チェビシェフフィルタ

チェビシェフ フィルタは、バターワース フィルタよりも急峻なロールオフを持つアナログまたはデジタルフィルタであり、通過帯域リップル(タイプ I) または阻止帯域リップル (タイプ II) のいずれかを持ちます。チェビシェフ フィルタは、フィルタの動作周波数範囲にわたって、理想化されたフィルタ特性と実際のフィルタ特性との間の誤差を最小化する特性を持ちますが、^{[1] [2]}通過帯域にリップルを伴ってこれを実現します。このタイプのフィルタは、その数学的特性がチェビシェフ多項式から派生していることから、パフヌティ チェビシェフにちなんで名付けられました。タイプ I チェビシェフ フィルタは通常「チェビシェフ フィルタ」と呼ばれ、タイプ II フィルタは通常「逆チェビシェフ フィルタ」と呼ばれます。^[3]チェビシェフ フィルタには通過帯域リップルが内在するため、特定の用途では、通過帯域ではより滑らかな応答を持ち、阻止帯域ではより不規則な応答を持つフィルタが好まれます。^[4]

タイプ I チェビシェフ フィルタは、最も一般的なタイプのチェビシェフ フィルタです。次ローパス フィルタの角周波数の関数としてのゲイン (または振幅) 応答は、で評価される伝達関数の絶対値に等しくなります。 ${\displaystyle G_{n}(\omega )}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H_{n}(s)}$${\displaystyle s=j\omega }$

${\displaystyle G_{n}(\omega )=\left|H_{n}(j\omega )\right|={\frac {1}{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(\omega /\omega _{0})}}}}$

ここで、はリップル係数、はカットオフ周波数、は 番目の次数のチェビシェフ多項式です。 ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle T_{n}}$${\displaystyle n}$

通過帯域は等リップル動作を示し、リップルはリップル係数 によって決定されます。通過帯域では、チェビシェフ多項式は -1 と 1 の間を交互に変化するため、フィルタ ゲインは での最大値と での最小値の間を交互に変化します。 ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle G=1}$${\displaystyle G=1/{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}}}}$

リップル係数 ε は、デシベル単位の通過帯域リップル δ と次の式で関係します。

${\displaystyle \varepsilon ={\sqrt {10^{\delta /10}-1}}.}$

カットオフ周波数ではゲインは再び値を持ちますが、周波数が増加するにつれて、 引き続きストップバンドに低下します。この動作は、右の図に示されています。カットオフ周波数を -3 dBに定義するという一般的な方法は、通常、チェビシェフ フィルターには適用されません。代わりに、カットオフは、ゲインが最終的にリップルの値まで低下するポイントとして取られます。 ${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle 1/{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}}}}$

3 dB 周波数は次の関係にあります。 ${\displaystyle \omega _{H}}$${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle \omega _{H}=\omega _{0}\cosh \left({\frac {1}{n}}\cosh ^{-1}{\frac {1}{\varepsilon }}\right).}$

チェビシェフ フィルタの次数は、アナログ エレクトロニクスを使用してフィルタを実現するために必要なリアクタンス部品 (たとえば、インダクタ)の数に等しくなります。

複素平面の - 軸にゼロを許容することで、阻止帯域でリップルを許容すると、さらに急峻なロールオフが得られます。これにより、これらのゼロとその近くでほぼ無限の抑制が生成されますが (コンポーネントの品質係数、寄生、および関連要因によって制限されます)、阻止帯域の全体的な抑制は減少します。結果は楕円フィルターと呼ばれ、カウアーフィルターとも呼ばれます。 ${\displaystyle \omega }$

簡単にするために、カットオフ周波数は 1 に等しいと仮定します。チェビシェフ フィルタのゲイン関数の極は、ゲイン関数の分母のゼロです。複素周波数を使用すると、これらは次の場合に発生します。 ${\displaystyle (\omega _{pm})}$${\displaystyle s}$

${\displaystyle 1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(-js)=0.\,}$

チェビシェフ多項式の三角関数の 定義と使用により、次の式が得られます。${\displaystyle -js=\cos(\theta )}$

${\displaystyle 1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(\cos(\theta ))=1+\varepsilon ^{2}\cos ^{2}(n\theta )=0.\,}$

解決する${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{n}}\arccos \left({\frac {\pm j}{\varepsilon }}\right)+{\frac {m\pi }{n}}}$

ここで、逆余弦関数の複数の値は、整数インデックスを使用して明示的に表されます。チェビシェフゲイン関数の極は次のようになります。 ${\displaystyle m}$

${\displaystyle s_{pm}=j\cos(\theta )\,}$

${\displaystyle =j\cos \left({\frac {1}{n}}\arccos \left({\frac {\pm j}{\varepsilon }}\right)+{\frac {m\pi }{n}}\right).}$

三角関数と双曲線関数の特性を使用すると、これを明示的に複素形式で記述できます。

${\displaystyle s_{pm}^{\pm }=\pm \sinh \left({\frac {1}{n}}\mathrm {arsinh} \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)\right)\sin(\theta _{m})}$

${\displaystyle +j\cosh \left({\frac {1}{n}}\mathrm {arsinh} \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)\right)\cos(\theta _{m})}$

どこで そして ${\displaystyle m=1,2,...,n}$

${\displaystyle \theta _{m}={\frac {\pi }{2}}\,{\frac {2m-1}{n}}.}$

これは、 のパラメトリック方程式として見ることができ、 を中心とする空間の楕円上に極が位置し、実半軸の長さが で、虚半軸の長さがであることを示しています。${\displaystyle \theta _{n}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s=0}$${\displaystyle \sinh(\mathrm {arsinh} (1/\varepsilon )/n)}$${\displaystyle \cosh(\mathrm {arsinh} (1/\varepsilon )/n).}$

上記の式はゲインの極を導きます。各複素極に対して、複素共役の極が 1 つあり、各共役ペアに対して、そのペアの負の極が 2 つあります。伝達関数は安定している必要があり、その極は負の実部を持つゲインの極であり、したがって複素周波数空間の左半分の平面にあります。伝達関数は次のように表されます。 ${\displaystyle G}$

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{2^{n-1}\varepsilon }}\ \prod _{m=1}^{n}{\frac {1}{(s-s_{pm}^{-})}}}$

ここでは、上記の式から得られた、実数項の前に負の符号が付いたゲインの極のみを示します。 ${\displaystyle s_{pm}^{-}}$

群遅延は、角周波数に対する位相の微分として定義されます。

${\displaystyle \tau _{g}=-{\frac {d}{d\omega }}\arg(H(j\omega ))}$

ε=0.5 の 5 次タイプ I チェビシェフ フィルタのゲインとグループ遅延が、左のグラフにプロットされています。ストップ バンドにはリップルがありません。ただし、パスバンドのグループ遅延のリップルは、異なる周波数成分には異なる遅延があることを示しており、パスバンドのゲインのリップルと相まって、波形の形状が歪んでいます。

偶数次チェビシェフフィルタは、通常はインダクタ、コンデンサ、伝送線路などの受動素子で実装され、両側に等しい値の終端を持つが、結合コイルを使用せずに従来のチェビシェフ伝達関数で実装することはできない。これは、特に高周波数では望ましくないか実現可能ではない可能性がある。これは、偶数次チェビシェフ反射零点を物理的に収容できないため、散乱行列S12 値が での S12 値を超えるためである。通過帯域 S12 に対応するために終端の 1 つを増減させてフィルタを設計することが実現不可能な場合は、通過帯域の等リプル応答を維持しながら、最低偶数次反射零点を に移動するようにチェビシェフ伝達関数を変更しなければならない。^[5]${\displaystyle \omega =0}$${\displaystyle \omega =0}$

必要な修正は、チェビシェフ伝達関数の各極を、最低周波数反射ゼロをゼロにマッピングし、残りの極を等リプル通過帯域を維持するために必要な方法でマッピングすることです。最低周波数反射ゼロは、チェビシェフノード、から見つけることができます。完全なチェビシェフ極マッピング関数を以下に示します。^[5]${\displaystyle cos{\Bigl (}{\frac {\pi (n-1)}{2n}}{\Bigl )}}$

${\displaystyle P'=\left[{\sqrt {\left({\frac {P^{2}+cos^{2}{\Bigl (}{\frac {\pi (n-1)}{2n}}{\Bigl )}}{1-{cos^{2}{\Bigl (}{\frac {\pi (n-1)}{2n}}{\Bigl )}}}}\right)}}\right]_{\text{Left Half Plane }}}$

どこ：

nはフィルタの次数です（偶数である必要があります）

Pは伝統的なチェビシェフ伝達関数の極である

P' は、修正偶数次伝達関数のマップされた極です。

「左半平面」は、負の実数値を含む平方根を使用することを示します。

完了すると、等終端パッシブ ネットワークで実装された場合、S12 の反射ゼロ散乱行列値が 1、S11 が 0 である置換等リップル伝達関数が作成されます。下の図は、等リップル通過帯域周波数応答を維持しながら、最低周波数反射ゼロを有限周波数から 0 に再配置することにより、偶数次の等終端パッシブ ネットワークをサポートするように変更された 8 次チェビシェフ フィルタを示しています。

カウアートポロジーの LC 要素値の式は、偶数次修正チェビシェフ伝達関数には適用できず、使用できません。したがって、反射係数から導出できるインピーダンス関数の従来の連分数から LC 値を計算する必要があり、反射係数は伝達関数から導出できます。

必要最小限の要素数でチェビシェフフィルタを設計するには、チェビシェフフィルタの最小次数を次のように計算します。^[6] この式は、標準的なローパスチェビシェフフィルタのみを考慮しています。次数の変更や有限のストップバンド伝送ゼロでも、この式では考慮されていない誤差が生じます。

${\displaystyle n=ceil{\bigg [}{\frac {\cosh ^{-1}{\sqrt {\frac {10^{\alpha _{s}/10}-1}{10^{\alpha _{p}/10}-1}}}}{\cosh ^{-1}{(\omega _{s}/\omega _{p})}}}{\bigg ]}}$

どこ：

${\displaystyle \omega _{p}}$は通過帯域リップル周波数と最大リップル減衰量（dB）である。 ${\displaystyle \alpha _{p}}$

${\displaystyle \omega _{s}}$およびはストップバンド周波数とその周波数での減衰量（dB）である。 ${\displaystyle \alpha _{s}}$

${\displaystyle n}$最小の極数、つまりフィルタの次数です。

ceil [] は次の整数に切り上げる関数です。

チェビシェフ フィルタの通過帯域カットオフ減衰は、通常、上記の計算によって設定される通過帯域リップル減衰と同じです。ただし、ダイプレクサやトリプレクサなどの多くのアプリケーションでは、^[5]必要な反射を得るために -3.0103 dB のカットオフ減衰が必要です。その他の特殊なアプリケーションでは、さまざまな理由からカットオフ減衰に他の特定の値が必要になる場合があります。したがって、チェビシェフ通過帯域カットオフ減衰を通過帯域リップル減衰とは独立して、-1 dB、-10 dB などに設定できる手段があると便利です。カットオフ減衰は、伝達関数の極を周波数スケーリングすることによって設定できます。

スケーリング係数は、定義するチェビシェフ フィルタ関数 （およびを含む）の直接代数操作によって決定できます。チェビシェフ関数の一般的な定義が必要ですが、これはチェビシェフ多項式方程式および逆チェビシェフ関数 から導出できます。の値に対して数値を実数に保つために、複素双曲恒等式を使用して方程式をおよびとして書き直すことができます。 ${\displaystyle G_{n}(\omega )}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle T_{n}(\omega /\omega _{0})}$${\displaystyle T_{n}(\omega /\omega _{0})=cos(n\cos ^{-1}(\omega /\omega _{0}))}$${\displaystyle T_{n}^{-1}(\omega /\omega _{0})=cos(\cos ^{-1}(\omega /\omega _{0})/n)}$${\displaystyle \omega /\omega _{0}\geq 1}$${\displaystyle T_{n}(\omega /\omega _{0})=cosh(n\cosh ^{-1}(\omega /\omega _{0}))}$${\displaystyle T_{n}^{-1}(\omega /\omega _{0})=cosh(\cosh ^{-1}(\omega /\omega _{0})/n)}$

上記の方程式と参照に簡単な代数を使用すると、各チェビシェフ極をスケーリングする式は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{A}&=p_{1}/T_{n}^{-1}{\Biggr (}{\sqrt {\frac {10^{{\alpha }/10}-1}{10^{\delta /10}-1}}},n{\Biggr )}\qquad &{\text{For }}0<\delta <\infty {\text{ and }}\delta \leq \alpha <\infty \\&=p_{1}*sech{\Biggr (}{\frac {1}{n}}cosh^{-1}{\Bigr (}{\sqrt {\frac {10^{\alpha /10}-1}{10^{\delta /10}-1}}}{\Bigr )}{\Biggr )}&{\text{For }}0<\delta <\infty {\text{ and }}\delta \leq \alpha <\infty \\\end{aligned}}}$

どこ：

${\displaystyle p_{A}}$希望するカットオフ減衰を設定するために再配置されたポールです。

${\displaystyle p_{1}}$楕円形上に位置するリップルカットオフポールです。

${\displaystyle \delta }$通過帯域減衰リップル（dB 単位、0.05 dB、1 dB など）です。

${\displaystyle \alpha }$カットオフ周波数における所望の通過帯域減衰量（dB 単位、1 dB、3 dB、10 dB など）

${\displaystyle n}$極の数（フィルタの次数）です。

通過帯域リップル減衰を通過帯域カットオフ減衰に使用して上記の式を簡単に妥当性チェックすると、この場合の極調整は 1.0 になることがわかります。これは予想どおりです。 ${\displaystyle (\alpha =\delta )}$

パッシブ等終端フィルタの偶数次通過帯域リップルを修正して設計されているチェビシェフ フィルタの場合、計算された減衰周波数に対して偶数次調整操作を実行することにより、減衰周波数の計算に偶数次調整を含める必要があります。この場合、周波数は実変数として扱うことができるため、偶数次調整の演算が若干簡単になります。 ${\displaystyle ((J\omega )^{2}{\text{ becomes }}-\omega ^{2})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{A}=p_{1}{\sqrt {\frac {1-{cos^{2}({\frac {\pi (n-1)}{2n}})}}{cosh^{2}{\Biggr (}{\frac {1}{n}}cosh^{-1}{\Bigr (}{\sqrt {\frac {10^{\alpha /10}-1}{10^{\delta /10}-1}}}{\Bigr )}{\Biggr )}-cos^{2}({\frac {\pi (n-1)}{2n}})}}}{\text{ For }}0<\delta <\infty {\text{ and }}\delta \leq \alpha <\infty \\\end{aligned}}}$

どこ：

${\displaystyle p_{A}}$希望するカットオフ減衰を設定するために再配置されたポールです。

${\displaystyle p_{1}}$偶数次通過帯域用に修正されたリップル カットオフ ポールです。

${\displaystyle \delta }$通過帯域減衰リップル（dB 単位、0.05 dB、1 dB など）です。

${\displaystyle \alpha }$カットオフ周波数における所望の通過帯域減衰量（dB 単位、1 dB、3 dB、10 dB など）

${\displaystyle n}$極の数（フィルタの次数）です。

${\displaystyle cos({\frac {\pi (n-1)}{2n}})}$最小の偶数次チェビシェフノードである

逆チェビシェフ フィルタとも呼ばれるタイプ II チェビシェフ フィルタ タイプは、タイプ I ほど速くロールオフせず、より多くのコンポーネントを必要とするため、あまり一般的ではありません。通過帯域にリップルはありませんが、阻止帯域に等リップルがあります。ゲインは次のとおりです。

${\displaystyle G_{n}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {1}{\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(\omega _{0}/\omega )}}}}}={\sqrt {\frac {\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(\omega _{0}/\omega )}{1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(\omega _{0}/\omega )}}}.}$

ストップバンドでは、チェビシェフ多項式は-1と1の間で振動し、ゲインは0と

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}}}}}$

そして、この最大値が達成される最小の周波数がカットオフ周波数です。したがって、パラメータ ε は、デシベル単位のストップバンド減衰量γと次の式で関係します。 ${\displaystyle \omega _{o}}$

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{\sqrt {10^{\gamma /10}-1}}}.}$

ストップバンド減衰が 5 dB の場合、ε = 0.6801、減衰が 10 dB の場合、ε = 0.3333 です。周波数f ₀ = ω ₀ /2 πはカットオフ周波数です。3 dB 周波数f _Hはf ₀と次の式で関係します。

${\displaystyle f_{H}={\frac {f_{0}}{\cosh \left({\frac {1}{n}}\cosh ^{-1}{\frac {1}{\varepsilon }}\right)}}.}$

カットオフ周波数が 1 に等しいと仮定すると、チェビシェフ フィルタのゲインの極はゲインの分母のゼロになります。 ${\displaystyle (\omega _{pm})}$

${\displaystyle 1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(-1/js_{pm})=0.}$

タイプ II チェビシェフ フィルタのゲインの極は、タイプ I フィルタの極の逆になります。

${\displaystyle {\frac {1}{s_{pm}^{\pm }}}=\pm \sinh \left({\frac {1}{n}}\mathrm {arsinh} \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)\right)\sin(\theta _{m})}$

${\displaystyle \qquad +j\cosh \left({\frac {1}{n}}\mathrm {arsinh} \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)\right)\cos(\theta _{m})}$

ここで、タイプ II チェビシェフ フィルタのゼロはゲインの分子のゼロです。 ${\displaystyle m=1,2,...n}$${\displaystyle (\omega _{zm})}$

${\displaystyle \varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(-1/js_{zm})=0.\,}$

したがって、タイプ II チェビシェフ フィルタのゼロは、チェビシェフ多項式のゼロの逆になります。

${\displaystyle 1/s_{zm}=-j\cos \left({\frac {\pi }{2}}\,{\frac {2m-1}{n}}\right)}$

のために。 ${\displaystyle m=1,2,...n}$

伝達関数はゲイン関数の左半平面の極によって与えられ、同じゼロを持ちますが、これらのゼロは二重ゼロではなく単一ゼロです。

ε=0.1 の 5 次タイプ II チェビシェフ フィルタのゲインとグループ遅延が、左側のグラフにプロットされています。阻止帯域のゲインにリップルがありますが、通過帯域にはリップルがないことがわかります。

チェビシェフ偶数次フィルタと同様に、標準チェビシェフ II 偶数次フィルタは、結合コイルを使用せずに等終端パッシブ要素で実装することはできません。これは望ましくないか、実現可能ではない可能性があります。チェビシェフ II の場合、これは阻止帯域における S12 の有限減衰によるものです。^[5] ただし、偶数次チェビシェフ II フィルタは、最高周波数の有限伝送ゼロを無限大に変換することで変更でき、チェビシェフ II 阻止帯域の等リプル関数は維持されます。この変換を行うには、標準チェビシェフ関数の代わりに偶数次修正チェビシェフ関数を使用して、偶数次修正チェビシェフ II 伝達関数を作成するために必要なチェビシェフ II 極を定義します。ゼロは、偶数次修正チェビシェフ多項式の根、つまり偶数次修正チェビシェフ ノードを使用して作成されます。

下の図は、等リップル停止帯域周波数応答を維持しながら、最高周波数伝送ゼロを有限周波数からに移動することにより、偶数次の等終端パッシブ ネットワークをサポートするように変更された 8 次逆チェビシェフ フィルタを示しています。 ${\displaystyle \infty }$

必要最小限の要素数を使用して逆チェビシェフフィルタを設計するには、逆チェビシェフフィルタの最小次数を次のように計算します。^[7] この方程式は、標準のローパス逆チェビシェフフィルタのみを考慮しています。次数を変更しても、方程式で考慮されていない誤差が生じます。この方程式は、チェビシェフフィルタの最小次数に使用される方程式と同じですが、変数の定義がわずかに異なります。

${\displaystyle n=ceil{\bigg [}{\frac {\cosh ^{-1}{\sqrt {\frac {10^{\alpha _{s}/10}-1}{10^{\alpha _{p}/10}-1}}}}{\cosh ^{-1}{(\omega _{s}/\omega _{p})}}}{\bigg ]}}$

どこ：

${\displaystyle \omega _{p}}$は通過帯域周波数と、その周波数における減衰量（dB）である。 ${\displaystyle \alpha _{p}}$

${\displaystyle \omega _{s}}$およびはストップバンド周波数と最小ストップバンド減衰量（dB）である。 ${\displaystyle \alpha _{s}}$

${\displaystyle n}$最小の極数、つまりフィルタの次数です。

ceil [] は次の整数に切り上げる関数です。

説明した標準のカットオフ減衰は、通過帯域リップル減衰と同じです。ただし、チェビシェフ フィルターの場合と同様に、カットオフ減衰を目的の値に設定すると便利です。その理由も同じです。チェビシェフ II カットオフ減衰の設定は、チェビシェフ カットオフ減衰と同じですが、算術減衰とリップルのエントリが式で反転され、極とゼロが結果で乗算されます (チェビシェフの場合は除算)。

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{A}&=p_{1}*T_{n}^{-1}{\Biggr (}{\sqrt {\frac {10^{{\delta }/10}-1}{10^{\alpha /10}-1}}},n{\Biggr )}\qquad &{\text{For }}0<\delta <\infty {\text{ and }}0\leq \alpha <\infty \\&=p_{1}*cosh{\Biggr (}{\frac {1}{n}}cosh^{-1}{\Bigr (}{\sqrt {\frac {10^{\delta /10}-1}{10^{\alpha /10}-1}}}{\Bigr )}{\Biggr )}&{\text{For }}0<\delta <\infty {\text{ and }}\delta \leq \alpha <\infty \\\end{aligned}}}$

チェビシェフ偶数次修正カットオフ減衰に使用されたのと同じ偶数次極とゼロの調整は、チェビシェフ II の場合にも使用できますが、極が結果に乗算される点が異なります。

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{A}=p_{1}{\sqrt {\frac {cosh^{2}{\Biggr (}{\frac {1}{n}}cosh^{-1}{\Bigr (}{\sqrt {\frac {10^{\delta /10}-1}{10^{\alpha /10}-1}}}{\Bigr )}{\Biggr )}-cos^{2}({\frac {\pi (n-1)}{2n}})}{1-{cos^{2}({\frac {\pi (n-1)}{2n}})}}}}{\text{ For }}0<\delta <\infty {\text{ and }}\delta \leq \alpha <\infty \\\end{aligned}}}$

パッシブLCチェビシェフローパスフィルタはカウアートポロジーを使用して実現できます。次チェビシェフプロトタイプフィルタのインダクタまたはコンデンサの値は、次の式から計算できます。^[8]${\displaystyle n}$

${\displaystyle G_{0}=1}$

${\displaystyle G_{1}={\frac {2A_{1}}{\gamma }}}$

${\displaystyle G_{k}={\frac {4A_{k-1}A_{k}}{B_{k-1}G_{k-1}}},\qquad k=2,3,4,\dots ,n}$

${\displaystyle G_{n+1}={\begin{cases}1&{\text{if }}n{\text{ odd}}\\\coth ^{2}\left({\frac {\beta }{4}}\right)&{\text{if }}n{\text{ even}}\end{cases}}}$

G ₁、G _{k は}コンデンサまたはインダクタ素子の値です。3 dB周波数f _{H は次のように計算されます。}${\displaystyle f_{H}=f_{0}\cosh \left({\frac {1}{n}}\cosh ^{-1}{\frac {1}{\varepsilon }}\right)}$

係数A、γ、β、A _k、およびB _{k は}、次の式から計算できます。

${\displaystyle \gamma =\sinh \left({\frac {\beta }{2n}}\right)}$

${\displaystyle \beta =\ln \left[\coth \left({\frac {\delta }{17.37}}\right)\right]}$

${\displaystyle A_{k}=\sin {\frac {(2k-1)\pi }{2n}},\qquad k=1,2,3,\dots ,n}$

${\displaystyle B_{k}=\gamma ^{2}+\sin ^{2}\left({\frac {k\pi }{n}}\right),\qquad k=1,2,3,\dots ,n}$

ここで、 はデシベル単位の通過帯域リップルです。数値は正確な値から切り上げられます。 ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle 17.37}$${\displaystyle 40/\ln(10)}$

計算されたG _k値は、右に示すようにシャントコンデンサと直列インダクタに変換されるか、直列コンデンサとシャントインダクタに変換されます。たとえば、

• C _{1 シャント}= G ₁、L _{2 シリーズ}= G ₂、...

または

• L _{1 シャント}= G ₁、C _{1 シリーズ}= G ₂、...

_{G 1}がシャントコンデンサまたは直列インダクタの場合、 G _{0 は}それぞれ入力抵抗またはコンダクタンスに対応することに注意してください。同じ関係が G _n+1と G _nにも当てはまります。結果として得られる回路は正規化されたローパスフィルタです。周波数変換とインピーダンススケーリングを使用すると、正規化されたローパスフィルタを、任意のカットオフ周波数または帯域幅のハイパスフィルタ、バンドパスフィルタ、およびバンドストップフィルタに変換できます。

ほとんどのアナログ フィルタと同様に、チェビシェフ フィルタは、双線形変換によってデジタル (離散時間)再帰形式に変換できます。ただし、デジタル フィルタの帯域幅は有限であるため、変換されたチェビシェフ フィルタの応答形状は歪んでしまいます。代わりに、応答を歪めない マッチド Z 変換法を使用することもできます。

次の図は、チェビシェフ フィルターと、同じ数の係数 (5 次) で得られる他の一般的なフィルター タイプを並べて示しています。

チェビシェフ フィルターはバターワース フィルターよりも鋭いです。楕円フィルターほど鋭くはありませんが、帯域幅全体にわたってリップルが少なくなります。

チェビシェフフィルタの設計柔軟性は、このセクションで説明するより高度な設計方法によって強化される可能性があります。 特定の不要な周波数を中和したり、カットオフ減衰を増加させたりするために、ストップ バンドに伝送ゼロを挿入したり、より望ましいグループ遅延を得るために軸外に挿入したりできます。周波数非対称の設計要件をより効率的に満たすために、通過帯域の両側に異なる数の極を含む非対称チェビシェフ バンド パス フィルタを作成できます。チェビシェフ フィルタの特徴である等リップル通過帯域とを通過帯域のパーセンテージに制限して、通過帯域の一部のみを等リップルにすることを要求する設計要件をより効率的に満たすことができます^[9]。

チェビシェフフィルタは、等リップル通過帯域を維持しながら、阻止帯域に任意に配置された有限の透過零点を持つように設計することができる。軸に沿った阻止帯域零点は、通常、不要な周波数を除去するために使用される。実軸に沿った阻止帯域零点または複素平面の四重阻止帯域零点は、群遅延をより望ましい形状に修正するために使用することができる。透過零点の設計では、特性多項式K(S)を使用して透過零点と反射零点を配置し、次に伝達関数を作成するために使用される。[ ^10]${\displaystyle j\omega }$${\displaystyle G(s)}$

${\displaystyle G(s)={\sqrt {\frac {1}{1+\varepsilon ^{2}K(s)K(-s)}}}{\bigg |}_{\text{left half plane (LHP) poles}}}$

K(S)の計算は、以下の観察された等式に依存します。^[10]

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{array}{lcr}&{\bigg |}\prod _{i=1}^{N}{\frac {j\omega {\frac {\sqrt {z_{i}^{2}+1}}{z_{i}}}+{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}{(1-j\omega /z_{i})}}{\bigg |}=1.&&{\text{ for }}0\leq \omega \leq 1\end{array}}\\\end{aligned}}}$

すべての、虚数共役ペア、四重共役ペア 、または実数の反対符号ペア に対して。${\displaystyle z_{i}=\infty }$

通過帯域（）内の振幅が常に 1 であるとすると、有理項と無理項は 0 から 1 の間で変化する必要があります。したがって、有理項のみを使用して特性関数を作成すると、通過帯域内で等リプル応答が予想され、すべての で特性極（伝送ゼロ）が予想されます。 ${\displaystyle 0\leq \omega \leq 1}$${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle s=z_{i}}$

上記の式を使用したK(S)の設計プロセスは以下のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}K(s)&={\frac {{\bigg \{}\prod _{i=1}^{N}{\bigg (}M_{i}s+{\sqrt {s^{2}+1}}{\bigg )}{\bigg \}}_{\text{rational term only}}}{\prod _{i=1}^{N}(1-s/z_{i})}}\\M_{i}&={\frac {\sqrt {z_{i}^{2}+1}}{z_{i}}}{\text{ for }}\sigma _{i}\neq 0{\text{ or }}\omega _{i}>1\\&={\frac {\sqrt {\omega _{i}^{2}-1}}{\omega _{i}}}{\text{ for }}\sigma _{i}=0{\text{ and }}\omega _{i}>1\\&=1{\text{ for }}\omega _{i}=\infty \\z_{i}&=\sigma _{i}+j\omega _{i}={\text{ complex transmision zero}}\\\end{aligned}}}$

実数と虚数のペアには正の解を使用します。4重複素数のペアには、正の実数と共役虚数の解を使用します。 ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle z_{i}}$${\displaystyle M_{i}}$${\displaystyle z_{i}}$

${\displaystyle K(s)}$必要に応じて、 となるように正規化する必要があります。 ${\displaystyle |K(s)|=1{\text{ at }}s=j}$

「有理項のみ」は、積の有理数部分を保持し、無理数部分を破棄することを示します。有理数項は、多項式演算を手動で実行することによって取得することも、多項式演算から導出され二項係数を使用する以下のショートカットを使用して取得することもできます。二項係数が事前に計算された値の参照テーブルから実装されている場合、アルゴリズムは非常に効率的です。

${\displaystyle {\begin{aligned}&B=\prod _{i=1}^{N}(M_{i}s+1)\\&K(s)_{num}=\sum _{i=N}^{i\geq 0{\text{, step }}=-2}{\bigg [}\sum _{j=i}^{j\geq 0{\text{, step }}=-2}B_{j}{\binom {(N-j)/2}{(N-i)/2}}{\bigg ]}s^{i}\\&N={\text{ order of the Chebyshev filter}}\\&B={\text{a polynomial created by the product of the specified factors}}\\&B_{j}={\text{ the }}j_{th}{\text{ order coefficent of polynomial }}B\\&{\binom {n}{k}}{\text{ is the binomial coefficient function}}\\\end{aligned}}}$

すべての M の値が 1 に設定されている場合、 は標準のチェビシェフ方程式になります。これは、すべての伝送零点が であるため予想されます。偶数次の有限伝送零点チェビシェフ フィルタには、等終端受動ネットワークを使用して構築できないという、全極の場合と同じ制限があります。同じ偶数次の変更を偶数次の特性多項式 に加えることで、等終端受動ネットワークの実装が可能になります。ただし、偶数次の変更により、有限伝送零点もわずかに移動されます。この移動は、 最低のチェビシェフ ノード を使用した偶数次の変更の逆で伝送零点を提案することで大幅に緩和される可能性があります。${\displaystyle K(s)_{num}}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle cos(\pi (N-1)/(2N))}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&z_{i}'={\sqrt {z_{i}^{2}(1.-C_{0}^{2})-C_{0}^{2}}}\\&C_{0}^{2}=cos^{2}({\frac {\pi (N-1)}{2N}})\\&z_{i}={\text{desired finite transmission zero}}\\&z_{i}'={\text{prepositioned finite transmission zero}}\\\end{aligned}}}$

1 dB の通過帯域、2 rad/sec の透過ゼロ、および次の透過ゼロを持つ 3 極チェビシェフ フィルタを設計します。 ${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&M_{1}=M_{2}={\sqrt {(j2)^{2}+1}}/j2={\sqrt {1-4}}/j2={\sqrt {3}}/2=0.866025{\text{, }}M_{3}={\sqrt {\infty ^{2}+1}}/\infty =1\\&\\&{\text{Full polynomial derivation:}}\\&K(s)_{num}={\bigr (}0.86602540s+{\sqrt {s^{2}+1}}{\bigr )}{\bigr (}0.86602540s+{\sqrt {s^{2}+1}}{\bigr )}{\bigr (}s+{\sqrt {s^{2}+1}}{\bigr )}\\&K(s)_{num}=3.4820508s^{3}+2.7320508s+{\sqrt {\dots }}\\&{\text{discarding the irrational }}{\sqrt {\dots }}{\text{ and keeping only the rational part:}}\\&K(s)_{num}=3.4820508s^{3}+2.7320508s\\&\\&K(s)_{num}{\text{ shortcut derivation:}}\\&B=(0.86602540s+1)(0.86602540s+1)(s+1)=.75s^{3}+2.4820508s^{2}+2.7320508s+1\\&K(s)_{num}={\bigg (}0.75{\binom {0}{0}}+2.4820508{\binom {1}{0}}{\bigg )}s^{3}+{\bigg (}2.7320508{\binom {1}{1}}{\bigg )}s\\&K(s)_{num}=3.4820508s^{3}+2.7320508s\\&\\&k(s)_{den}=({\frac {s}{j2}}+1)({\frac {s}{-j2}}+1)=0.25s^{2}+1\\&{\text{Check }}|K(s)|{\text{ at }}s=j{\text{ to insure it is unity, and adjust with a constant, if necessary:}}\\&{\bigg |}{\frac {K(s)_{num}(s=j)}{K(s)_{den}(s=j)}}{\bigg |}=1{\text{ Check!}}\\&K(s)={\frac {3.4820508s^{3}+2.7320508s}{0.25s^{2}+1}}\\\end{aligned}}}$

伝達関数を求めるには、次のようにします。^{[10] [11]}${\displaystyle G(s)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\varepsilon ^{2}=10^{1dB/10.}-1.=.25892541\\&G(s)={\sqrt {G(s)G(-s)}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}={\sqrt {\frac {1}{1+\varepsilon ^{2}K(s)K(-s)}}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}={\sqrt {\frac {K(s)_{den}K(-s)_{den}}{K(s)_{den}K(-s)_{den}+\varepsilon ^{2}K(s)_{num}K(-s)_{num}}}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}\\&={\sqrt {\frac {\{0.25(s)^{2}+1\}\{{0.25(-s)^{2}+1}\}}{\{0.25(s)^{2}+1\}\{{0.25(-s)^{2}+1}\}+.25892541\{3.4820508(s)^{3}+2.7320508(s)\}\{3.4820508(-s)^{3}+2.7320508(-s)\}}}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}\\&={\frac {0.25(s)^{2}+1}{{\sqrt {-3.1393872s^{6}-4.8638872s^{4}-1.4326456s^{2}+1}}{\bigr |}_{\text{LHP poles}}}}\\\end{aligned}}}$

左半平面から求めるには、分子と分母を因数分解して根を求めます。分母の右半平面からすべての根と分子の重複根の半分を破棄し、残りの根で再構築します。一般に、で 1 に正規化します。 ${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle |G(s)|}$${\displaystyle s=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&G(s)={\frac {0.25s^{2}+1}{1.7718316s^{3}+1.7200107s^{2}+2.2074118s+1}}\\\end{aligned}}}$

例が正しいことを確認するために、通過帯域リップルが 1 dB、カットオフ周波数が 1 rad/秒、ストップ バンド ゼロが 2 rad/秒である のプロットを以下に示し ます。${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle j\omega }$

チェビシェフ バンド パス フィルタは、上記チェビシェフ透過零点方程式のより一般化された形式^[10]と以下に示す形式を使用して、ゼロと無限大に所望の数の透過零点を配置することにより、幾何学的に非対称な周波数応答で設計できます。以下の方程式は、1 から の周波数正規化された通過帯域を考慮します。0 での透過零点の数が での透過零点の数と同じでない場合、フィルタは幾何学的に非対称になります。有限の透過零点が幾何学的中心周波数 (この場合は ) の周りに対称に配置されていない場合も、フィルタは非対称になります。非対称方程式が使用可能な結果を​​生成するには、フィルタが正味偶数次、つまりすべての極の合計が偶数でなければならないという制限があります。実数および複素数の 4 つ組の透過零点もこの手法を使用して作成でき、ローパスの場合と同様に、グループ遅延応答を変更するのに役立ちます。非対称チェビシェフバンドパスフィルタを作成するための 特性方程式の導出を以下に示します。${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle {\sqrt {\omega _{2}}}}$${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle K(s)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K(s)&={\frac {{\bigg \{}\prod _{i=1}^{N}{\bigg (}M_{i}{\sqrt {s^{2}+\omega _{2}^{2}}}+{\sqrt {s^{2}+1}}{\bigg )}{\bigg \}}_{\text{rational term only}}}{s^{N_{z}}\prod _{i=1}^{N_{f}}(1-s/z_{i})}}\\M_{i}&={\sqrt {\frac {z_{i}^{2}+1}{z_{i}^{2}+\omega _{2}^{2}}}}{\text{ for }}\sigma _{i}\neq 0{\text{ or }}\omega _{i}<1{\text{ or }}\omega _{i}>\omega _{2}\\&={\sqrt {\frac {1-\omega _{i}^{2}}{\omega _{2}^{2}-\omega _{i}^{2}}}}{\text{ for }}\sigma _{i}=0{\text{ and }}0<\omega _{i}<1\\&={\sqrt {\frac {\omega _{i}^{2}-1}{\omega _{i}^{2}-\omega _{2}^{2}}}}{\text{ for }}\sigma _{i}=0{\text{ and }}\omega _{2}<\omega _{i}<\infty \\&={\frac {1}{\omega _{2}}}{\text{ for }}z_{i}=0\\&=1{\text{ for }}z_{i}=\infty \\N_{z}&={\text{ number of transmission zeros at zero}}\\N_{f}&={\text{ number of finite transmission zeros (imaginary, real, and complex)}}\\z_{i}&=\sigma _{i}+j\omega _{i}={\text{ complex transmision zero}}\\\omega _{2}&={\text{ upper passband corner frequency (lower corner is normalized to 1)}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle K(s)}$必要に応じて、 となるように正規化する必要があります。 ${\displaystyle |K(s)|=1{\text{ at }}s=j}$

1～2 rad/sec で 1dB の通過帯域リップル、 に 1 つの伝送ゼロ、 に 3 つの伝送ゼロを持つ非対称チェビシェフ フィルタを設計します。上記の式に数値を適用すると、特性多項式 は次のように計算できます。 ${\displaystyle \infty }$${\displaystyle K(s)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{2}&=2\\M_{1}&=M_{2}=M_{3}=.5\\M_{4}&=1\\K(s)&={\frac {{\bigg \{}{\bigg (}.5{\sqrt {s^{2}+2^{2}}}+{\sqrt {s^{2}+1}}{\bigg )}{\bigg (}.5{\sqrt {s^{2}+2^{2}}}+{\sqrt {s^{2}+1}}{\bigg )}{\bigg (}.5{\sqrt {s^{2}+2^{2}}}+{\sqrt {s^{2}+1}}{\bigg )}{\bigg (}{\sqrt {s^{2}+2^{2}}}+{\sqrt {s^{2}+1}}{\bigg )}{\bigg \}}_{\text{rational term only}}}{s^{3}}}\\K(s)&=C{\frac {3.375s^{4}+14.25s^{2}+12+{\sqrt {\dots }}}{s^{3}}}{\text{ where C is a constant used to normalize the magnitude to 1 at }}s=j\\\end{aligned}}}$

無理数部分を破棄し、s=j で 1 に正規化します。 ${\displaystyle |K(s)|}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K(s)&={\frac {3s^{4}+12.666667s^{2}+10.666667}{s^{3}}}\\\end{aligned}}}$

ローパスの場合と同じプロセスを使用して、定数を使用して大きさをスケーリングし、からを求めます。 ^{[10] [11]}${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon ^{2}&=10^{1dB/10.}-1.=.25892541\\G(s)&=C{\sqrt {\frac {K(s)_{den}K(-s)_{den}}{K(s)_{den}K(-s)_{den}+\varepsilon ^{2}K(s)_{num}K(-s)_{num}}}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}\\&=C{\frac {s^{3}}{{\sqrt {(s)^{3}(-s)^{3}+.25892541\{3(s)^{4}+12.666667(s)^{2}+10.666667\}\{3(-s)^{4}+12.666667(-s)^{2}+10.666667\}}}{\bigr |}_{\text{LHP poles}}}}\\&=C{\frac {s^{3}}{{\sqrt {2.3303287s^{8}+18.678331s^{6}+58.11437s^{4}+69.9674s^{2}+29.459958}}{\bigr |}_{\text{LHP poles}}}}\\\end{aligned}}}$

左半平面の極から分母を再構築する場合、反射ゼロが 0dB で発生するように振幅を設定する必要があります。これを行うには、通過帯域コーナー周波数で = -1dB、となるようにスケーリングする必要があります。これが完了すると、設計された非対称チェビシェフ フィルタの最終的な伝達関数が以下に示されます。 ${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle |G(s)|}$${\displaystyle s=j}$${\displaystyle s=j2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}G(s)&={\frac {0.18424001s^{3}}{0.28125000s^{4}+0.34089984s^{3}+1.3337548s^{2}+0.54084155s+1}}\\\end{aligned}}}$

s=j および s=2j で評価すると、どちらの場合も -1dB の値が生成され、例が正しく合成されたことが保証されます。周波数応答は以下で、 に対するチェビシェフ 1dB 等リップル通過帯域応答、通過帯域エッジでの -1dB のカットオフ減衰、 に向かって -60dB / 10 倍の減衰、 に向かって -20dB / 10 倍の減衰、および通過帯域エッジ付近のチェビシェフ スタイルの急勾配が示されています。 ${\displaystyle |G(s)|}$${\displaystyle 1<\omega <2}$${\displaystyle \omega =0}$${\displaystyle \omega =\infty }$

標準的なローパス チェビシェフ フィルタ設計では、0 rad/sec から 1 rad/sec の周波数正規化値までの等リップル通過帯域が作成されます。ただし、設計要件によっては、低周波数で等リップル通過帯域を必要としない場合があります。このアプリケーションに標準的なフル等リップル チェビシェフ フィルタを使用すると、過剰に設計されたフィルタになります。等リップルを通過帯域の定義されたパーセンテージに制限すると、より効率的な設計が作成され、フィルタのサイズが縮小され、1 つまたは 2 つのコンポーネントが削除される可能性があります。これは、基板スペース効率を最大化し、大量生産品の生産コストを最小限に抑えるのに役立ちます。^[9]

狭窄された通過帯域リップルは、この記事で上で説明した手法を使用して、0 次非対称ハイパス側 (0 に透過零点がない) と狭窄されたリップル周波数に設定された を持つ非対称チェビシェフ バンド パス フィルタを設計することで実現できます。ローパス側の次数は、奇数次フィルタの場合は N-1、偶数次修正フィルタの場合は N-2、標準偶数次フィルタの場合は N です。この結果、 での S12 は 1 未満になりますが、これは偶数次標準チェビシェフ設計の典型であるため、標準偶数次チェビシェフ設計の場合、このステップでプロセスが完了します。奇数次設計の場合は に 1 つの反射零点を挿入し、偶数次修正設計の場合は に 2 つの反射零点を挿入する必要があります。追加された反射零点により、通過帯域に顕著な誤差が生じ、問題になる可能性があります。 この誤差は、連立方程式 に対するニュートン法を使用して有限反射零点を再配置することで、迅速かつ正確に除去できます。${\displaystyle \omega 2}$${\displaystyle \omega =0}$${\displaystyle \omega =0}$${\displaystyle \omega =0}$

ニュートン法で反射ゼロを配置するには、次の 3 つの情報が必要です。

1. 制限されたリップル周波数よりも高い周波数に存在する各通過帯域リップル最小値の位置。
2. 正規化された大きさの値、つまり、狭窄周波数および狭窄周波数を超える各極小値における大きさの値。この関数への今後の参照は、またはとして記載されます。${\displaystyle |K(j\omega )|}$${\displaystyle |K(j)|=1}$${\displaystyle |K(j\omega )_{|K(j)|=1}|}$${\displaystyle |K(s)_{|K(j)|=1}|}$
3. 狭窄周波数と狭窄周波数を超える各最小値における偏微分のヤコビ行列。各反射ゼロに関して。${\displaystyle |K(j\omega )_{|K(j)|=1}|}$

チェビシェフの特性方程式 では、すべての反射零点が軸上にあり、すべての透過零点が軸上または軸に対して対称的(受動素子の実装に必要) にあるため、通過帯域リップルの最小値の位置は、根を求めるアルゴリズムを使用しての導関数の分子を因数分解することで取得できます。この多項式の根は、通過帯域の最小値周波数になります。は 、標準的な多項式導関数の定義から取得でき、 です。 ${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle j\omega }$${\displaystyle j\omega }$${\displaystyle j\omega }$${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle (dK(s)/ds)_{num}}$${\displaystyle (dK(s)/ds)_{num}}$${\displaystyle (dK(s)/ds)num=K(s)_{den}(d(K(s)_{num})/ds)-K(s)_{num}(d(K(s)_{den})/ds)}$

偏導関数は を使用してデジタル的に計算できますが、連続偏導関数の方が一般に精度が高く、収束時間が短いため、これが推奨されます。 反射ゼロに関する の連続偏導関数を得るには、 が常に を強制する の連続式を取得する必要があります。 これは、次に示すように、 をその共役根のペアの関数として表すことで実現できます。 ${\displaystyle \partial |K(R_{k},j\omega )_{K(j)=1}|/\partial R_{k}=|K(R_{k},j\omega )_{|K(j)|=1}|-|K(R_{k}+\vartriangle R_{k},j\omega )_{|K(j)|=1}|)/\vartriangle R_{k}}$${\displaystyle |K(s)_{|K(j)|=1}|}$${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle |K(j)|=1}$${\displaystyle K(s)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|K(s)_{|K(j)|=1}|&={\begin{cases}K_{finite}(s)&{\text{if }}n{\text{ is even}}\\sK_{finite}(s)&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\\end{cases}}\\&\\K{finite}(s)&={\frac {\prod _{i=1}^{N_{Rz}}(Rz_{i}^{2}+s^{2})}{\prod _{i=1}^{N_{Tz}}(Tz_{i}^{2}+s^{2})}}{\frac {\prod _{i=1}^{N_{Tz}}(Tz_{i}^{2}-1)}{\prod _{i=1}^{N_{Rz}}(Rz_{i}^{2}-1)}}\\\end{aligned}}}$

ここで、 には有限の反射零点と透過零点のみが含まれます。 と は反射零点と透過零点の共役ペアの数を表し、 と は反射零点と透過零点の共役ペアです。奇数項は、奇数次チェビシェフ フィルタで発生する 0 の単一反射零点を表します。4 重透過零点を使用する場合は、4 重項に対応するように式を修正する必要があることに注意してください。上記の式では、 が常に である ことが確認できます。${\displaystyle K{finite}(s)}$${\displaystyle N_{Rz}}$${\displaystyle N_{Tz}}$${\displaystyle Rz_{i}}$${\displaystyle Tz_{i}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle |K(s)|=1}$${\displaystyle s=j}$

チェビシェフ通過帯域を形成するには反射ゼロの移動のみが必要なので、偏微分表現は項に対してのみ行う必要があり、項は定数として扱われます。各 の偏微分表現の決定を容易にするために、上記の式は以下のように書き直すことができます。 ${\displaystyle Rz_{i}}$${\displaystyle Tz_{i}}$${\displaystyle Rz_{i}}$

${\displaystyle |K(j\omega )_{|K(j)|=1}|={\frac {Rz_{k}^{2}-\omega ^{2}}{Rz_{k}^{2}-1}}{\bigg |}K(j\omega ){\bigg |}_{{\text{less the }}Rz_{k}^{2}{\text{ terms}}}}$

ここで、特定の反射ゼロ共役ペアを指定します。 ${\displaystyle Rz_{k}^{2}}$

この式の に関する導関数は、標準的な導関数規則に従って簡単に計算できます。 定数 は、関数の整合性を維持するために項を除算する必要があります。これを行う最も簡単な方法は、前に移動された項の逆数を乗算することです。微分可能な式は次のように書き直すことができます。 ${\displaystyle Rz_{k}}$${\displaystyle R_{k}^{2}}$${\displaystyle |K(j\omega )|}$${\displaystyle R_{k}^{2}}$

${\displaystyle |K(j\omega )_{|K(j)|=1}|={\frac {Rz_{k}^{2}-\omega ^{2}}{Rz_{k}^{2}-1}}{\bigg \{}{\bigg |}K(j\omega ){\bigg |}{\bigg |}{\frac {Rz_{k}^{2}-1}{Rz_{k}^{2}-\omega ^{2}}}{\bigg |}{\bigg \}}_{\text{constant}}}$

偏導関数は、標準的な導関数手順を適用して簡略化することで決定できます。結果は以下のとおりです。 ${\displaystyle Rz_{k}}$

${\displaystyle {\frac {\partial |K(j\omega )_{|K(j)|=1}|}{\partial |Rz_{k}|}}={\frac {2Rz_{k}^{2}(1-\omega ^{2})}{(1-Rz_{k}^{2})(Rz_{k}^{2}-\omega ^{2})}}|K(j\omega )|}$

関連する周波数は狭窄点の周波数との根だけなので、ヤコビ行列は次のように構築できます。 ${\displaystyle i=2{\text{ to }}N_{Rz}}$${\displaystyle |(dK(s)/ds)_{num}|}$

${\displaystyle J(Rz_{k},\omega _{i})={\begin{bmatrix}{\frac {\partial {|K(Rz_{1},j\omega _{1})_{|K(j)|=1}|}}{\partial {Rz_{1}}}}&{\frac {\partial {|K(Rz_{2},j\omega _{1})_{|K(j)|=1}|}}{\partial {Rz_{2}}}}&\dots &{\frac {\partial {|K(Rz_{N_{Rz}},j\omega _{1})_{|K(j)|=1}|}}{\partial {Rz_{N_{Rz}}}}}\\{\frac {\partial {|K(Rz_{1},j\omega _{2})_{|K(j)|=1}|}}{\partial {Rz_{1}}}}&{\frac {\partial {|K(Rz_{2},j\omega _{2})_{|K(j)|=1}|}}{\partial {Rz_{2}}}}&\dots &{\frac {\partial {|K(Rz_{N_{Rz}},j\omega _{2})_{|K(j)|=1}|}}{\partial {Rz_{N_{Rz}}}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial {|K(Rz_{1},j\omega _{N_{Rz}})_{|K(j)|=1}|)}}{\partial {Rz_{1}}}}&{\frac {\partial {|K(Rz_{2},j\omega _{N_{Rz}})_{|K(j)|=1}|}}{\partial {Rz_{2}}}}&\dots &{\frac {\partial {|K(Rz_{N_{Rz}},j\omega _{N_{Rz}})_{|K(j)|=1}|}}{\partial {Rz_{N_{Rz}}}}}\\\end{bmatrix}}}$

ここで、は狭窄限界周波数、 は 残りの通過帯域最小値の根の大きさ、 は反射ゼロです。 ${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{(i>1)}}$${\displaystyle |dK(s)/ds)_{num}|}$${\displaystyle Rz_{k}}$

フィルタのカットオフ減衰がリップル振幅と同じであると仮定すると、 の値はでは常に 1 なので、解ベクトルの要素はすべて 1 となり、ニュートン法を解くための反復方程式は次のようになります。 ${\displaystyle |K(j\omega _{i})|}$${\displaystyle \omega _{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&[B_{k}]={\begin{bmatrix}|K(j\omega _{1})_{|K(j)|=1}|-1\\|K(j\omega _{2})_{|K(j)|=1}|-1\\\vdots \\|K(j\omega _{N_{Rz}})_{|K(j)|=1}|-1\\\end{bmatrix}}\\&\\&[J(R_{k},\omega _{i})][\Delta _{k}]=[B_{k}]\\&\\&[Rz_{k+1}]=[Rz_{k}]+[\Delta _{k}]\\\end{aligned}}}$

収束は、すべてのとの合計がアプリケーションに対して十分に小さい場合、通常は 1.e-05 から 1.e-16 の間である場合に達成されます。より大きなフィルターの場合、収束の早い段階で過度の変動を防ぐためにそれぞれのサイズを制限し、収束中に値を制限されたリップル範囲内に保つためにそれぞれのサイズを制限する必要がある場合があります。 ${\displaystyle \sum _{k=1}^{N_{Rz}}|\Delta _{k}|<\delta }$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \Delta _{k}}$${\displaystyle Rz_{k+1}}$

通過帯域の 55% に制限された 1 dB 等リップル通過帯域を持つ 7 極チェビシェフ フィルタを設計します。

ステップ 1:上記の非対称合成プロセスを使用して (コーナー周波数 = 0.45 を使用)、 6 つのローパス極と 0 つのハイパス極を持つ、0.45 から 1 までの非対称周波数応答の特性多項式を設計します。 ${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \omega _{2}}$

${\displaystyle K(s)={\frac {63.089619s^{6}+113.7979s^{4}+60.897476s^{2}+9.1891952}{1}}}$

ステップ 2:ステップ 1に 1 つの反射ゼロを挿入します(偶数次変更フィルターの場合は 2 つの反射ゼロの追加が必要になります)。 ${\displaystyle K(s)}$

${\displaystyle K(s)={\frac {63.089619s^{7}+113.7979s^{5}+60.897476s^{3}+9.1891952s}{1}}}$

ステップ 3:の根の正の実数値または虚数値を計算して通過帯域のゼロ導関数周波数を決定し、最小の根を の狭窄周波数 0.45 に代入します。 ${\displaystyle \omega _{(1{\text{ to }}N)}}$${\displaystyle |(d{K(s)}/ds)_{num}|}$${\displaystyle \omega _{1}}$

ステップ 4 :各制限された微分ゼロ点における の値を決定します。${\displaystyle |K(j\omega _{i})|}$

ステップ 5 :各周波数でのターゲット値を減算して線形方程式のBベクトルを作成します。この場合、カットオフ減衰が通過帯域リップル減衰に等しいため、ターゲット値はすべて 1 になります。この特定の例では、 カットオフ周波数はです。 ${\displaystyle \omega _{k}}$${\displaystyle |K(j)|=1}$${\displaystyle j}$

ステップ6:各反射零点に関して、各 の偏微分のヤコビ行列を決定する。 ${\displaystyle |K(j\omega _{i})_{|K(j)|=1}|}$${\displaystyle \omega _{(1{\text{ to }}N)}}$${\displaystyle Rz_{k}}$${\displaystyle {\frac {\partial |K(j\omega _{i})_{|K(j)|=1}|}{\partial |Rz_{k}|}}={\frac {2Rz_{k}^{2}(1-\omega _{i}^{2})}{(1-Rz_{k}^{2})(Rz_{k}^{2}-\omega _{i}^{2})}}|K(j\omega _{i})_{K(j)=1}|}$

ステップ 7 : ステップ 5 のBベクトルを使用して線形方程式を解き、反射ゼロの移動を取得します。 ${\displaystyle [\Delta _{k}]}$${\displaystyle [J(R_{k},\omega _{i})][\Delta _{k}]=[B_{k}]}$

ステップ 8:上記で計算した値を過去の反射ゼロ位置の反復から 減算して、新しい反射ゼロ位置を計算します。${\displaystyle [\Delta ]}$

${\displaystyle [Rz_{k}]_{\text{next}}=[Rz_{k}]-[\Delta z_{k}]}$

アプリケーションの収束基準が満たされるまで、手順 3 から 8 を繰り返します。この例では、収束基準は 1.e-12 に選択されています。完了すると、最終的な は、最終的な反射ゼロ位置 +/-j0.5278143、+/-J0.80460874、+/-J0.97721056、および 0 から構築されます。振幅が となるように正規化されると、構築されたが以下のように表示されます。 ${\displaystyle \sum _{k=1}^{N_{Rz}}|\Delta _{k}|<\delta _{min}}$${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle |K(j)|=1}$${\displaystyle K(s)}$

${\displaystyle K(s)={\frac {87.245248s^{7}+164.10165s^{5}+92.882626s^{3}+15.026225s}{1}}}$

${\displaystyle G(s)={\frac {K(s)_{den}}{{\sqrt {K(s)_{den}K(-s)_{den}+\varepsilon ^{2}K(s)_{num}K(-s)_{num}}}|_{\text{LHP roots}}}}}$

${\displaystyle {\text{Where }}\varepsilon ^{2}=10^{(1dB/10)}-1=0.25892541}$

${\displaystyle G(s)={\frac {1}{44.394495s^{7}+30.711417s^{6}+94.125494s^{5}+46.949428s^{4}+58.490258s^{3}+17.844618S^{2}+9.7031614s+1}}}$

合成プロセスは、ステップ 3 のそれぞれについてをすばやくチェックして、それらの周波数で 1 dB の減衰が保証され、 でのカットオフ減衰も 1 dB であることを確認することで検証できます。以下の計算の要約は、例の合成プロセスを検証します。 ${\displaystyle |G(j\omega _{k})|}$${\displaystyle \omega _{k}}$${\displaystyle \omega =1}$

順方向伝達関数の最終的な振幅周波数応答を以下に示します。 ${\displaystyle |G(jw)|}$

標準的なローパス逆チェビシェフフィルタ設計では、正規化された値 1 rad/sec から始まる等リップルストップバンドが作成されます。ただし、一部の設計要件では、高周波数で等リップルパスバンドは必要ありません。このアプリケーション用の標準的な完全等リップル逆チェビシェフフィルタでは、過剰に設計されたフィルタになります。等リップルをストップバンドの定義されたパーセンテージに制限すると、より効率的な設計が作成され、フィルタのサイズが縮小され、1つまたは2つのコンポーネントが削除される可能性があり、ボードスペース効率を最大化し、大量生産品の生産コストを最小限に抑えるのに役立ちます。^[9]${\displaystyle \infty }$

狭窄阻止帯域リップルを持つ逆チェビシェフ フィルタは、標準逆チェビシェフとまったく同じプロセスで合成されます。狭窄リップル チェビシェフは、反転した（ここで、 はdB 単位の阻止帯域減衰量）を使用して設計され、設計された狭窄リップル チェビシェフ フィルタの極とゼロは反転され、カットオフ減衰は に設定されます。標準チェビシェフ方程式は狭窄リップル設計では機能しないため、楕円砂時計設計で説明されているプロセスを使用してカットオフ減衰を設定する必要があります。 ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon ^{2}=1/(10^{(\gamma /10)}-1)}$${\displaystyle \gamma }$

以下は、3dB カットオフ減衰を備えた 7 極の制限付きリップル逆チェビシェフ フィルターの |S11| および |S12|散乱パラメーターです。

上記の狭窄リプルの例は、カットオフ減衰を通過帯域リプル減衰と等しく保ち、オプションの透過ゼロを省略し、偶数次変更を必要としない可能性のある奇数次を使用することで、意図的に単純化されています。ただし、カットオフ周波数 に存在する必要な 1 からオフセットされるように手順 5 のターゲット値を計算し、透過ゼロを含む導関数定数の一部として分母を含め、手順 2 で元の に 1 つではなく 2 つの反射ゼロを挿入することで、非標準のカットオフ減衰に対応できます。 ${\displaystyle \omega =j}$${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle K(s)}$

ストップ バンド伝送ゼロを含める場合、 の根に のストップ バンド最大値が含まれることを覚えておくことが重要です。これらの根は、計算で使用されるパス バンド最小値には含めないでください。 ${\displaystyle dK(s)/ds)_{num}}$${\displaystyle \omega >1}$

は のカットオフ減衰を設定するために使用できるため、ステップ 5の目標値は 1 に関して作成できます。ステップ 5 の目標値は、上記の式から得られる の式を使用して計算できます。 ${\displaystyle \varepsilon ^{2}}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle |K(j\omega )|}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&|K(j\omega )|={\sqrt {\frac {10^{Aripple_{dB}/10}-1.}{10^{Acut_{dB}/10}-1.}}}=0.01010101...{\text{ at the pass band minima frequencies}}\\&|K(j\omega )|=1{\text{ at the pass band cut-off frequency}}\\&\varepsilon ^{2}=10^{(Acut_{dB}/10)}-1=99.0\\\end{aligned}}}$

%constriction = 55、次数 = 8、単一伝送零点 = 1.1、通過帯域リップル減衰 = 0.043648054（ロスレスネットワークの関係式に基づくとS12 = 20dB減衰に相当^[12]）、通過帯域カットオフ減衰 = 20dBのフィルタ設計を検討します。 ${\displaystyle |S_{11}|^{2}+|S_{12}|^{2}=1}$

ステップ 5 のターゲット値は .01010101 で、計算する は99 です。完了すると、特性多項式、、および順方向伝達関数、は以下のようになります。 ${\displaystyle \varepsilon ^{2}}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle K(s)}$${\displaystyle G(s)}$

${\displaystyle K(s)={\frac {2.3081085s^{8}+3.7315386s^{6}+1.8867298s^{4}+0.28974597s^{2}}{0.82644628s^{2}+1}}}$

${\displaystyle G(s)={\frac {K(s)_{den}}{{\sqrt {K(s)_{den}K(-s)_{den}+\varepsilon ^{2}K(s)_{num}K(-s)_{num}}}|_{\text{LHP roots}}}}}$

${\displaystyle {\text{Where }}\varepsilon ^{2}=10^{(20_{dB}/10)}-1=99.0}$

${\displaystyle G(s)={\frac {0.82644628s^{2}+1}{22.96539s^{8}+39.774072s^{7}+71.570971s^{6}+73.962937s^{5}+65.358572s^{4}+40.848153s^{3}+19.393829S^{2}+6.0938301s+1}}}$

検証は、以下に示すように、狭窄周波数、カットオフ周波数、その間の残りの通過帯域最小周波数、および透過ゼロ周波数の 散乱パラメータ （それぞれおよび ）を計算することから構成されます。${\displaystyle |S12|{\text{ and }}|S11|}$${\displaystyle |G(s)|}$${\displaystyle {\sqrt {1-|G(s)|^{2}}}}$

最終的な振幅周波数応答を以下に示します。 ${\displaystyle |S_{12}|{\text{ and }}|S_{11}|}$

• ベッセルフィルタ
• バターワースフィルタ
• チェビシェフノード
• チェビシェフ多項式
• コムフィルタ
• 楕円フィルタ
• フィルター設計

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