極点

数学において、実ベクトル空間または複素ベクトル空間の凸集合の極点とは、2点を結ぶ開線分上にない点のことである。線形計画問題では、極点は頂点またはコーナーポイントとも呼ばれる^[1]。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle S.}$

全体を通じて、 は実数または複素数ベクトル空間であると仮定します。 ${\displaystyle X}$

誰かが言うには${\displaystyle p,x,y\in X,}$${\displaystyle p}$ は^[2] との間に位置し、${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x\neq y}$${\displaystyle 0<t<1}$${\displaystyle p=tx+(1-t)y.}$

がサブセットである場合、は${\displaystyle K}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p\in K,}$${\displaystyle p}$の極点^[2]は、異なる点の間にない場合であるつまり存在しない場合に、およびとなる。のすべての極点の集合は、${\displaystyle K}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle x,y\in K}$${\displaystyle 0<t<1}$${\displaystyle x\neq y}$${\displaystyle p=tx+(1-t)y.}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \operatorname {extreme} (K).}$

一般化

がベクトル空間の部分集合である場合、ベクトル空間の線型部分多様体（つまり、アフィン部分空間）は${\displaystyle S}$${\displaystyle A}$が満たす（つまり空でない）開線分は^[3]の部分集合となる場合、0次元サポート多様^{体である。0次元サポート多様体は[3]}の極点と呼ばれる${\displaystyle A}$${\displaystyle S}$${\displaystyle A\cap S}$${\displaystyle I\subseteq S}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle S.}$

の２つの要素の中点^[2]とベクトル空間におけるベクトル${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(x+y).}$

ベクトル空間の任意の元とに対して、集合は${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle [x,y]=\{tx+(1-t)y:0\leq t\leq 1\}}$閉じた線分またはとの間における閉区間${\displaystyle x}$${\displaystyle y.}$開いた線分またはとの間の開区間はのときでありのときである[^2]点とは${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle (x,x)=\varnothing }$${\displaystyle x=y}$${\displaystyle (x,y)=\{tx+(1-t)y:0<t<1\}}$${\displaystyle x\neq y.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$これらの区間の終点。区間は非退化区間または適切な間隔は、その端点が明確に区別できる場合に限ります。区間の中点はその端点の中点です。

閉区間はの凸包に等しい（そして の場合に限る）なので が凸包であれば${\displaystyle [x,y]}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle x\neq y.}$${\displaystyle K}$${\displaystyle x,y\in K,}$${\displaystyle [x,y]\subseteq K.}$

がの空でない部分集合であり、がの空でない部分集合である場合、はと呼ばれる。${\displaystyle K}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle K,}$${\displaystyle F}$面^[2]の2点の間にある場合、その2点は必ず${\displaystyle K}$${\displaystyle p\in F}$${\displaystyle K,}$${\displaystyle F.}$

が2つの実数である場合、およびは区間の極点です。ただし、開区間には極点はありません。 ^{[2] の}任意の 開区間には極点はありませんが、に等しくない任意の非退化閉区間には極点（つまり、閉区間の端点）があります。より一般的には、有限次元ユークリッド空間の任意の開部分集合には極点がありません。 ${\displaystyle a<b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle [a,b].}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

における閉じた単位円の端点は単位円です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

平面上の任意の凸多角形の周囲はその多角形の面である。^[2] 平面上の任意の凸多角形の頂点はその多角形の端点である。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

入射線型写像は、凸集合の端点を凸集合の端点に写像する^[2]。これは入射アフィン写像にも当てはまる。 ${\displaystyle F:X\to Y}$${\displaystyle C\subseteq X}$${\displaystyle F(X).}$

コンパクト凸集合の端点は（部分空間位相を持つ）ベール空間を形成するが、この集合は^[2]では閉じられない可能性がある。${\displaystyle X.}$

クライン＝ミルマン定理は、おそらく極点に関する最もよく知られた定理の 1 つです。

これらの定理は、ラドン・ニコディム性質を持つバナッハ空間に対するものです。

ヨラム・リンデンシュトラウスの定理によれば、ラドン・ニコディム性質を持つバナッハ空間では、空でない閉有界集合は極点を持つ。（無限次元空間では、コンパクト性の性質は、閉であることと有界であることの結合性質よりも強い。^[4]）

エドガーの定理はリンデンシュトラウスの定理を示唆する。

位相ベクトル空間の閉凸部分集合は、その（位相的な）境界点のすべてが極点である場合に、厳密に凸集合と呼ばれる。 ^[6]任意のヒルベルト空間の単位球は厳密に凸集合である。^[6]

より一般的には、凸集合内の点が内の - 次元凸集合の内部にあるが内の - 次元凸集合にはない場合、その点は -極点です。 したがって、極点は - 極点でもあります。が多面体である場合、 - 極点はの - 次元面の内部点とまったく同じです 。より一般的には、任意の凸集合について、-極点は- 次元の開いた面 に分割されます。${\displaystyle S}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle k+1}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle S}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

ミンコフスキーによる有限次元のクライン＝ミルマン定理は、-極値点の概念を使って簡単に証明できます。 が閉じていて、有界で、-次元であり、が の点である場合、ある に対して -極値になります。 定理は、 が極値点の凸結合であることを主張します。 の場合、それは即時です。それ以外の場合は、 が の最大限に延長できる線分上にあります(は閉じていて有界であるため)。線分の端点が で の場合、それらの極値階数は の極値階数よりも小さくなければならず、定理は帰納法で続きます。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle S}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle p}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k\leq n.}$${\displaystyle p}$${\displaystyle k=0}$${\displaystyle p}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle q}$${\displaystyle r,}$${\displaystyle p,}$

• ショケ理論 – 関数解析と凸解析の領域
• バンバン制御^[7]

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