である。${\displaystyle \operatorname {Gr} (2,\mathbb {C} ^{n})}$標準的な最大トーラスによる。

• ピカール品種
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